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2023长沙长郡中学高一下学期期末数学试题含解析
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这是一份2023长沙长郡中学高一下学期期末数学试题含解析，文件包含湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题含解析docx、湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
长郡中学2023年上学期高一期末考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若∥，∥，则∥
B. 若为异面直线，则过空间任一点，存在直线与都垂直
C. 若，，则与相交
D. 若不垂直于，且，则不垂直于
5. 一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
6. 向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A. A与互斥 B. 与相互独立
C. D. A与互斥
8. 已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法正确的是（ ）
A. 产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B. 产品升级后，产品B营收是升级前的2倍
C. 产品升级后，产品C的营收减少
D. 产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变
10. 设，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若是纯虚数，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若复数满足，则的最大值为
11. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点M的运动轨迹长度为
D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为______．
14. 甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为_________．
15. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切. 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.
16. 如图，已知，分别为两边上的点，，，过点，作圆弧，为的中点，且则线段长度的最大值为_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求值．
18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
10
24
2
合计
1
（1）写出表中、及图中的值（不需过程）；
（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数；
（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）
20. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
21. 已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，.
（1）证明：BC⊥AD；
（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为，求二面角的余弦值．
22. 甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率；
（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
长郡中学2023年上学期高一期末考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若∥，∥，则∥
B. 若为异面直线，则过空间任一点，存在直线与都垂直
C. 若，，则与相交
D. 若不垂直于，且，则不垂直于
5. 一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
6. 向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ）
A. A与互斥 B. 与相互独立
C. D. A与互斥
8. 已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法正确的是（ ）
A. 产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B. 产品升级后，产品B营收是升级前的2倍
C. 产品升级后，产品C的营收减少
D. 产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变
10. 设，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若是纯虚数，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若复数满足，则的最大值为
11. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点M的运动轨迹长度为
D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为______．
14. 甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为_________．
15. 水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切. 若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.
16. 如图，已知，分别为两边上的点，，，过点，作圆弧，为的中点，且则线段长度的最大值为_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求值．
18. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
19. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
10
24
2
合计
1
（1）写出表中、及图中的值（不需过程）；
（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数；
（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）
20. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
21. 已知三棱锥ABCD，D在面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．，.
（1）证明：BC⊥AD；
（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为，求二面角的余弦值．
22. 甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙､丙､丁相互之间胜负的可能性相同.
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率；
（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
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