2023年湖南省湘潭市中考数学试卷(含答案解析)

这是一份2023年湖南省湘潭市中考数学试卷(含答案解析)，共21页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 下列选项中正确的是等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷
1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻.观察下列汉字，其中是轴对称图形的是(    )
A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华
2. 若式子 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
A. x<1 B. x>1 C. x≤1 D. x≥1
3. 下列计算正确的是(    )
A. a8÷a2=a4 B. a+a2=a3 C. (a2)3=a5 D. a2⋅a3=a5
4. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面.其中教学设计占20%，现场展示占80%.某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为(    )
A. 95分 B. 94分 C. 92.5分 D. 91分
5. 如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20∘，则∠2的度数为(    )
A. 20∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 80∘
6. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于直N，若四边形AMON的面积为2.则k的值是(    )
A. 2
B. −2
C. 1
D. −1
7. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′的长为(    )
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 16π


8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为(    )
A. 50x=501.2x+16 B. 50x+10=501.2x C. 50x=501.2x+10 D. 50x+16=501.2x
9. 下列选项中正确的是(    )
A. 80=1 B. |−8|=8 C. −(−8)=8 D. 8=±2 2
10. 2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目.为了解某校九年级男生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生的成绩(单位：米)，列出了如表所示的频数分布表并绘制了扇形图：
类别
A
B
C
D
E
成绩
6≤x<7
7≤x<8
8≤x<9
9≤x<10
10≤x<11
频数
2
6
25
12
5
则下列说法正确的是(    )
A. 样本容量为50 B. 成绩在9≤x<10米的人数最多
C. 扇形图中C类对应的圆心角为180∘ D. 成绩在7≤x<8米的频率为0.1
11. 如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若AB=AC，则下列说法正确的是(    )
A. AD⊥BC
B. ∠CAB=90∘
C. DB=AB
D. AD=12BC
12. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(3,0)，则下列结论中正确的是(    )
A. a>0
B. c>0
C. b2−4ac<0
D. 9a+3b+c=0


13. 数轴上到原点的距离小于 5的点所表示的整数有______ .(写出一个即可)
14. 已知实数a，b满足(a−2)2+|b+1|=0，则ab=______ .
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则CD的长为______ .
16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(见图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为______ dm2.


17. 解不等式组：{7x−14⩽0①2(x+3)>x+4②，并把它的解集在数轴上表示出来.


18. 先化简，再求值：(1+2x+1)⋅x2+xx2−9，其中x=6.
19. 在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AD是斜边BC上的高.
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BC=10，求BD的长.

20. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A(合唱社团)、B(硬笔书法社团)、C(街舞社团)、D(面点社团).学生从中任意选择两个社团参加活动.
(1)小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
(2)小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C(街舞社团)，第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率.
21. 教育部正式印发《义务教育劳动课程标准(2022年版)》.劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中.某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能.小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：(单位：小时)
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
0≤x<3
3≤x<6
6≤x<9
人数
3
6
m
分析数据：
统计量
平均数
中位数
众数
数据
3.4
3.5
4
请结合以上信息回答下列问题：
(1)m=______ ，并补全频数分布直方图；
(2)数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了.请根据图表信息找回这两个数据.若a (3)根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数.

22. 我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射.某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件.
(1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元.求利润y(元)关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
23. 如图，点A的坐标是(−3,0)，点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90∘得到△A′BC′.
(1)反比例函数y=kx的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式.

24. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O.如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30∘，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米)(参考数据 2≈1.414， 3≈1.732)

25. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转.

特例感知：(1)当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①.针对小红发现的结论，请给出证明；
(2)小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②.根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
(3)如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由.
26. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B(1,0)，C(0,3).

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围.
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、汉字“爱”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、汉字“我”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、汉字“中”是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、汉字“华”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C.
根据轴对称图形的概念判断．
本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

2.【答案】D 
【解析】解：式子 x−1在实数范围内有意义，则x−1≥0，
解得：x≥1.
故选：D.
直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；
B.a+a2，无法合并，故此选项不合题意；
C.(a2)3=a6，故此选项不合题意；
D.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意．
故选：D.
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：由题意可得，
90×20%+95×80%=94(分)，
即她的最后得分为94分，
故选：B.
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出她的最终得分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．

5.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠DCA=∠1=20∘，
∴∠2=90∘−∠DCA=70∘，
故选：C.
根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：由题意，设A(a,b)，
∴ab=k.
又S四边形ANOM=2=ab，
∴k=2.
故选：A.
依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解．
本题主要考查了反比例的图象与性质的应用，解题时要能熟悉题意学会转化是关键．

7.【答案】C 
【解析】解：这个圆锥的侧面展开图中AA′的长为2π×4=8π.
故选：C.
根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1.圆锥的母线长为扇形的半径，2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．

8.【答案】A 
【解析】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，
根据题意可得：50x=101.2x+16.
故选：A.
设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.2x千米/时，根据题意列出方程即可．
本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键关键是分析题意找出相等关系．

9.【答案】ABC 
【解析】解：∵80=1，
∴选项A符合题意；

∵|−8|=8，
∴选项B符合题意；

∵−(−8)=8，
∴选项C符合题意；

∵ 8=2 2，
∴选项D不符合题意．
故选：ABC.
根据算术平方根、绝对值、相反数的含义和求法，以及零指数幂的运算方法，逐项判断即可．
此题主要考查了算术平方根、绝对值、相反数的含义和求法，以及零指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：①a0=1(a≠0)；②00≠1.

10.【答案】AC 
【解析】解：样本容量为：2+6+25+12+5=50，故选项A符合题意；
成绩在8≤x<9米的人数最多，故选项B不符合题意；
扇形图中C类对应的圆心角为：360∘×2550=180∘，故选项C符合题意；
成绩在7≤x<8米的频率为：650=0.12，故选项D不符合题意．
故选：AC.
把各类频数相加可得样本容量；根据分布表可得成绩在9≤x<10米的人数最多；用360∘乘C类所占比例可得扇形图中C类对应的圆心角度数；用B类的频数除以样本容量可得成绩在7≤x<8米的频率．
本题考查了频率分布直方图，扇形统计图，读懂图意是解决本题的关键；用到的知识点为：频数=总数×相应频率．

11.【答案】ABD 
【解析】解：A、∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90∘，
∴AD⊥BC，故A正确；
B、∵AC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
∴CA⊥AB，
∴∠CAB=90∘，故B正确；
C、∵∠CAB=90∘，AB=AC，
∴∠B=45∘
∵AD⊥BC，
∴BD= 22AB，故C错误；
D、∵AC=AB，AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵∠CAB=90∘，
∴AD=12BC，故D正确．
故选：ABD.
利用圆周角定理即可判断A；根据切线的性质即可判断B；利用等腰直角三角形的性质即可判断C；利用直角三角形斜边中线的性质即可判断D.
本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

12.【答案】BD 
【解析】解：A、由函数图象得，抛物线开口方向向下，故a<0，故A错误；
B、图象与y轴的交点在原点上方，故c>0，故B正确；
C、因为抛物线和x轴有两个交点，故b2−4ac>0，故D正确；
D、当x=3时，y=9a+3b+c=0，故D正确．
故选BD.
根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与x轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴交点个数可判断；C：根据x=3的函数值的情况，可判断选项D.
本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数有关性质、以及二次函数的图象特点．

13.【答案】0(答案不唯一) 
【解析】解：数轴上到原点的距离小于 5的点所表示的数为− 5与 5之间的所有数，
则其中的整数为0(答案不唯一)，
故答案为：0(答案不唯一).
数轴上到原点的距离小于 5的点所表示的数为− 5与 5之间的所有数，然后写出其中的一个整数即可．
本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

14.【答案】12 
【解析】解：∵(a−2)2+|b+1|=0，(a−2)2≥0，|b+1|≥0，
∴a−2=0，b+1=0，
∴a=2，b=−1，
则ab=2−1=12，
故答案为：12.
根据偶次幂及绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入ab中计算即可．
本题考查偶次幂及绝对值的非负性和代数式求值，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．

15.【答案】1 
【解析】解：由作图知AD平分∠BAC，
∵∠C=90∘，点D到AB的距离为1，
∴CD=1.
故答案为：1.
根据角平分线的性质得到CD=点D到AB的距离=1.
本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．

16.【答案】2 
【解析】解：如图所示，

依题意，OD= 22AD=2 2，OE=12OD= 2，
∴图中阴影部分的面积为OE2=( 2)2=2(dm2)，
故答案为：2.
根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．

17.【答案】解：{7x−14⩽0①2(x+3)>x+4②，
由①得7x≤14，
则x≤2，
由②得2x+6>x+4，
则x>−2，
故原不等式组的解集为：−2 在数轴上表示其解集如下：
 
【解析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可．
本题考查在数轴上表示一元一次不等式组的解集，正确解不等式组求得其解集是解题的关键．

18.【答案】解：原式=x+1+2x+1⋅x(x+1)(x+3)(x−3)
=x+3x+1⋅x(x+1)(x+3)(x−3)
=xx−3，
当x=6时，
原式=66−3=2. 
【解析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
本题考查分式的化简求值，将分式化简为xx−3是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BDA=∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
(2)解：由(1)知△ABD∽△CBA，
∴BDBA=BABC，
∴BD6=610，
∴BD=3.6. 
【解析】(1)根据已知条件得出∠BDA=∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；
(2)根据相似三角形的性质即可求出BD的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．

20.【答案】解：(1)所有的可能结果共有6种，分别为：AB、AC、AD、BC、BD、CD；
(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，
∴他俩选到相同社团的概率为39=13. 
【解析】(1)列举出所有的可能结果即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】1 4 7 
【解析】解：(1)m=10−3−6=1，补全频数分布直方图如下：

(2)样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是4，因此漏掉的两个数中必有一个是4，而a 这10个数的中位数是3.5，平均数是3.4，因此漏掉的另一个数是7，即b=7，
故答案为：4，7；
(3)2000×710=1400(人)，
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数大约有1400人．
(1)根据各组频数之和等于样本容量可求出m的值，进而补全频数分布直方图；
(2)根据众数的定义确定a的值，再由平均数、中位数确定b的值即可；
(3)求出样本中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，进而估计总体中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法以及频率=频数总数是正确解答的前提．

22.【答案】解：(1)y=1000(x−50)=1000x−50000；
(2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具，
(60−50)(1000+m)×20%=10000，
解得m=4000，
答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具． 
【解析】(1)根据每件的利润×件数=总利润求解即可；
(2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可．
本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．

23.【答案】解：(1)∵点A的坐标是(−3,0)，点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，
∴OA=3，OB=4，
∴BC=2，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90∘得到△A′BC′，
∴C′(2,4)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C′，
∴k=2×4=8，
∴该反比例函数的表达式为y=8x；
(2)作A′H⊥y轴于H.
∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90∘，
∴∠ABO+∠A′BH=90∘，∠ABO+∠BAO=90∘，
∴∠BAO=∠A′BH，
∵BA=BA′，
∴△AOB≌△BHA′(AAS)，
∴OA=BH，OB=A′H，
∵OA=3，OB=4，
∴BH=OA=3，A′H=OB=4，
∴OH=1，
∴A′(4,1)，
设一次函数的解析式为y=ax+b，
把A(−3,0)，A′(4,1)代入得，−3a+b=04a+b=1，
解得a=17b=37，
∴该一次函数的表达式为y=17x+37. 
【解析】(1)根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)作A′H⊥y轴于H.证明△AOB≌△BHA′(AAS)，推出OA=BH，OB=A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

24.【答案】解：(1)由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360∘÷120=3∘，
∴∠BOM=360∘−3∘×95−30∘=45∘；
(2)如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，
在Rt△AOD中，∠AOD=30∘，OA=2米，
∴OD= 32OA= 3(米).
在Rt△BOC中，∠BOC=45∘，OB=2米，
∴OC= 22OB= 2(米)，
∴CD=OD−OC= 3− 2≈0.3(米)，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米． 
【解析】(1)求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；
(2)根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．

25.【答案】解：(1)如图1，

延长FG，交AC于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴BC=CD，FG=BG，CD//AE，FG//AE，∠CGH=∠BGF=90∘，
∴∠CHG=45∘，CD//FG，
∴∠ACB=∠CHG，∠CDP=∠HFP，∠DCP=∠FHP，
∴CG=GH，
∴CG+BG=GH+FG，
∴BC=FH，
∴CD=FH，
∴△CDP≌△HFP(ASA)，
∴点P是DF的中点；
(2)如图2，

△APE是等腰直角三角形，理由如下：
延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAD=90∘，∠BEG=45∘，AD=AB，BE=EF，AD//BC//EF，∠BAC=45∘，
∴∠M=45∘，∠M=∠GEF，∠MDQ=∠EFQ，
∴∠M=∠BEG，
∴AM=AE，
∴AM−AD=AE−AB，
∴DM=BE，
∴DM=EF，
∴△DQM≌△FQE(ASA)，
∴DQ=FQ，
∴点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P，
∵∠BAC=90∘，∠BEG=45∘，
∴∠APE=90∘，AP=EP，
∴△APE是等腰直角三角形；
(3)如图3，

△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：
延长EP至Q，是PQ=PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，
∵DP=PF，∠DPQ=∠EPF，
∴△PDQ≌△PFE(SAS)，
∴DQ=EF，∠PQD=∠PEF，
∴∠N+∠ADQ=180∘，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAN=∠DAB=90∘，∠BEN=∠BEF=90∘，AB=AD，BE=EF，
∴∠N+∠ABE=360∘−∠BAN−∠BEN=360∘−90∘−90∘=180∘，DQ=BE，
∴∠ABE=∠ADQ，
∴△ADQ≌△ABE(SAS)，
∴AE=AQ，∠DAQ=∠BAE，
∴∠BAE+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=∠BAD=90∘，
∴∠QAE=90∘，
∴AP⊥EQ，AP=PE=12EQ，
∴△APE是等腰直角三角形． 
【解析】(1)延长FG，交AC于H，可推出FG=BG，CG=GH，从而CD=FH，进而得出△CDP≌△HFP，进一步得出结论；
(2)延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，同理(1)可证得△DQM≌△FQE，从而DQ=FQ，从而得出点Q和点P重合，进一步得出结论；
(3)延长EP至Q，是PQ=PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，△PDQ≌△PFE，从而DQ=EF，∠PQD=∠PEF，所以∠N+∠ADQ=180∘，可推出∠N+∠ABE=180∘，进而推出△ADQ≌△ABE，AE=AQ，∠DAQ=∠BAE，进而推出∠QAE=90∘，进一步得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是“倍长中线”．

26.【答案】解：将点B(1,0)，C(0,3)代入y=x2+bx+c，则
1+b+c=0c=3，
解得b=−4c=3，
∴抛物线解析式为y=x2−4x+3；
(2)∴y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴顶点坐标为(2,1)，
当y=0时，x2−4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴A(3,0)，则OA=3，
∵C(0,3)，则OC=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵S△PAC=S△ABC，
∴p到AC的距离等于B到AC的距离，
∵A(3,0)，C(0,3)，设直线AC的解析式为y=kx+3，
∴3k+3=0，
解得k=−1，
∴直线AC的解析式为y=−x+3，
如图所示，过点B作A的平分线，交抛物线于点P，

设BP的解析式为y=−x+d，将点B(1,0)代入得，
−1+d=0，
解得：d=1，
∴直线BP的解析式为y=−x+1，
y=−x+1y=x2−4x+3
解得：x=1y=0或x=2y=−1，
∴P(2,−1)，
∵PA= (3−2)2+12= 2，PB= (2−1)2+12= 2，AB=3−1=2，
∴PA2+PB2=AB2，
∴△ABP是等腰直角三角形，且∠APB=90∘，
如图所示，延长PA至D，使得AD=PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA=PA，则符合题意的点P在直线DE 上，
∵△APB是等腰直角三角形，DE//AC，AC⊥PD，
∴∠DAE=∠BAP=45∘，PD⊥DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE= 2AD= 2AP=2，
∴E(5,0)设直线DE的解析式为y=−x+e，
∴−5+e=0，
解得：e=5，
∴直线DE的解析式为y=−x+5，
联立 y=−x+5y=x2−4x+3，
解得：x=3− 172y=7+ 172或x=3+ 172y=7− 172，
∴P(3− 172,7+ 172)或P(3+ 172,7− 172)，
综上所述，P(2,−1)P(3− 172,7+ 172)或P(3+ 172,7− 172)；
(3)①当a>0时，如图所示，过点C作CG⊥AC交x=2于点G，当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，当∠AQC=90∘时，△ACQ是直角三角形，

设AC交x=2于点H，
∵直线AC的解析式为y=−x+3，
则H(2,1)，
∴CH= 22+(3−1)2=2 2，
∴∠CHG=∠OCH=45∘，
∴△CHG是等腰直角三角形，
∴⋅HG= 2CH= 2×2 2=4，
∴G(2,5)，
设Q(2,q)，则AQ2=12+q2，CQ2=22+(q−3)2=q2−6q+13，
∵AC2=32+32=18，
∴18=q2−6q+13+1²+q2，
解得：q=3− 172(舍去)或q=3+ 172，
∴Q(2,3+ 172)，
∵△QAC是锐角三角形，
∴3+ 172 当a<0时，如图所示，
同理可得AQ²+QC²=AC，
即18=q2−6q+13+1²+q2，
解得：q=3− 172(舍去)或q=3+ 172，
由(2)可得AM⊥AC时，M(2,1)

∴−1 综上所述，当△OAC是锐角三角形时，
3+ 172 【解析】(1)待定系数法求解析式即可求解；
(2)根据S△PAC=S△ABC，可得P到AC的距离等于B到AC的距离，进而作出两条AC的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
(3)根据题意，求得当△OAC是直角三角形时的a的值，进而观察图象，即可求解，分a>0和a<0两种情况讨论，分别计算即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，面积等问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．