2023年广东省中考数学真题(含答案解析)

这是一份2023年广东省中考数学真题(含答案解析)，共20页。试卷主要包含了186×105B， 计算3a+2a的结果为， 某学校开设了劳动教育课程等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省中考数学真题
1. 负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作(    )
A. −5元 B. 0元 C. +5元 D. +10元
2. 下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为(    )
A. B. C. D.
3. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为(    )
A. 0.186×105 B. 1.86×105 C. 18.6×104 D. 186×103
4. 如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137∘，则拐角∠BCD=(    )

A. 43∘ B. 53∘ C. 107∘ D. 137∘
5. 计算3a+2a的结果为(    )
A. 1a B. 6a2 C. 5a D. 6a
6. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了(    )
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
7. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为(    )
A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
8. 一元一次不等式组x−2>1x<4的解集为(    )
A. −1 9. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50∘，则∠D=(    )

A. 20∘ B. 40∘ C. 50∘ D. 80∘
10. 如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为(    )

A. −1 B. −2 C. −3 D. −4
11. 因式分解：x2−1=__________.
12. 计算 3× 12=__________.
13. 某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I=48R，当R=12Ω时，I的值为__________A.
14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打__________折．
15. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为__________.

16. (1)计算：38+|−5|+(−1)2023；
(2)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1)与点(2,5)，求该一次函数的表达式．

17. 某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．
18. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=BC=10m，两臂夹角∠ACB=100∘时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据sin50∘≈0.766，cos50∘≈0.643，tan50∘≈1.192)

19. 如图，在▱ABCD中，∠DAB=30∘.
  
(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长．

20. 综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
  
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论．

21. 小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)
数据统计表
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
数据折线统计图
  
根据以上信息解答下列问题：

平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
c
6.36
(1)填空：a=__________；b=___________；c=___________；
(2)应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

22. 综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC,BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′.
  
(1)求证：AA′⊥CA′；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′= 3CA′；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD=1，求⊙O的面积．

23. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α0∘<α<45∘，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F.
  
(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)
(2)若点A(4,3)，求FC的长；
(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1−S2，AN=n，求S关于n的函数表达式．

答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作 +5 元，可知支出5元记作 −5 元；
故选A.
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
  
2.【答案】A 
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的只有A选项，而B、C、D选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合；
故选A.
【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
  
3.【答案】B 
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤a<10 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为 1.86×105 ；
故选B
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】根据平行线的性质可进行求解．
【详解】解：∵AB//CD ， ∠ABC=137∘ ，
∴∠BCD=∠ABC=137∘ ；
故选D.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式 =5a ；
故选C.
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
  
6.【答案】A 
【解析】
【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A.
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】根据概率公式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为 14 ；
故选C.
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
  
8.【答案】D 
【解析】
【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.
【详解】解： {x−2>1①x<4②
解不等式 ① 得： x>3
结合 ② 得：不等式组的解集是 3 故选：D.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
  
9.【答案】B 
【解析】
【分析】根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘ ，
∵∠BAC=50∘ ，
∴∠ABC=90∘−∠BAC=40∘ ，
∵AC⌢=AC⌢ ，
∴∠D=∠ABC=40∘ ；
故选B.
【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
  
10.【答案】B 
【解析】
【分析】连接 AC ，交y轴于点D，根据正方形的性质可知 AC=OB=2AD=2OD ，然后可得点 Ac2,c2 ，进而代入求解即可．
【详解】解：连接 AC ，交y轴于点D，如图所示：
  
当 x=0 时，则 y=c ，即 OB=c ，
∵四边形 OABC 是正方形，
∴AC=OB=2AD=2OD=c ， AC⊥OB ，
∴点 Ac2,c2 ，
∴c2=a×c24+c ，
解得： ac=−2 ，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
  
11.【答案】x+1x−1 
【解析】
【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得．
【详解】解： x2−1=x+1x−1 ，
故答案为： x+1x−1 .
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键．
  
12.【答案】6 
【解析】
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：  3× 12= 36=6 .
故答案为：6.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
  
13.【答案】4 
【解析】
【分析】将 R=12Ω 代入 I=48R 中计算即可；
【详解】解：∵R=12Ω ，
∴I=48R=4812=4 A
故答案为：4.
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
  
14.【答案】9.2 
【解析】
【分析】设打x折，由题意可得 51−x10≥4×10% ，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得 51−x10≥4×10% ，
解得： x≤9.2 ；
故答案为9.2.
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
  
15.【答案】15 
【解析】
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
  
由题意可知 AD=DC=10,CG=CE=GF=6,∠CEF=∠EFG=90∘ ， GH=4 ，
∴CH=10=AD ，
∵∠D=∠DCH=90∘,∠AJD=∠HJC ，
∴△ADJ≌△HCJAAS ，
∴CJ=DJ=5 ，
∴EJ=1 ，
∵GI//CJ ，
∴△HGI∽△HCJ ，
∴GICJ=GHCH=25 ，
∴GI=2 ，
∴FI=4 ，
∴S梯形EJIF=12(EJ+FI)⋅EF=15 ；
故答案为15.
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
  
16.【答案】(1)6 ；(2)y=2x+1 
【解析】
【分析】(1)先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可；
(2)将两个点代入解析式求解即可．
【详解】解：(1)38+|−5|+(−1)2023
=2+5−1
=6 ；
(2)∵一次函数 y=kx+b 的图象经过点 (0,1) 与点 (2,5) ，
∴代入解析式得： 1=b5=2k+b ，
解得： b=1k=2 ，
∴一次函数的解析式为： y=2x+1 .
【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
  
17.【答案】乙同学骑自行车的速度为 0.2 千米/分钟． 
【解析】
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 1.2x 千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 1.2x 千米/分钟，
根据题意得： 12x−121.2x=10 ，
解得： x=0.2 .
经检验， x=0.2 是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为 0.2 千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程求解即可．
  
18.【答案】 15.3m 
【解析】
【分析】连接 AB ，作作 CD⊥AB 于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知， AB=2AD ， ∠ACD=12∠ACB=50∘ ，在 Rt△ACD 中利用 sin∠ACD=ADAC 求出 AD ，继而求出 AB 即可．
【详解】解：连接 AB ，作 CD⊥AB 于D，
  
∵AC=BC ， CD⊥AB ，
∴CD 是边 AB 边上的中线，也是 ∠ACB 的角平分线，
∴AB=2AD ， ∠ACD=12∠ACB=50∘ ，
在 Rt△ACD 中， AC=10m ， ∠ACD=50∘ ， sin∠ACD=ADAC
∴sin50∘=AD10 ，
∴AD=10sin50∘≈10×0.766=7.66
∴AB=2AD≈2×7.66=15.32≈15.3m
答：A，B两点间的距离为 15.3m .
【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
  
19.【答案】(1)见解析
(2)6−2 3
 
【解析】
【分析】(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，大于 DE 的长度为半径画弧，在 AB 上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高 DE 所在的直线，据此画图即可；
(2)先利用 30 度角的余弦值求出 AE ，再由 BE=AB−AE 计算即可．
【详解】(1)解：依题意作图如下，则 DE 即为所求作的高：
  
(2)∵AD=4 ， ∠DAB=30∘ ， DE 是 AB 边上的高，
∴cos∠DAB=AEAD ，即 AE4=cos30∘= 32 ，
∴AE=4× 32=2 3 .
又∵AB=6 ，
∴BE=AB−AE=6−2 3 ，
即 BE 的长为 6−2 3 .
【点睛】本题考查尺规作图-作垂线， 30 度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和 30 度角的余弦值是解题的关键．
  
20.【答案】(1)∠ABC=∠A1B1C1
(2)证明见解析.
 
【解析】
【分析】(1)△ABC 和 ΔA1B1C1 均是等腰直角三角形， ∠ABC=∠A1B1C1=45∘ ；
(2)证明 △ABC 是等腰直角三角形即可.
【详解】(1)解： ∠ABC=∠A1B1C1
(2)解：证明：连接 AC ，
  
设小正方形边长为1，则 AC=BC= 12+22= 5 ， AB= 12+32= 10 ，
∵AC2+BC2=5+5=AB2 ，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∵A1C1=B1C1=1,A1C1⊥B1C1 ，
∴△A1B1C1 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠A1B1C1=45∘ ，
故 ∠ABC=∠A1B1C1
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
  
21.【答案】(1)19，26.8，25
(2)见解析
 
【解析】
【分析】(1)根据中位数定义将A线路所用时间按从小到大的顺序排列，求中间两个数的平均数即为A线路所用时间的中位数a，利用平均数的定义求出B线路所用时间的平均数b，找出B线路所用时间中出现次数最多的数据即为B线路所用时间的众数c，从而得解；
(2)根据四个统计量分析，然后根据分析结果提出建议即可．
【详解】(1)解：将A线路所用时间按从小到大顺序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中间两个数是18，20，
∴A线路所用时间的中位数为： a=18+202=19 ，
由题意可知B线路所用时间得平均数为： b=25+29+23+25+27+26+31+28+30+2410=26.8 ，
∵B线路所用时间中，出现次数最多的数据是25，有两次，其他数据都是一次，
∴A线路所用时间的众数为： c=25
故答案为：19，26.8，25；
(2)根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线．
因此，我的建议是：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线．
【点睛】本题考查求平均数，中位数和众数，以及根据统计量做决策等知识，掌握统计量的求法是解题的关键．
  
22.【答案】(1)见解析
(2)①见解析；② 2+ 24π
 
【解析】
【分析】(1)由点 A 关于 BD 的对称点为 A′ 可知点E是 AA′ 的中点， ∠AEO=90∘ ，从而得到 OE 是 △ACA′ 的中位线，继而得到 OE//A′C ，从而证明 AA′⊥CA′ ；
(2)①过点O作 OF⊥AB 于点F，延长 FO 交 CD 于点G，先证明 △OCG≌△OAFAAS 得到 OG=OF ，由 ⊙O 与 CD 相切，得到 OG=OE ，继而得到 OE=OF ，从而证明 AO 是 ∠EAF 的角平分线，即 ∠OAE=∠OAF ， ∠OAE=∠OAF=x ，求得 ∠AOE=2x ，利用直角三角形两锐角互余得到 ∠AOE+∠OAE=90∘ ，从而得到 ∠OAE=30∘ ，即 ∠A′AC=30∘ ，最后利用含 30 度角的直角三角形的性质得出 AA′= 3CA′ ；
②先证明四边形 A′EOH 是正方形，得到 OE=OH=A′H ，再利用 OE 是 △ACA′ 的中位线得到 OE=12A′C ，从而得到 OH=CH ， ∠OCH=45∘ ，再利用平行线的性质得到 ∠AOE=45∘ ，从而证明 △AEO 是等腰直角三角形， AE=OE ，设 AE=OE=r ，求得 DE= 2−1r ，在 Rt△ADE 中， AE2+DE2=AD2 即 r2+ 2−12r2=12 ，解得 r2=2+ 24 ，从而得到 ⊙O 的面积为 S=πr2=2+ 24π .
【详解】(1)∵点 A 关于 BD 的对称点为 A′ ，
∴点E是 AA′ 的中点， ∠AEO=90∘ ，
又∵四边形 ABCD 是矩形，
∴O是 AC 的中点，
∴OE 是 △ACA′ 的中位线，
∴OE//A′C
∴∠AA′C=∠AEO=90∘ ，
∴AA′⊥CA′
(2)①过点O作 OF⊥AB 于点F，延长 FO 交 CD 于点G，则 ∠OFA=90∘ ，
  
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB//CD ， AO=BO=CO=DO ，
∴∠OCG=∠OAF ， ∠OGC=∠OFA=90∘ .
∵∠OCG=∠OAF ， ∠OGC=∠OFA=90∘ ， AO=CO ，
∴△OCG≌△OAFAAS ，
∴OG=OF .
∵⊙O 与 CD 相切， OE 为半径， ∠OGC=90∘ ，
∴OG=OE ，
∴OE=OF
又∵∠AEO=90∘ 即 OE⊥AE ， OF⊥AB ，
∴AO 是 ∠EAF 的角平分线，即 ∠OAE=∠OAF ，
设 ∠OAE=∠OAF=x ，则 ∠OCG=∠OAF=x ，
又∵CO=DO
∴∠OCG=∠ODG=x
∴∠AOE=∠OCG+∠ODG=2x
又∵∠AEO=90∘ ，即 △AEO 是直角三角形，
∴∠AOE+∠OAE=90∘ ，即 2x+x=90∘
解得： x=30∘ ，
∴∠OAE=30∘ ，即 ∠A′AC=30∘ ，
在 Rt△A′AC 中， ∠A′AC=30∘ ， ∠AA′C=90∘ ，
∴AC=2CA′ ，
∴AA′= AC2−CA′2= 2CA′2−CA′2= 3CA′ ；
②过点O作 OH⊥A′C 于点H，
  
∵⊙O 与 CA′ 相切，
∴OE=OH ， ∠A′HO=90∘
∵∠AA′C=∠AEO=∠A′EO=∠A′HO=90∘
∴四边形 A′EOH 是矩形，
又∵OE=OH ，
∴四边形 A′EOH 是正方形，
∴OE=OH=A′H ，
又∵OE 是 △ACA′ 的中位线，
∴OE=12A′C
∴A′H=CH=12A′C
∴OH=CH
又∵∠A′HO=90∘ ，
∴∠OCH=45∘
又∵OE//A′C ，
∴∠AOE=45∘
又∵∠AEO=90∘ ，
∴△AEO 是等腰直角三角形， AE=OE ，
设 AE=OE=r ，则 AO=DO= AE2+OE2= 2r
∴DE=DO−OE= 2r−r= 2−1r
在 Rt△ADE 中， AE2+DE2=AD2 ， AD=1
即 r2+ 2−12r2=12
∴r2=11+ 2−12=14−2 2=2+ 24
∴⊙O 的面积为： S=πr2=2+ 24π
【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
  
23.【答案】(1)22.5∘
(2)FC=154
(3)S=12n2
 
【解析】
【分析】(1)根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出 ∠AOG=∠AOE ，再由题意得出 ∠EOG=45∘ ，即可求解；
(2)过点A作 AP⊥x 轴，根据勾股定理及点的坐标得出 OA=5 ，再由相似三角形的判定和性质求解即可；
(3)根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出 FN=ON ， ∠FNO=90∘ ，过点N作 GQ⊥BC 于点G，交 OA 于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出 CG=OQ,CO=QG ，结合图形分别表示出 S1 ， S2 ，得出 S=S1−S2=NQ2 ，再由等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】(1)解：∵正方形 OABC ，
∴OA=OC ，
∵OE=OF ，
∴Rt△OCF≌Rt△OAE(HL) ，
∴∠COF=∠AOE ，
∵∠COF=∠AOG ，
∴∠AOG=∠AOE ，
∵AB 交直线 y=x 于点 E ，
∴∠EOG=45∘ ，
∴∠AOG=∠AOE=22.5∘ ，
即 ∠COF=22.5∘ ；
  
(2)过点A作 AP⊥x 轴，如图所示：
  
∵A(4,3) ，
∴AP=3,OP=4 ，
∴OA=5 ，
∵正方形 OABC ，
∴OC=OA=5 ， ∠C=90∘ ，
∴∠C=∠APO=90∘ ，
∵∠AOP=∠COF ，
∴△OCF∽△OPA ，
∴OCOP=FCAP 即 54=FC3 ，
∴FC=154 ；
(3)∵正方形 OABC ，
∴∠BCA=∠OCA=45∘ ，
∵直线 y=x ，
∴∠FON=45∘ ，
∴∠BCA=∠FON=45∘ ，
∴O、C、F、N四点共圆，
∴∠OCN=∠FON=45∘ ，
∴∠OFN=∠FON=45∘ ，
∴ΔFON 为等腰直角三角形，
∴FN=ON ， ∠FNO=90∘ ，
过点N作 GQ⊥BC 于点G，交 OA 于点Q，
  
∵BC//OA ，
∴GQ⊥OA ，
∵∠FNO=90∘ ，
∴∠1+∠2=90∘ ，
∵∠1+∠3=90∘ ，
∴∠2=∠3 ，
∴△FGN≌△NQO(AAS)
∴GN=OQ,FG=QN ，
∵GQ⊥BC ， ∠FCO=∠COQ=90∘ ，
∴四边形 COQG 为矩形，
∴CG=OQ,CO=QG ，
∴S1=SΔOFN=12ON2=12OQ2+NQ2=12GN2+NQ2=12GN2+12NQ2 ，
S2=SΔCOF=12CF⋅CO=12GC−FGGN+NQ=12GN2−NQ2=12GN2−12NQ2 ，
∴S=S1−S2=NQ2 ，
∵∠OAC=45∘ ，
∴△AQN 为等腰直角三角形，
∴NQ= 22AN= 22n ，
∴S=NQ2= 22n2=12n2
【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．