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2023年广东省深圳市中考数学真题(含答案解析)
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这是一份2023年广东省深圳市中考数学真题(含答案解析)，共22页。试卷主要包含了32×106B，5L/hC， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省深圳市中考数学真题
1. 如果+10∘C表示零上10度，则零下8度表示( )
A. +8 B. −8 C. +10 D. −10
2. 下列图形中，为轴对称的图形的是( )
A. B. C. D.
3. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为( )
A. 0.32×106 B. 3.2×105 C. 3.2×109 D. 32×108
4. 下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是( )
打网球
跳绳
爬楼梯
慢跑
游泳
80L/h
90L/h
105L/h
110L/h
115L/h
A. 80L/h B. 107.5L/h C. 105L/h D. 110L/h
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6 B. 4ab−ab=4
C. a+12=a2+1 D. −a32=a6
7. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120∘，DE与地面平行，∠ABD=50∘，则∠ACB=( )
A. 70∘ B. 65∘ C. 60∘ D. 50∘
8. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是( )
A. 75x−5=50x B. 75x=50x−5 C. 75x+5=50x D. 75x=50x+5
9. 爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能1.025−cosαJ，若某人爬了1000m，该坡角为30∘，则他耗能(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)( )
A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J
10. 如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t(单位：s)的关系如图2，则AC的长为( )
A. 15 52 B. 427 C. 17 D. 5 3
11. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为__________.
12. 已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值为__________.
13. 如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC=20∘，则∠BAD=__________∘.
14. 如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=∠BOC=30∘，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB= 3，反比例函数y=kxk≠0恰好经过点C，则k=__________.
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，tanB=34，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE
16. 计算：1+π0+2−−3+2sin45∘.
17. 先化简，再求值：1+1x−1÷x2−1x2−2x+1，其中x=3.
18. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷(1人只能投1票)，共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数a=______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果(分数)如下：
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
若以1:1:1:1进行考核，______小区满意度(分数)更高；
若以1:1:2:1进行考核，______小区满意度(分数)更高．
19. 某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
20. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC=4(点C在A的上方)；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E.
(1)求证：BD为⊙O的切线；
(2)求AE的长度．
21. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
22. (1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S矩形ABCD=20时，则BE⋅CF=______.
(2)如图，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD=24时，求EF⋅BC的值．
(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60∘，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=7 3时，请直接写出AG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】根据“负数是与正数互为相反意义的量”即可得出答案．
【详解】解：因为 +10 ∘C表示零上10度，
所以零下8度表示“ −8 ”．
故选B
【点睛】本题考查正负数的意义，属于基础题，解题的关键在于理解负数的意义．
2.【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
3.【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】 320000=3.2×105 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤a<10 ，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】
【分析】将数据排序后，中间一个数就是中位数．
【详解】解：由表格可知，处在中间位置的数据为 105L/h ，
∴中位数为 105L/h ，
故选C.
【点睛】本题考查中位数．熟练掌握中位数的确定方法：将数据进行排序后，处在中间位置的一个数据或者两个数据的平均数为中位数，是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质得到 CD=AB=4 ，然后根据菱形的性质得到 EC=CD=4 ，然后求解即可．
【详解】∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB=4 ，
∵四边形 ECDF 为菱形，
∴EC=CD=4 ，
∵BC=6 ，
∴BE=BC−CE=2 ，
∴a=2 .
故选：B.
【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6.【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵a3⋅a2=a5 ，故A不符合题意；
∵4ab−ab=3ab ，故B不符合题意；
∵a+12=a2+2a+1 ，故C不符合题意；
∵−a32=a6 ，故D符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】根据平行得到 ∠ABD=∠EDC=50∘ ，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： DE//AB ，
∴∠ABD=∠EDC=50∘ ，
∵∠DEF=∠EDC+∠DCE=120∘ ，
∴∠DCE=70∘ ，
∴∠ACB=∠DCE=70∘ ；
故选A.
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】 1000(1.025−cosα)=1000(1.025−cos30∘)=1025−500 3≈1025−500×1.732=159
故选：B.
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】 1000(1.025−cosα)=1000(1.025−cos30∘)=1025−500 3≈1025−500×1.732=159
故选：B.
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知 t=0 时，点 P 与点 A 重合，得到 AB=15 ，进而求出点 P 从点 A 运动到点 B 所需的时间，进而得到点 P 从点 B 运动到点 C 的时间，求出 BC 的长，再利用勾股定理求出 AC 即可．
【详解】解：由图象可知： t=0 时，点 P 与点 A 重合，
∴AB=15 ，
∴点 P 从点 A 运动到点 B 所需的时间为 15÷2=7.5s ；
∴点 P 从点 B 运动到点 C 的时间为 11.5−7.5=4s ，
∴BC=2×4=8 ；
在 Rt△ABC 中： AC= AB2+BC2=17 ；
故选C.
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出 AB,BC 的长，是解题的关键．
11.【答案】 14
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，
∴P=14 ，
故答案为： 14 .
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
12.【答案】42
【解析】
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】 a2b+ab2
=aba+b
=7×6
=42 .
故答案为：42.
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
13.【答案】35
【解析】
【分析】由题意易得 ∠ACB=90∘ ， ∠ADC=∠ABC=20∘ ，则有 ∠BAC=70∘ ，然后问题可求解．
【详解】解：∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘ ，
∵AC⌢=AC⌢ ， ∠ADC=20∘ ，
∴∠ADC=∠ABC=20∘ ，
∴∠BAC=70∘ ，
∵AD 平分 ∠BAC ，
∴∠BAD=12∠BAC=35∘ ；
故答案为35.
【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
14.【答案】 4 3
【解析】
【分析】过点C作 CD⊥x 轴于点D，由题意易得 OB=2 3,BC=2,∠COD=30∘ ，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作 CD⊥x 轴于点D，如图所示：
∵∠AOB=∠BOC=30∘ ， BA⊥OA ， CB⊥OB ，
∴AB=12OB,BC=12OC ，
∵∠AOD=90∘ ，
∴∠COD=30∘ ，
∵AB= 3 ，
∴OB=2AB=2 3 ，
在 Rt△OBC 中， OB= OC2−BC2= 3BC=2 3 ，
∴BC=2 ， OC=4 ，
∵∠COD=30∘ ， ∠CDO=90∘ ，
∴CD=12OC=2 ，
∴OD= 3CD=2 3 ，
∴点 C2 3,2 ，
∴k=4 3 ，
故答案为： 4 3 .
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】 4975
【解析】
【分析】 AM⊥BD 于点M， AN⊥DE 于点N，则 AM=AN ，过点G作 GP⊥BC 于点P，设 AM=12a ，根据 tanB=AMBM=34 得出 BM=16a ，继而求得 AB= AM2+BM2=20a ， CG=5a ， AG=15a ，再利用 tanC=tanB=GPCP=34 ，求得 GP=3a,CP=4a ，利用勾股定理求得 GN= AG2−AN2=9a ， EN= AE2−AN2=16a ，故 EG=EN−GN=7a ，
【详解】由折叠的性质可知， DA 是 ∠BDE 的角平分线， AB=AE ，用 HL 证明 △ADM≌△ADN ，从而得到 DM=DN ，设 DM=DN=x ，则 DG=x+9a ， DP=12a−x ，利用勾股定理得到 DP2+GP2=DG2 即 12a−x2+3a2=x+9a2 ，化简得 x=127a ，从而得出 DG=757a ，利用三角形的面积公式得到： S三角形AGES三角形ADG=12EG⋅AN12DG⋅AN=EGDG=7a757a=4975 .
作 AM⊥BD 于点M， AN⊥DE 于点N，则 AM=AN ，
过点G作 GP⊥BC 于点P，
∵AM⊥BD 于点M，
∴tanB=AMBM=34 ，
设 AM=12a ，则 BM=16a ， AB= AM2+BM2=20a ，
又∵AB=AC ， AM⊥BD ，
∴CM=AM=12a ， AB=AC=20a ， ∠B=∠C ，
∵AG:CG=3:1 ，即 CG=14AC ，
∴CG=5a ， AG=15a ，
在 Rt△PCG 中， CG=5a ， tanC=tanB=GPCP=34 ，
设 GP=3m ，则 CP=4m,CG= GP2+CP2=5m
∴m=a
∴GP=3a,CP=4a ，
∵AG=15a ， AM=AN=12a ， AN⊥DE ，
∴GN= AG2−AN2=9a ，
∵AB=AE=20a ， AN=12a ， AN⊥DE
∴EN= AE2−AN2=16a ，
∴EG=EN−GN=7a ，
∵AD=AD ， AM=AN ， AM⊥BD ， AN⊥DE ，
∴△ADM≌△ADNHL ，
∴DM=DN ，
设 DM=DN=x ，则 DG=DN+GN=x+9a ， DP=CM−CP−DM=16a−4a−x=12a−x ，
在 Rt△PDG 中， DP2+GP2=DG2 ，即 12a−x2+3a2=x+9a2 ，
化简得： x=127a ，
∴DG=x+9a=757a ，
∴S三角形AGES三角形ADG=12EG⋅AN12DG⋅AN=EGDG=7a757a=4975
故答案是： 4975 .
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
16.【答案】 2
【解析】
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式 =1+2−3+2× 22
= 2 .
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
17.【答案】 xx+1 ， 34
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】 1+1x−1÷x2−1x2−2x+1
=xx−1÷x+1x−1x−12
=xx−1×x−1x+1
=xx+1
∵x=3
∴原式 =33+1=34 .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲．
【解析】
【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数；
②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数；
③根据样本估计总体的方法求解即可；
④根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】① a=40÷40%=100 (人)，
调查总人数 a=100 人；
故答案为：100；
② 100−17−13−40=30 (人)
∴娱乐的人数为30(人)
∴补充条形统计图如下：
③ 100000×30100×100%=30000 (人)
∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④若以 1:1:1:1 进行考核，
甲小区得分为 14×7+7+9+8=7.75 ，
乙小区得分为 14×8+8+7+9=8 ，
∴若以 1:1:1:1 进行考核，乙小区满意度(分数)更高；
若以 1:1:2:1 进行考核，
甲小区得分为 7×14+7×14+9×25+8×14=9.1 ，
乙小区得分为 8×14+8×14+7×25+9×14=9.05 ，
∴若以 1:1:1:1 进行考核，甲小区满意度(分数)更高；
故答案为：乙；甲．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键
19.【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)最多购置100个A玩具．
【解析】
【分析】(1)设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为 x+25 元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
(2)设A玩具购置y个，则B玩具购置 2y 个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【详解】(1)解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为 x+25 元；
由题意得： 2x+25+x=200 ；
解得： x=50 ，
则B玩具单价为 x+25=75 (元)；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)设A玩具购置y个，则B玩具购置 2y 个，
由题意可得： 50y+75×2y≤20000 ，
解得： y≤100 ，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
20.【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2)AE=32
【解析】
【分析】(1)根据题意作图，首先根据勾股定理得到 OC= OA2+AC2=5 ，然后证明出 △AOC≌△DOBSAS ，得到 ∠OAC=∠ODB=90∘ ，即可证明出 BD 为 ⊙O 的切线；
(2)首先根据全等三角形的性质得到 BD=AC=4 ，然后证明出 △BAE∽△BDO ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】(1)如图所示，
∵AC 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥AC ，
∵OA=3 ， AC=4 ，
∴OC= OA2+AC2=5 ，
∵OA=3 ， AB=2 ，
∴OB=OA+AB=5 ，
∴OB=OC ，
又∵OD=OA=3 ， ∠AOC=∠DOB ，
∴△AOC≌△DOBSAS ，
∴∠OAC=∠ODB=90∘ ，
∴OD⊥BD ，
∵点D在 ⊙O 上，
∴BD 为 ⊙O 的切线；
(2)∵△AOC≌△DOB ，
∴BD=AC=4 ，
∵∠ABE=∠DBO ， ∠BAE=∠BDO ，
∴△BAE∽△BDO ，
∴AEOD=ABBD ，即 AE3=24 ，
∴解得 AE=32 .
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21.【答案】(1)y=−14x2+4
(2)0.5m
(3)9712m
【解析】
【分析】(1)根据顶点坐标，设函数解析式为 y=ax2+4 ，求出 A 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出 y=3.75 时对应的自变量的值，得到 FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
(3)求出直线 AC 的解析式，进而设出过点 K 的光线解析式为 y=−34x+m ，利用光线与抛物线相切，求出 m 的值，进而求出 K 点坐标，即可得出 BK 的长．
【详解】(1)解：∵抛物线 AED 的顶点 E0,4 ，
设抛物线的解析式为 y=ax2+4 ，
∵四边形 ABCD 为矩形， OE 为 BC 的中垂线，
∴AD=BC=4m ， OB=2m ，
∵AB=3m ，
∴点 A−2,3 ，代入 y=ax2+4 ，得：
3=4a+4 ，
∴a=−14 ，
∴抛物线的解析式为 y=−14x2+4 ；
(2)∵四边形 LFGT ，四边形 SMNR 均为正方形， FL=NR=0.75m ，
∴MG=FN=FL=NR=0.75m ，
延长 LF 交 BC 于点 H ，延长 RN 交 BC 于点 J ，则四边形 FHJN ，四边形 ABFH 均为矩形，
∴FH=AB=3m,FN=HJ ，
∴HL=HF+FL=3.75m ，
∵y=−14x2+4 ，当 y=3.75 时， 3.75=−14x2+4 ，解得： x=±1 ，
∴H−1,0 ， J1,0 ，
∴FN=HJ=2m ，
∴GM=FN−FG−MN=0.5m ；
(3)∵BC=4m ， OE 垂直平分 BC ，
∴OB=OC=2m ，
∴B−2,0,C2,0 ，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ，
则： 2k+b=0−2k+b=3 ，解得： k=−34b=32 ，
∴y=−34x+32 ，
∵太阳光为平行光，
设过点 K 平行于 AC 的光线的解析式为 y=−34x+m ，
由题意，得： y=−34x+m 与抛物线相切，
联立 y=−14x2+4y=−34x+m ，整理得： x2−3x+4m−16=0 ，
则： Δ=−32−44m−16=0 ，解得： m=7316 ；
∴y=−34x+7316 ，当 y=0 时， x=7312 ，
∴K7312,0 ，
∵B−2,0 ，
∴BK=2+7312=9712m .
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
22.【答案】(1)①见解析；② 20 ；(2)32 ；(3)3 或 4 或 32
【解析】
【分析】(1)①根据矩形的性质得出 ∠ABE+∠CBF=90∘ ， ∠CFB=∠A=90∘ ，进而证明 ∠FCB=∠ABE 结合已知条件，即可证明 △ABE≌△FCB ；
②由①可得 ∠FCB=∠ABE ， ∠CFB=∠A=90∘ ，证明 △ABE∽△FCB ，得出 ABCF=BEBC ，根据 S矩形ABCD=AB⋅CD=20 ，即可求解；
(2)根据菱形的性质得出 AD//BC ， AB=BC ，根据已知条件得出 BE=13BC,AE=43AB ，证明 △AFE∽△BEC ，根据相似三角形的性质即可求解；
(3)分三种情况讨论，①当点 G 在 AD 边上时，如图所示，延长 FE 交 AD 的延长线于点 M ，连接 GF ，过点 E 作 EH⊥DM 于点 H ，证明 △EDM∽△ECF ，解 Rt△DEH ，进而得出 MG=7 ，根据 tan∠MEH=tan∠HGE ，得出 HE2=HM⋅HG ，建立方程解方程即可求解；②当 G 点在 AB 边上时，如图所示，连接 GF ，延长 GE 交 BC 的延长线于点 M ，过点 G 作 GN//AD ，则 GN//BC ，四边形 ADNG 是平行四边形，同理证明 △ENG∽△ECM ，根据 tan∠FEH=tan∠M 得出 EH2=FH⋅HM ，建立方程，解方程即可求解；③当 G 点在 BC 边上时，如图所示，过点 B 作 BT⊥DC 于点 T ，求得 8 ，而 S△EFG=72 3 ，得出矛盾，则此情况不存在．
【详解】解：(1)①∵四边形 ABCD 是矩形，则 ∠A=∠ABC=90∘ ，
∴∠ABE+∠CBF=90∘ ，
又∵CF⊥BC ，
∴∠FCB+∠CBF=90∘ ， ∠CFB=∠A=90∘ ，
∴∠FCB=∠ABE ，
又∵BC=BE ，
∴△ABE≌△FCB ；
②由①可得 ∠FCB=∠ABE ， ∠CFB=∠A=90∘
∴△ABE∽△FCB
∴ABCF=BEBC ，
又∵S矩形ABCD=AB⋅CD=20
∴BE⋅CF=AB⋅BC=20 ，
故答案为： 20 .
(2)∵在菱形 ABCD 中， cosA=13 ，
∴AD//BC ， AB=BC ，
则 ∠CBE=∠A ，
∵CE⊥AB ，
∴∠CEB=90∘ ，
∵cos∠CBE=BECB
∴BE=BC⋅cos∠CBE=BC×cos∠A=13BC ，
∴AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AB=43AB ，
∵EF⊥AD ， CE⊥AB
∴∠AFE=∠BEC=90∘ ，
又 ∠CBE=∠A ，
∴△AFE∽△BEC ，
∴AEBC=EFCE=AFBE ，
∴EF⋅BC =AE⋅CE=43AB×CE=43S菱形ABCD=43×24=32 ；
(3)①当点 G 在 AD 边上时，如图所示，延长 FE 交 AD 的延长线于点 M ，连接 GF ，过点 E 作 EH⊥DM 于点 H ，
∵平行四边形 ABCD 中， AB=6 ， CE=2 ，
∴CD=AB=6 ， DE=DC−EC=6−2=4 ，
∵DM//FC ，
∴△EDM∽△ECF
∴EMEF=EDEC=42=2 ，
∴S△MGES△FEG=EMEF=2
∴S△MGE=2S△EFG= EF⋅EG=7 3
在 Rt△DEH 中， ∠HDE=∠A=60∘ ，
则 EH= 32DE= 32×4=2 3 ， DH=12DE=2 ，
∴12MG×HE=7 3
∴MG=7 ，
∵GE⊥EF,EH⊥MG ，
∴∠MEH=90∘−∠HEG=∠HGE
∴tan∠MEH=tan∠HGE
∴HEHG=HMHE
∴HE2=HM⋅HG
设 AG=a ，则 GD=AD−AG=5−a ， GH=GD+HD=5−a+2=7−a ， HM=GM−GH=7−7−a=a ，
∴2 32=x7−x
解得： a=3 或 a=4 ，
即 AG=3 或 AG=4 ，
②当 G 点在 AB 边上时，如图所示，
连接 GF ，延长 GE 交 BC 的延长线于点 M ，过点 G 作 GN//AD ，则 GN//BC ，四边形 ADNG 是平行四边形，
设 AG=x ，则 DN=AG=x ， EN=DE−DN=4−x ，
∵GN//CM
∴△ENG∽△ECM
∴EGEM=ENEC=GNCM=4−x2 ，
∴CM=2GN4−x=104−x
∴S△GEFS△MEF=EGEM=4−x2 ，
∵EF⋅EG=7 3
∴S△MEF=2S△GEF4−x=7 34−x
过点 E 作 EH⊥BC 于点 H ，
在 Rt△EHC 中， EC=2,∠ECH=60∘ ，
∴EH= 3 ， CH=1 ，
∴S△MEF=12×MF×EH ，则 12× 3×MF=7 34−x ，
∴MF=144−x ，
∴FH=MF−CM−CH=144−x−104−x−1=x4−x ， MH=CM+CH=104−x+1=14−x4−x
∵∠MEF=∠EHM=90∘ ，
∴∠FEH=90∘−∠MEH=∠M
∴tan∠FEH=tan∠M ，
即 FHEH=EHHM ，
∴EH2=FH⋅HM
即 32=x4−x×14−x4−x
解得： x1=32,x2=8 (舍去)
即 AG=32 ；
③当 G 点在 BC 边上时，如图所示，
过点 B 作 BT⊥DC 于点 T ，
在 Rt△BTC 中， CT=12BC=52 ， BT= 3TC=5 32 ，
∴2 ，
∵EF⋅EG=7 3 ，
∴S△EFG=72 3 ，
∵258 3<72 3 ，
∴G 点不可能在 BC 边上，
综上所述， AG 的长为 3 或 4 或 32 .
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
2023年广东省深圳市中考数学真题
1. 如果+10∘C表示零上10度，则零下8度表示( )
A. +8 B. −8 C. +10 D. −10
2. 下列图形中，为轴对称的图形的是( )
A. B. C. D.
3. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为( )
A. 0.32×106 B. 3.2×105 C. 3.2×109 D. 32×108
4. 下表为五种运动耗氧情况，其中耗氧量的中位数是( )
打网球
跳绳
爬楼梯
慢跑
游泳
80L/h
90L/h
105L/h
110L/h
115L/h
A. 80L/h B. 107.5L/h C. 105L/h D. 110L/h
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6 B. 4ab−ab=4
C. a+12=a2+1 D. −a32=a6
7. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120∘，DE与地面平行，∠ABD=50∘，则∠ACB=( )
A. 70∘ B. 65∘ C. 60∘ D. 50∘
8. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是( )
A. 75x−5=50x B. 75x=50x−5 C. 75x+5=50x D. 75x=50x+5
9. 爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能1.025−cosαJ，若某人爬了1000m，该坡角为30∘，则他耗能(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)( )
A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J
10. 如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t(单位：s)的关系如图2，则AC的长为( )
A. 15 52 B. 427 C. 17 D. 5 3
11. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为__________.
12. 已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab2的值为__________.
13. 如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC=20∘，则∠BAD=__________∘.
14. 如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=∠BOC=30∘，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB= 3，反比例函数y=kxk≠0恰好经过点C，则k=__________.
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，tanB=34，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE
16. 计算：1+π0+2−−3+2sin45∘.
17. 先化简，再求值：1+1x−1÷x2−1x2−2x+1，其中x=3.
18. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷(1人只能投1票)，共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数a=______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果(分数)如下：
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
若以1:1:1:1进行考核，______小区满意度(分数)更高；
若以1:1:2:1进行考核，______小区满意度(分数)更高．
19. 某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
20. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA=3，AB=2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC=4(点C在A的上方)；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E.
(1)求证：BD为⊙O的切线；
(2)求AE的长度．
21. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线AED的顶点E0,4，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL=NR=0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK，求BK的长．
22. (1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S矩形ABCD=20时，则BE⋅CF=______.
(2)如图，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD=24时，求EF⋅BC的值．
(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60∘，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=7 3时，请直接写出AG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】根据“负数是与正数互为相反意义的量”即可得出答案．
【详解】解：因为 +10 ∘C表示零上10度，
所以零下8度表示“ −8 ”．
故选B
【点睛】本题考查正负数的意义，属于基础题，解题的关键在于理解负数的意义．
2.【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
3.【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】 320000=3.2×105 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤a<10 ，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】
【分析】将数据排序后，中间一个数就是中位数．
【详解】解：由表格可知，处在中间位置的数据为 105L/h ，
∴中位数为 105L/h ，
故选C.
【点睛】本题考查中位数．熟练掌握中位数的确定方法：将数据进行排序后，处在中间位置的一个数据或者两个数据的平均数为中位数，是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质得到 CD=AB=4 ，然后根据菱形的性质得到 EC=CD=4 ，然后求解即可．
【详解】∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB=4 ，
∵四边形 ECDF 为菱形，
∴EC=CD=4 ，
∵BC=6 ，
∴BE=BC−CE=2 ，
∴a=2 .
故选：B.
【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6.【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵a3⋅a2=a5 ，故A不符合题意；
∵4ab−ab=3ab ，故B不符合题意；
∵a+12=a2+2a+1 ，故C不符合题意；
∵−a32=a6 ，故D符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【分析】根据平行得到 ∠ABD=∠EDC=50∘ ，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： DE//AB ，
∴∠ABD=∠EDC=50∘ ，
∵∠DEF=∠EDC+∠DCE=120∘ ，
∴∠DCE=70∘ ，
∴∠ACB=∠DCE=70∘ ；
故选A.
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】 1000(1.025−cosα)=1000(1.025−cos30∘)=1025−500 3≈1025−500×1.732=159
故选：B.
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值计算求解．
【详解】 1000(1.025−cosα)=1000(1.025−cos30∘)=1025−500 3≈1025−500×1.732=159
故选：B.
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知 t=0 时，点 P 与点 A 重合，得到 AB=15 ，进而求出点 P 从点 A 运动到点 B 所需的时间，进而得到点 P 从点 B 运动到点 C 的时间，求出 BC 的长，再利用勾股定理求出 AC 即可．
【详解】解：由图象可知： t=0 时，点 P 与点 A 重合，
∴AB=15 ，
∴点 P 从点 A 运动到点 B 所需的时间为 15÷2=7.5s ；
∴点 P 从点 B 运动到点 C 的时间为 11.5−7.5=4s ，
∴BC=2×4=8 ；
在 Rt△ABC 中： AC= AB2+BC2=17 ；
故选C.
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出 AB,BC 的长，是解题的关键．
11.【答案】 14
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，
∴P=14 ，
故答案为： 14 .
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
12.【答案】42
【解析】
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】 a2b+ab2
=aba+b
=7×6
=42 .
故答案为：42.
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
13.【答案】35
【解析】
【分析】由题意易得 ∠ACB=90∘ ， ∠ADC=∠ABC=20∘ ，则有 ∠BAC=70∘ ，然后问题可求解．
【详解】解：∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘ ，
∵AC⌢=AC⌢ ， ∠ADC=20∘ ，
∴∠ADC=∠ABC=20∘ ，
∴∠BAC=70∘ ，
∵AD 平分 ∠BAC ，
∴∠BAD=12∠BAC=35∘ ；
故答案为35.
【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
14.【答案】 4 3
【解析】
【分析】过点C作 CD⊥x 轴于点D，由题意易得 OB=2 3,BC=2,∠COD=30∘ ，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作 CD⊥x 轴于点D，如图所示：
∵∠AOB=∠BOC=30∘ ， BA⊥OA ， CB⊥OB ，
∴AB=12OB,BC=12OC ，
∵∠AOD=90∘ ，
∴∠COD=30∘ ，
∵AB= 3 ，
∴OB=2AB=2 3 ，
在 Rt△OBC 中， OB= OC2−BC2= 3BC=2 3 ，
∴BC=2 ， OC=4 ，
∵∠COD=30∘ ， ∠CDO=90∘ ，
∴CD=12OC=2 ，
∴OD= 3CD=2 3 ，
∴点 C2 3,2 ，
∴k=4 3 ，
故答案为： 4 3 .
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
15.【答案】 4975
【解析】
【分析】 AM⊥BD 于点M， AN⊥DE 于点N，则 AM=AN ，过点G作 GP⊥BC 于点P，设 AM=12a ，根据 tanB=AMBM=34 得出 BM=16a ，继而求得 AB= AM2+BM2=20a ， CG=5a ， AG=15a ，再利用 tanC=tanB=GPCP=34 ，求得 GP=3a,CP=4a ，利用勾股定理求得 GN= AG2−AN2=9a ， EN= AE2−AN2=16a ，故 EG=EN−GN=7a ，
【详解】由折叠的性质可知， DA 是 ∠BDE 的角平分线， AB=AE ，用 HL 证明 △ADM≌△ADN ，从而得到 DM=DN ，设 DM=DN=x ，则 DG=x+9a ， DP=12a−x ，利用勾股定理得到 DP2+GP2=DG2 即 12a−x2+3a2=x+9a2 ，化简得 x=127a ，从而得出 DG=757a ，利用三角形的面积公式得到： S三角形AGES三角形ADG=12EG⋅AN12DG⋅AN=EGDG=7a757a=4975 .
作 AM⊥BD 于点M， AN⊥DE 于点N，则 AM=AN ，
过点G作 GP⊥BC 于点P，
∵AM⊥BD 于点M，
∴tanB=AMBM=34 ，
设 AM=12a ，则 BM=16a ， AB= AM2+BM2=20a ，
又∵AB=AC ， AM⊥BD ，
∴CM=AM=12a ， AB=AC=20a ， ∠B=∠C ，
∵AG:CG=3:1 ，即 CG=14AC ，
∴CG=5a ， AG=15a ，
在 Rt△PCG 中， CG=5a ， tanC=tanB=GPCP=34 ，
设 GP=3m ，则 CP=4m,CG= GP2+CP2=5m
∴m=a
∴GP=3a,CP=4a ，
∵AG=15a ， AM=AN=12a ， AN⊥DE ，
∴GN= AG2−AN2=9a ，
∵AB=AE=20a ， AN=12a ， AN⊥DE
∴EN= AE2−AN2=16a ，
∴EG=EN−GN=7a ，
∵AD=AD ， AM=AN ， AM⊥BD ， AN⊥DE ，
∴△ADM≌△ADNHL ，
∴DM=DN ，
设 DM=DN=x ，则 DG=DN+GN=x+9a ， DP=CM−CP−DM=16a−4a−x=12a−x ，
在 Rt△PDG 中， DP2+GP2=DG2 ，即 12a−x2+3a2=x+9a2 ，
化简得： x=127a ，
∴DG=x+9a=757a ，
∴S三角形AGES三角形ADG=12EG⋅AN12DG⋅AN=EGDG=7a757a=4975
故答案是： 4975 .
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
16.【答案】 2
【解析】
【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式 =1+2−3+2× 22
= 2 .
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
17.【答案】 xx+1 ， 34
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】 1+1x−1÷x2−1x2−2x+1
=xx−1÷x+1x−1x−12
=xx−1×x−1x+1
=xx+1
∵x=3
∴原式 =33+1=34 .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18.【答案】①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲．
【解析】
【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数；
②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数；
③根据样本估计总体的方法求解即可；
④根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】① a=40÷40%=100 (人)，
调查总人数 a=100 人；
故答案为：100；
② 100−17−13−40=30 (人)
∴娱乐的人数为30(人)
∴补充条形统计图如下：
③ 100000×30100×100%=30000 (人)
∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④若以 1:1:1:1 进行考核，
甲小区得分为 14×7+7+9+8=7.75 ，
乙小区得分为 14×8+8+7+9=8 ，
∴若以 1:1:1:1 进行考核，乙小区满意度(分数)更高；
若以 1:1:2:1 进行考核，
甲小区得分为 7×14+7×14+9×25+8×14=9.1 ，
乙小区得分为 8×14+8×14+7×25+9×14=9.05 ，
∴若以 1:1:1:1 进行考核，甲小区满意度(分数)更高；
故答案为：乙；甲．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键
19.【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)最多购置100个A玩具．
【解析】
【分析】(1)设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为 x+25 元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
(2)设A玩具购置y个，则B玩具购置 2y 个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【详解】(1)解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为 x+25 元；
由题意得： 2x+25+x=200 ；
解得： x=50 ，
则B玩具单价为 x+25=75 (元)；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)设A玩具购置y个，则B玩具购置 2y 个，
由题意可得： 50y+75×2y≤20000 ，
解得： y≤100 ，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
20.【答案】(1)画图见解析，证明见解析
(2)AE=32
【解析】
【分析】(1)根据题意作图，首先根据勾股定理得到 OC= OA2+AC2=5 ，然后证明出 △AOC≌△DOBSAS ，得到 ∠OAC=∠ODB=90∘ ，即可证明出 BD 为 ⊙O 的切线；
(2)首先根据全等三角形的性质得到 BD=AC=4 ，然后证明出 △BAE∽△BDO ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】(1)如图所示，
∵AC 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥AC ，
∵OA=3 ， AC=4 ，
∴OC= OA2+AC2=5 ，
∵OA=3 ， AB=2 ，
∴OB=OA+AB=5 ，
∴OB=OC ，
又∵OD=OA=3 ， ∠AOC=∠DOB ，
∴△AOC≌△DOBSAS ，
∴∠OAC=∠ODB=90∘ ，
∴OD⊥BD ，
∵点D在 ⊙O 上，
∴BD 为 ⊙O 的切线；
(2)∵△AOC≌△DOB ，
∴BD=AC=4 ，
∵∠ABE=∠DBO ， ∠BAE=∠BDO ，
∴△BAE∽△BDO ，
∴AEOD=ABBD ，即 AE3=24 ，
∴解得 AE=32 .
【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21.【答案】(1)y=−14x2+4
(2)0.5m
(3)9712m
【解析】
【分析】(1)根据顶点坐标，设函数解析式为 y=ax2+4 ，求出 A 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出 y=3.75 时对应的自变量的值，得到 FN 的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
(3)求出直线 AC 的解析式，进而设出过点 K 的光线解析式为 y=−34x+m ，利用光线与抛物线相切，求出 m 的值，进而求出 K 点坐标，即可得出 BK 的长．
【详解】(1)解：∵抛物线 AED 的顶点 E0,4 ，
设抛物线的解析式为 y=ax2+4 ，
∵四边形 ABCD 为矩形， OE 为 BC 的中垂线，
∴AD=BC=4m ， OB=2m ，
∵AB=3m ，
∴点 A−2,3 ，代入 y=ax2+4 ，得：
3=4a+4 ，
∴a=−14 ，
∴抛物线的解析式为 y=−14x2+4 ；
(2)∵四边形 LFGT ，四边形 SMNR 均为正方形， FL=NR=0.75m ，
∴MG=FN=FL=NR=0.75m ，
延长 LF 交 BC 于点 H ，延长 RN 交 BC 于点 J ，则四边形 FHJN ，四边形 ABFH 均为矩形，
∴FH=AB=3m,FN=HJ ，
∴HL=HF+FL=3.75m ，
∵y=−14x2+4 ，当 y=3.75 时， 3.75=−14x2+4 ，解得： x=±1 ，
∴H−1,0 ， J1,0 ，
∴FN=HJ=2m ，
∴GM=FN−FG−MN=0.5m ；
(3)∵BC=4m ， OE 垂直平分 BC ，
∴OB=OC=2m ，
∴B−2,0,C2,0 ，
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ，
则： 2k+b=0−2k+b=3 ，解得： k=−34b=32 ，
∴y=−34x+32 ，
∵太阳光为平行光，
设过点 K 平行于 AC 的光线的解析式为 y=−34x+m ，
由题意，得： y=−34x+m 与抛物线相切，
联立 y=−14x2+4y=−34x+m ，整理得： x2−3x+4m−16=0 ，
则： Δ=−32−44m−16=0 ，解得： m=7316 ；
∴y=−34x+7316 ，当 y=0 时， x=7312 ，
∴K7312,0 ，
∵B−2,0 ，
∴BK=2+7312=9712m .
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
22.【答案】(1)①见解析；② 20 ；(2)32 ；(3)3 或 4 或 32
【解析】
【分析】(1)①根据矩形的性质得出 ∠ABE+∠CBF=90∘ ， ∠CFB=∠A=90∘ ，进而证明 ∠FCB=∠ABE 结合已知条件，即可证明 △ABE≌△FCB ；
②由①可得 ∠FCB=∠ABE ， ∠CFB=∠A=90∘ ，证明 △ABE∽△FCB ，得出 ABCF=BEBC ，根据 S矩形ABCD=AB⋅CD=20 ，即可求解；
(2)根据菱形的性质得出 AD//BC ， AB=BC ，根据已知条件得出 BE=13BC,AE=43AB ，证明 △AFE∽△BEC ，根据相似三角形的性质即可求解；
(3)分三种情况讨论，①当点 G 在 AD 边上时，如图所示，延长 FE 交 AD 的延长线于点 M ，连接 GF ，过点 E 作 EH⊥DM 于点 H ，证明 △EDM∽△ECF ，解 Rt△DEH ，进而得出 MG=7 ，根据 tan∠MEH=tan∠HGE ，得出 HE2=HM⋅HG ，建立方程解方程即可求解；②当 G 点在 AB 边上时，如图所示，连接 GF ，延长 GE 交 BC 的延长线于点 M ，过点 G 作 GN//AD ，则 GN//BC ，四边形 ADNG 是平行四边形，同理证明 △ENG∽△ECM ，根据 tan∠FEH=tan∠M 得出 EH2=FH⋅HM ，建立方程，解方程即可求解；③当 G 点在 BC 边上时，如图所示，过点 B 作 BT⊥DC 于点 T ，求得 8 ，而 S△EFG=72 3 ，得出矛盾，则此情况不存在．
【详解】解：(1)①∵四边形 ABCD 是矩形，则 ∠A=∠ABC=90∘ ，
∴∠ABE+∠CBF=90∘ ，
又∵CF⊥BC ，
∴∠FCB+∠CBF=90∘ ， ∠CFB=∠A=90∘ ，
∴∠FCB=∠ABE ，
又∵BC=BE ，
∴△ABE≌△FCB ；
②由①可得 ∠FCB=∠ABE ， ∠CFB=∠A=90∘
∴△ABE∽△FCB
∴ABCF=BEBC ，
又∵S矩形ABCD=AB⋅CD=20
∴BE⋅CF=AB⋅BC=20 ，
故答案为： 20 .
(2)∵在菱形 ABCD 中， cosA=13 ，
∴AD//BC ， AB=BC ，
则 ∠CBE=∠A ，
∵CE⊥AB ，
∴∠CEB=90∘ ，
∵cos∠CBE=BECB
∴BE=BC⋅cos∠CBE=BC×cos∠A=13BC ，
∴AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AB=43AB ，
∵EF⊥AD ， CE⊥AB
∴∠AFE=∠BEC=90∘ ，
又 ∠CBE=∠A ，
∴△AFE∽△BEC ，
∴AEBC=EFCE=AFBE ，
∴EF⋅BC =AE⋅CE=43AB×CE=43S菱形ABCD=43×24=32 ；
(3)①当点 G 在 AD 边上时，如图所示，延长 FE 交 AD 的延长线于点 M ，连接 GF ，过点 E 作 EH⊥DM 于点 H ，
∵平行四边形 ABCD 中， AB=6 ， CE=2 ，
∴CD=AB=6 ， DE=DC−EC=6−2=4 ，
∵DM//FC ，
∴△EDM∽△ECF
∴EMEF=EDEC=42=2 ，
∴S△MGES△FEG=EMEF=2
∴S△MGE=2S△EFG= EF⋅EG=7 3
在 Rt△DEH 中， ∠HDE=∠A=60∘ ，
则 EH= 32DE= 32×4=2 3 ， DH=12DE=2 ，
∴12MG×HE=7 3
∴MG=7 ，
∵GE⊥EF,EH⊥MG ，
∴∠MEH=90∘−∠HEG=∠HGE
∴tan∠MEH=tan∠HGE
∴HEHG=HMHE
∴HE2=HM⋅HG
设 AG=a ，则 GD=AD−AG=5−a ， GH=GD+HD=5−a+2=7−a ， HM=GM−GH=7−7−a=a ，
∴2 32=x7−x
解得： a=3 或 a=4 ，
即 AG=3 或 AG=4 ，
②当 G 点在 AB 边上时，如图所示，
连接 GF ，延长 GE 交 BC 的延长线于点 M ，过点 G 作 GN//AD ，则 GN//BC ，四边形 ADNG 是平行四边形，
设 AG=x ，则 DN=AG=x ， EN=DE−DN=4−x ，
∵GN//CM
∴△ENG∽△ECM
∴EGEM=ENEC=GNCM=4−x2 ，
∴CM=2GN4−x=104−x
∴S△GEFS△MEF=EGEM=4−x2 ，
∵EF⋅EG=7 3
∴S△MEF=2S△GEF4−x=7 34−x
过点 E 作 EH⊥BC 于点 H ，
在 Rt△EHC 中， EC=2,∠ECH=60∘ ，
∴EH= 3 ， CH=1 ，
∴S△MEF=12×MF×EH ，则 12× 3×MF=7 34−x ，
∴MF=144−x ，
∴FH=MF−CM−CH=144−x−104−x−1=x4−x ， MH=CM+CH=104−x+1=14−x4−x
∵∠MEF=∠EHM=90∘ ，
∴∠FEH=90∘−∠MEH=∠M
∴tan∠FEH=tan∠M ，
即 FHEH=EHHM ，
∴EH2=FH⋅HM
即 32=x4−x×14−x4−x
解得： x1=32,x2=8 (舍去)
即 AG=32 ；
③当 G 点在 BC 边上时，如图所示，
过点 B 作 BT⊥DC 于点 T ，
在 Rt△BTC 中， CT=12BC=52 ， BT= 3TC=5 32 ，
∴2 ，
∵EF⋅EG=7 3 ，
∴S△EFG=72 3 ，
∵258 3<72 3 ，
∴G 点不可能在 BC 边上，
综上所述， AG 的长为 3 或 4 或 32 .
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
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