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2024届新高三数学开学摸底试卷三（新高考专用）（Word版附解析）
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这是一份2024届新高三数学开学摸底试卷三（新高考专用）（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了005等内容，欢迎下载使用。
2024届新高三开学摸底试卷三（新高考专用）
数学
(时间：120分钟 满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·保定模拟)设集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B等于( )
A．{2} B．{2,3}
C．{3,4} D．{2,3,4}
答案 B
解析 由x2－2x－8<0，解得－2
A. B.
C. D．2
答案 C
解析 (z－2)i＝1＋i，则z＝＋2＝1－i＋2＝3－i，所以|z|＝＝.
3．已知a，b为任意实数，则“|a|≥|b|”是“lg a≥lg b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若lg a≥lg b，则a≥b>0，显然|a|≥|b|，
反之不一定成立，如a＝－3，b＝－2时，满足|a|≥|b|，但是lg a与lg b无意义，
所以“|a|≥|b|”是“lg a≥lg b”的必要不充分条件．
4．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则a＋b与a－b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由a＋b＝(，1)可得|a＋b|＝＝2，
则|a＋b|2＝4，所以a2＋2a·b＋b2＝4，即得1＋2a·b＋3＝4，故a·b＝0，
则|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4，所以|a－b|＝2，
故cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝－，由于〈a＋b，a－b〉∈[0，π]，故〈a＋b，a－b〉＝.
5．函数f(x)＝x－sin x的图象可能是( )
答案 A
解析 因为f(－x)＝－x＋sin x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除BD；当x＝－时，f(x)＝×－sin＝－＋>0，故排除C.
6．(2023·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则该双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 A
解析 由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，斜率k1＝或－，直线2x－y＋1＝0的斜率k2＝2，因为两直线垂直，
所以k1·k2＝－1，即2×＝－1(∵a>0，b>0，显然不符合题意)，
或2×＝－1，则a＝2b，又c2＝a2＋b2＝a2，所以e2＝＝，e＝.
7.(2023·大同模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图，分别取BC，BB1的中点E，F，连接AE，AF，EF，A1M，DM，A1F，
因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形ABCD为正方形，所以DM⊥AE，
又D1D⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以D1D⊥AE，而DM∩D1D＝D，DM，D1D⊂平面D1DM，所以AE⊥平面D1DM，又因为D1M⊂平面D1DM，
所以D1M⊥AE，
同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以D1M⊥平面AEF，
因为AP⊂平面AEF，所以AP⊥D1M，
因为动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF，
而EF＝，所以动点P的轨迹的长度为.
8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示，图中共有2个正三角形)．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形)，这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接形成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形面积为( )
图1 图2 图3
A. B．1
C. D.
答案 A
解析 设第n个正三角形的边长为an，则第n＋1个正三角形的边长为an＋1，
由条件可知，a1＝243，
又由图形可知，a＝2＋2－2×an×an×cos 60°，所以a＝a，an>0，
所以＝，所以{an}是首项为243，公比为的等比数列，
所以an＝243×n－1，所以an＝n－11，所以a10＝，
所以最小的正三角形的面积为×××＝.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是( )
A．频率分布直方图中a＝0.005
B．此次比赛得分及格的共有55人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50,80)的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75分
答案 AD
解析 由图可知，10a＋0.035×10＋0.030×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
解得a＝0.005，故A正确；
比赛得分及格的人数为(0.030＋0.020＋0.010)×10×100＝60，故B错误；
成绩在[50,80)内的频率为(0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.85，即概率为0.85，故C错误；
设第80百分位数为(70＋x)分，则有×10＝0.8，解得x＝5，所以第80百分位数为75分，故D正确．
10．下列说法正确的是( )
A．通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势
B．已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)＝
C．若样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为8
D．若n的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中x2项的系数为－80
答案 BC
解析 对于A，通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可估计和预测变量的取值和变化趋势，故A错误；
对于B，因为随机变量X～N(0，σ2)，P(|X|<2)＝P(－22)＝，故B正确；
对于C，样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为22×2＝8，故C正确；
对于D，由题知2n＝32，得n＝5，故二项式为5，
展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)5－kk＝(－1)k·25－k·C·，显然当k＝2时，可得x2项的系数为(－1)2·23·C＝80，故D错误．
11．(2023·济南模拟)已知a＝(cos x，sin x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b，则下列选项正确的是( )
A．函数f(x)的值域为
B．将函数y＝sin x＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，可得函数f(x)的图象
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为
答案 ABD
解析 f(x)＝a·b＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝sin＋，
对于A，因为sin∈[－1,1]，
所以f(x)∈，故A正确；
对于B，将函数y＝sin x＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，
得y＝sin 2x＋，
再将所得图象向左平移个单位长度，
得y＝sin 2＋＝sin＋＝f(x)，故B正确；
对于C，因为f ＝0，f ＝，
所以函数f(x)不是奇函数，故C错误；
对于D，令f(x)＝0，
则sin＝－，
则2x＋＝－＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
所以x＝－＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，
因为x∈[0,2π]，
所以x＝或或或，
所以函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为＋＋＋＝，故D正确．
12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.则下列说法正确的是( )
A．∠OMB的最大值为
B．若点A(4,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为6
C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMC
D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B，O，D三点共线
答案 ACD
解析 对于选项A，设直线MB：x＝－1＋my，
联立得y2－4my＋4＝0，
当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．
由Δ＝16m2－16＝0，得m＝±1.
直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值，故A正确；
对于选项B，A(4,2)，则A在准线x＝－1上的射影为A′(－1,2)，
设P到准线x＝－1的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|A′A|＝5，
当且仅当A′，P，A三点共线时等号成立，故B不正确；
对于选项C，由题意知，M(－1,0)，且l的斜率不为0，
则设l方程为x＝my＋1(m≠0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立直线l与抛物线的方程整理得y2－4my－4＝0，Δ＝16(m2＋1)>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
所以x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝－4m2＋4m2＋1＝1.
则kMB＋kMC＝＋＝＝＝＝0.
故直线MB，MC的倾斜角互补，
所以∠OMB＝∠OMC，故C正确；
对于选项D，由题意知D(－1，y2)，
由选项C知，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则kOB＝＝＝，kOD＝－y2，
由kOB－kOD＝＋y2＝＝0，知kOB＝kOD，
即B，O，D三点在同一条直线上，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若sin α＋2cos α＝0，则tan＝________.
答案 3
解析 因为sin α＋2cos α＝0，
所以sin α＝－2cos α，tan α＝－2，
故tan＝＝＝3.
14．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________________．
①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．
答案 f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)
解析 若满足①对任意的x1x2≥0，有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，
则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；
若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，
所以同时满足①②两个条件的函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．
15．已知母线长为6的圆锥的顶点为S，点A，B为圆锥的底面圆周上两动点，当SA与SB所夹的角最大时，锐角△SAB的面积为8，则此时圆锥的体积为________．
答案
解析 设底面圆的半径为r，
当SA与SB所夹的角最大时，AB为底面圆的直径，
此时S△SAB＝×6×6×sin∠ASB＝8，解得sin∠ASB＝，
∵△SAB为锐角三角形，∴cos∠ASB＝＝，
则(2r)2＝|AB|2＝62＋62－2×6×6×＝16，解得r＝2，
则圆锥的体积为×π×22×＝.
16．(2023·益阳模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝，当x1，x2∈(0，＋∞)时，≤恒成立，则正数k的取值范围是____________．
答案
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
令h(x)＝1－x－2ln x(x>0)，h′(x)＝－1－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝0，
所以在区间(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)≤f(1)＝1.
g′(x)＝·ex，所以在区间(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减；
在区间(1，＋∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝e.
当x>0时，g(x)＝>0，
又k>0，所以≤⇒≤，
即≥max，
由于g(x2)>0，故f(x1)>0，
所以max＝＝.
所以≥，又k>0，则ke≥k＋1，故k≥，
所以k的取值范围是.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin 2B＝sin B.
(1)求B；
(2)若a＝8，cos A＝，求BC边上的中线AD的长．
解 (1)由题意可得2sin Bcos B＝sin B，
因为0
因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝，则c＝＝＝7，
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝98＋16－2×7×4×＝58，
则AD＝.
18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)若a2＝3，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式15(T2n＋1－Tn)≤m2－7m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
(1)证明 当n≥2时，由2Sn＝nan＋n,2Sn－1＝(n－1)an－1＋(n－1)，
得2an＝nan－(n－1)an－1＋1，即(n－2)an－(n－1)an－1＋1＝0，①
所以当n≥3时，(n－3)an－1－(n－2)an－2＋1＝0，②
①－②得，当n≥3时，2an－1＝an＋an－2，即有an－an－1＝an－1－an－2.
所以{an}是等差数列．
(2)解 由于a1＝1，a2＝3，所以an＝2n－1，bn＝，
所以Tn＝1＋＋＋＋…＋，T2n＋1＝1＋＋＋＋…＋＋…＋，
令Mn＝T2n＋1－Tn，则Mn＝＋＋…＋，Mn＋1＝＋＋…＋，
所以Mn＋1－Mn＝－＝<0，
所以{Mn}是递减数列，15(T2n＋1－Tn)≤15M1＝15×＝8，
由题意，得m2－7m≥8，解得m≥8或m≤－1.
19．(12分)某生产企业的甲、乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品a件，如图为全部产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图1)，以及不合格产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图2)．
(1)求甲、乙厂区各自生产产品的不合格率；
(2)用不合格率估计抽到不合格产品的概率．
①用比例分配的分层随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记X为样本中不合格品的件数，求X的分布列；
②用简单随机抽样的方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记Y为样本中不合格品的件数．比较E(X)，E(Y)的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解．
解 (1)由题意知，甲厂区生产3a件产品，乙厂区生产a件产品，甲、乙两厂各生产不合格产品件，则甲厂区生产产品的不合格率P1＝＝，
乙厂区生产产品的不合格率P2＝＝.
(2)①由题意知，样本中有3件产品来自甲厂区，1件产品来自乙厂区，X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝3×＝，P(X＝1)＝C××2×＋3×＝，
P(X＝2)＝C×2××＋C××2×＝，
P(X＝3)＝3×＋C×2××＝，P(X＝4)＝3×＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
②全部产品的不合格率为p＝＝，由简单随机抽样方法知Y～B，
∴E(Y)＝4×＝1.
由①知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1，
∴E(X)＝E(Y)．
说明当抽样方法不同，但都是等可能抽样且样本容量相同时，样本中不合格品的件数的均值也相同．
20．(12分)如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
(1)设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长．
(1)证明 ∵四边形OBCH为正方形，∴BC∥OH，
∵BC⊄平面POH，OH⊂平面POH，∴BC∥平面POH.
∵BC⊂平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，
∴l∥BC.
(2)解 ∵圆锥的母线长为2，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2，
以O为原点，OH，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，M(0,1,1)，
设＝λ＝(λ，2λ，0)(0≤λ≤1)，＝＋＝(1＋λ，2λ，0)，
＝－＝(1＋λ，2λ－1，－1)，＝(1,0,0)为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为θ，
则sin θ＝＝，令1＋λ＝t∈[1,2]，
则sin θ＝＝，
∴当＝，即λ＝时，sin θ最大，θ也最大，此时＝，
∴MN＝||＝＝.
21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到F1(－，0)，F2(，0)两点的距离之和为4.
(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；
(2)已知直线l：y＝k(x－)与圆F：(x－)2＋y2＝交于M，N两点，与曲线C交于P，Q两点，其中M，P在第一象限．d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得T＝(|NQ|－|MP|)·d2取得最大值，若存在，求出k；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意知，|GF1|＋|GF2|＝4，又F1(，0)，F2(，0)，4>2，所以动点G的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．
由椭圆的定义可知，c＝，a＝2，又因为a2－b2＝c2，所以b2＝1，
故动点G的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)由题设可知，圆心F即为椭圆右焦点F2，且M，N一个在椭圆外，一个在椭圆内，
P，Q一个在⊙F2内，一个在⊙F2外，
在直线l上的四点满足：|NQ|－|MP|＝(|NQ|＋|NP|)－(|MP|＋|NP|)＝|PQ|－|MN|＝|PQ|－1，
由
消去y得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0，Δ>0恒成立．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系，
得x1＋x2＝，x1x2＝，
|PQ|＝＝.
所以|NQ|－|MP|＝|PQ|－1＝，原点O到直线l的距离d＝，
T＝(|NQ|－|MP|)·d2＝＝＝≤＝1，
当且仅当4k2＝，即k＝±时等号成立．
验证可知k＝±满足题意．
22．(12分)已知f(x)＝(x3－ax＋1)ln x.
(1)若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为x1，x2，x3且x12时，求实数a的取值范围．
解 (1)当x＝1时，f(x)＝0.令g(x)＝x3－ax＋1.
当x≠1时，f(x)的零点与函数g(x)(x>0)的零点相同．
当a≤0时，g(x)>0(x>0)，所以f(x)只有一个零点，不符合题意．
因此a>0.
又因为函数f(x)有三个不同的零点，所以g(x)(x>0)有两个均不等于1的不同零点．
令g′(x)＝3x2－a＝0，解得x＝(舍去负值)．
所以当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
因为g(0)＝1>0，g()＝1>0，
所以当g<0，即a>时，g(x)(x>0)有两个不同的零点．
又因为当g(1)＝0时，a＝2>，
所以若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是∪(2，＋∞)．
(2)因为x12，
所以12，
所以x1<1.
所以x1，x3是g(x)＝0的两个根．
又因为g(－2a)＝－8a3＋2a2＋1<－8a3＋4a2＝4a2(1－2a)<0，g(0)＝1>0，
所以g(x)＝0有一个小于0的根，不妨设为x0.
根据g(x)＝0有三个根x0，x1，x3，可知g(x)＝x3－ax＋1＝(x－x0)(x－x1)(x－x3)，
所以x0＋x1＋x3＝0，即x1＋x3＝－x0.
因为x1＋x3>2，所以x0<－2.
所以g(－2)＝－8＋2a＋1>0，即a>.
显然>2，所以a的取值范围是.
2024届新高三开学摸底试卷三（新高考专用）
数学
(时间：120分钟 满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·保定模拟)设集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B等于( )
A．{2} B．{2,3}
C．{3,4} D．{2,3,4}
答案 B
解析 由x2－2x－8<0，解得－2
A. B.
C. D．2
答案 C
解析 (z－2)i＝1＋i，则z＝＋2＝1－i＋2＝3－i，所以|z|＝＝.
3．已知a，b为任意实数，则“|a|≥|b|”是“lg a≥lg b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若lg a≥lg b，则a≥b>0，显然|a|≥|b|，
反之不一定成立，如a＝－3，b＝－2时，满足|a|≥|b|，但是lg a与lg b无意义，
所以“|a|≥|b|”是“lg a≥lg b”的必要不充分条件．
4．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则a＋b与a－b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由a＋b＝(，1)可得|a＋b|＝＝2，
则|a＋b|2＝4，所以a2＋2a·b＋b2＝4，即得1＋2a·b＋3＝4，故a·b＝0，
则|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4，所以|a－b|＝2，
故cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝－，由于〈a＋b，a－b〉∈[0，π]，故〈a＋b，a－b〉＝.
5．函数f(x)＝x－sin x的图象可能是( )
答案 A
解析 因为f(－x)＝－x＋sin x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除BD；当x＝－时，f(x)＝×－sin＝－＋>0，故排除C.
6．(2023·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则该双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
答案 A
解析 由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，斜率k1＝或－，直线2x－y＋1＝0的斜率k2＝2，因为两直线垂直，
所以k1·k2＝－1，即2×＝－1(∵a>0，b>0，显然不符合题意)，
或2×＝－1，则a＝2b，又c2＝a2＋b2＝a2，所以e2＝＝，e＝.
7.(2023·大同模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP⊥D1M，则动点P的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 如图，分别取BC，BB1的中点E，F，连接AE，AF，EF，A1M，DM，A1F，
因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形ABCD为正方形，所以DM⊥AE，
又D1D⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以D1D⊥AE，而DM∩D1D＝D，DM，D1D⊂平面D1DM，所以AE⊥平面D1DM，又因为D1M⊂平面D1DM，
所以D1M⊥AE，
同理可得D1M⊥AF，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以D1M⊥平面AEF，
因为AP⊂平面AEF，所以AP⊥D1M，
因为动点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，所以动点P的轨迹是线段EF，
而EF＝，所以动点P的轨迹的长度为.
8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示，图中共有2个正三角形)．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形)，这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接形成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形)，其中最小的正三角形面积为( )
图1 图2 图3
A. B．1
C. D.
答案 A
解析 设第n个正三角形的边长为an，则第n＋1个正三角形的边长为an＋1，
由条件可知，a1＝243，
又由图形可知，a＝2＋2－2×an×an×cos 60°，所以a＝a，an>0，
所以＝，所以{an}是首项为243，公比为的等比数列，
所以an＝243×n－1，所以an＝n－11，所以a10＝，
所以最小的正三角形的面积为×××＝.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]这五组)，则下列结论正确的是( )
A．频率分布直方图中a＝0.005
B．此次比赛得分及格的共有55人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[50,80)的概率为0.75
D．这100名参赛者得分的第80百分位数为75分
答案 AD
解析 由图可知，10a＋0.035×10＋0.030×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
解得a＝0.005，故A正确；
比赛得分及格的人数为(0.030＋0.020＋0.010)×10×100＝60，故B错误；
成绩在[50,80)内的频率为(0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.85，即概率为0.85，故C错误；
设第80百分位数为(70＋x)分，则有×10＝0.8，解得x＝5，所以第80百分位数为75分，故D正确．
10．下列说法正确的是( )
A．通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势
B．已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)＝
C．若样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为8
D．若n的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中x2项的系数为－80
答案 BC
解析 对于A，通过经验回归直线＝x＋及回归系数，可估计和预测变量的取值和变化趋势，故A错误；
对于B，因为随机变量X～N(0，σ2)，P(|X|<2)＝P(－2
对于C，样本数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则数据2x1－1,2x2－1,2x3－1，…，2x10－1的方差为22×2＝8，故C正确；
对于D，由题知2n＝32，得n＝5，故二项式为5，
展开式的通项为Tk＋1＝C·(2x)5－kk＝(－1)k·25－k·C·，显然当k＝2时，可得x2项的系数为(－1)2·23·C＝80，故D错误．
11．(2023·济南模拟)已知a＝(cos x，sin x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b，则下列选项正确的是( )
A．函数f(x)的值域为
B．将函数y＝sin x＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，可得函数f(x)的图象
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为
答案 ABD
解析 f(x)＝a·b＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝sin＋，
对于A，因为sin∈[－1,1]，
所以f(x)∈，故A正确；
对于B，将函数y＝sin x＋图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，
得y＝sin 2x＋，
再将所得图象向左平移个单位长度，
得y＝sin 2＋＝sin＋＝f(x)，故B正确；
对于C，因为f ＝0，f ＝，
所以函数f(x)不是奇函数，故C错误；
对于D，令f(x)＝0，
则sin＝－，
则2x＋＝－＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
所以x＝－＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，
因为x∈[0,2π]，
所以x＝或或或，
所以函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为＋＋＋＝，故D正确．
12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M.则下列说法正确的是( )
A．∠OMB的最大值为
B．若点A(4,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为6
C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMC
D．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B，O，D三点共线
答案 ACD
解析 对于选项A，设直线MB：x＝－1＋my，
联立得y2－4my＋4＝0，
当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值．
由Δ＝16m2－16＝0，得m＝±1.
直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值，故A正确；
对于选项B，A(4,2)，则A在准线x＝－1上的射影为A′(－1,2)，
设P到准线x＝－1的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|A′A|＝5，
当且仅当A′，P，A三点共线时等号成立，故B不正确；
对于选项C，由题意知，M(－1,0)，且l的斜率不为0，
则设l方程为x＝my＋1(m≠0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
联立直线l与抛物线的方程整理得y2－4my－4＝0，Δ＝16(m2＋1)>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
所以x1＋x2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝－4m2＋4m2＋1＝1.
则kMB＋kMC＝＋＝＝＝＝0.
故直线MB，MC的倾斜角互补，
所以∠OMB＝∠OMC，故C正确；
对于选项D，由题意知D(－1，y2)，
由选项C知，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则kOB＝＝＝，kOD＝－y2，
由kOB－kOD＝＋y2＝＝0，知kOB＝kOD，
即B，O，D三点在同一条直线上，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若sin α＋2cos α＝0，则tan＝________.
答案 3
解析 因为sin α＋2cos α＝0，
所以sin α＝－2cos α，tan α＝－2，
故tan＝＝＝3.
14．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________________．
①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)为偶函数．
答案 f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)
解析 若满足①对任意的x1x2≥0，有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，
则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；
若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，
所以同时满足①②两个条件的函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．
15．已知母线长为6的圆锥的顶点为S，点A，B为圆锥的底面圆周上两动点，当SA与SB所夹的角最大时，锐角△SAB的面积为8，则此时圆锥的体积为________．
答案
解析 设底面圆的半径为r，
当SA与SB所夹的角最大时，AB为底面圆的直径，
此时S△SAB＝×6×6×sin∠ASB＝8，解得sin∠ASB＝，
∵△SAB为锐角三角形，∴cos∠ASB＝＝，
则(2r)2＝|AB|2＝62＋62－2×6×6×＝16，解得r＝2，
则圆锥的体积为×π×22×＝.
16．(2023·益阳模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝，当x1，x2∈(0，＋∞)时，≤恒成立，则正数k的取值范围是____________．
答案
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
令h(x)＝1－x－2ln x(x>0)，h′(x)＝－1－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，h(1)＝0，
所以在区间(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)≤f(1)＝1.
g′(x)＝·ex，所以在区间(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减；
在区间(1，＋∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝e.
当x>0时，g(x)＝>0，
又k>0，所以≤⇒≤，
即≥max，
由于g(x2)>0，故f(x1)>0，
所以max＝＝.
所以≥，又k>0，则ke≥k＋1，故k≥，
所以k的取值范围是.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)(2023·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin 2B＝sin B.
(1)求B；
(2)若a＝8，cos A＝，求BC边上的中线AD的长．
解 (1)由题意可得2sin Bcos B＝sin B，
因为0
因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝，
在△ABC中，由正弦定理可得＝，则c＝＝＝7，
在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝98＋16－2×7×4×＝58，
则AD＝.
18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)若a2＝3，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式15(T2n＋1－Tn)≤m2－7m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
(1)证明 当n≥2时，由2Sn＝nan＋n,2Sn－1＝(n－1)an－1＋(n－1)，
得2an＝nan－(n－1)an－1＋1，即(n－2)an－(n－1)an－1＋1＝0，①
所以当n≥3时，(n－3)an－1－(n－2)an－2＋1＝0，②
①－②得，当n≥3时，2an－1＝an＋an－2，即有an－an－1＝an－1－an－2.
所以{an}是等差数列．
(2)解 由于a1＝1，a2＝3，所以an＝2n－1，bn＝，
所以Tn＝1＋＋＋＋…＋，T2n＋1＝1＋＋＋＋…＋＋…＋，
令Mn＝T2n＋1－Tn，则Mn＝＋＋…＋，Mn＋1＝＋＋…＋，
所以Mn＋1－Mn＝－＝<0，
所以{Mn}是递减数列，15(T2n＋1－Tn)≤15M1＝15×＝8，
由题意，得m2－7m≥8，解得m≥8或m≤－1.
19．(12分)某生产企业的甲、乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品a件，如图为全部产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图1)，以及不合格产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图2)．
(1)求甲、乙厂区各自生产产品的不合格率；
(2)用不合格率估计抽到不合格产品的概率．
①用比例分配的分层随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记X为样本中不合格品的件数，求X的分布列；
②用简单随机抽样的方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记Y为样本中不合格品的件数．比较E(X)，E(Y)的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解．
解 (1)由题意知，甲厂区生产3a件产品，乙厂区生产a件产品，甲、乙两厂各生产不合格产品件，则甲厂区生产产品的不合格率P1＝＝，
乙厂区生产产品的不合格率P2＝＝.
(2)①由题意知，样本中有3件产品来自甲厂区，1件产品来自乙厂区，X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝3×＝，P(X＝1)＝C××2×＋3×＝，
P(X＝2)＝C×2××＋C××2×＝，
P(X＝3)＝3×＋C×2××＝，P(X＝4)＝3×＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
②全部产品的不合格率为p＝＝，由简单随机抽样方法知Y～B，
∴E(Y)＝4×＝1.
由①知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1，
∴E(X)＝E(Y)．
说明当抽样方法不同，但都是等可能抽样且样本容量相同时，样本中不合格品的件数的均值也相同．
20．(12分)如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
(1)设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC；
(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长．
(1)证明 ∵四边形OBCH为正方形，∴BC∥OH，
∵BC⊄平面POH，OH⊂平面POH，∴BC∥平面POH.
∵BC⊂平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，
∴l∥BC.
(2)解 ∵圆锥的母线长为2，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2，
以O为原点，OH，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，M(0,1,1)，
设＝λ＝(λ，2λ，0)(0≤λ≤1)，＝＋＝(1＋λ，2λ，0)，
＝－＝(1＋λ，2λ－1，－1)，＝(1,0,0)为平面PAB的一个法向量，
设MN与平面PAB所成的角为θ，
则sin θ＝＝，令1＋λ＝t∈[1,2]，
则sin θ＝＝，
∴当＝，即λ＝时，sin θ最大，θ也最大，此时＝，
∴MN＝||＝＝.
21．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到F1(－，0)，F2(，0)两点的距离之和为4.
(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C；
(2)已知直线l：y＝k(x－)与圆F：(x－)2＋y2＝交于M，N两点，与曲线C交于P，Q两点，其中M，P在第一象限．d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得T＝(|NQ|－|MP|)·d2取得最大值，若存在，求出k；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意知，|GF1|＋|GF2|＝4，又F1(，0)，F2(，0)，4>2，所以动点G的轨迹是焦点在x轴上的椭圆．
由椭圆的定义可知，c＝，a＝2，又因为a2－b2＝c2，所以b2＝1，
故动点G的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)由题设可知，圆心F即为椭圆右焦点F2，且M，N一个在椭圆外，一个在椭圆内，
P，Q一个在⊙F2内，一个在⊙F2外，
在直线l上的四点满足：|NQ|－|MP|＝(|NQ|＋|NP|)－(|MP|＋|NP|)＝|PQ|－|MN|＝|PQ|－1，
由
消去y得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0，Δ>0恒成立．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系，
得x1＋x2＝，x1x2＝，
|PQ|＝＝.
所以|NQ|－|MP|＝|PQ|－1＝，原点O到直线l的距离d＝，
T＝(|NQ|－|MP|)·d2＝＝＝≤＝1，
当且仅当4k2＝，即k＝±时等号成立．
验证可知k＝±满足题意．
22．(12分)已知f(x)＝(x3－ax＋1)ln x.
(1)若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；
(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为x1，x2，x3且x1
解 (1)当x＝1时，f(x)＝0.令g(x)＝x3－ax＋1.
当x≠1时，f(x)的零点与函数g(x)(x>0)的零点相同．
当a≤0时，g(x)>0(x>0)，所以f(x)只有一个零点，不符合题意．
因此a>0.
又因为函数f(x)有三个不同的零点，所以g(x)(x>0)有两个均不等于1的不同零点．
令g′(x)＝3x2－a＝0，解得x＝(舍去负值)．
所以当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
因为g(0)＝1>0，g()＝1>0，
所以当g<0，即a>时，g(x)(x>0)有两个不同的零点．
又因为当g(1)＝0时，a＝2>，
所以若函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是∪(2，＋∞)．
(2)因为x1
所以1
所以x1<1.
所以x1，x3是g(x)＝0的两个根．
又因为g(－2a)＝－8a3＋2a2＋1<－8a3＋4a2＝4a2(1－2a)<0，g(0)＝1>0，
所以g(x)＝0有一个小于0的根，不妨设为x0.
根据g(x)＝0有三个根x0，x1，x3，可知g(x)＝x3－ax＋1＝(x－x0)(x－x1)(x－x3)，
所以x0＋x1＋x3＝0，即x1＋x3＝－x0.
因为x1＋x3>2，所以x0<－2.
所以g(－2)＝－8＋2a＋1>0，即a>.
显然>2，所以a的取值范围是.
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