专题05 周期问题 2022-2023学年三年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义

专题05 周期问题

专题简析：

在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。

【典例分析01】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？

【思路引导】从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。32÷6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。

【典例分析02】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？

【思路引导】我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从10月1日到10月25日经过25－1=24天，24÷7=3（星期）……3（天），说明24天中包括3个星期还多3天。所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。

【典例分析03】100个3相乘，积的个位数字是几？

【思路引导】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3，积的个位是3；2个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。

【典例分析04】有一列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？

【思路引导】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。

54÷8=6（组）……6（个）

因此，前6组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下6个数字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，这列数中前54个数字之和是240＋26=266。

【典例分析05】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？

【思路引导】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128÷（1＋3）=32个周期，所以这本童话书共有插图3×32=96页。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2022春•滕州市期末）2022年的10月30日是星期日，那么2022年11月1日是（　　）

A．星期一 B．星期二 C．星期三

【思路引导】10月30日是星期日，10月31日是星期一，那么2022年11月1日是星期二。

【规范解答】解：2022年的10月30日是星期日，那么2022年11月1日是星期二。

故选：B。

【考点评析】此题的关键是先求出经过的日期分别是星期几，然后再进一步解答。

2．（2分）（2022春•陵城区期末）2022年2月1日是星期二，那么请你算一算，2022年2月份的最后一天是（　　）

A．星期一 B．星期五 C．星期六

【思路引导】2022÷4有余数，因此是平年。先求出2022年2月1日到2022年2月28日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：2022÷4＝505……2

28﹣1＝27（天）

27÷7＝3（周）……6（天）

星期二向后推6天是星期一。

答：2022年2月份的最后一天是星期一。

故选：A。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

3．（2分）（2022春•涟源市期末）马小虎不小心把一张月历撕破了，只看到13日是星期四，这个月的30日是星期（　　）

A．六 B．日 C．一

【思路引导】先求出13日到30日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：30﹣13＝17（天）

17÷7＝2（周）……3（天）

星期四向后推3天是星期日。

故选：B。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

4．（2分）（2022春•赫山区期末）2022年5月1日是星期日，6月21日是星期（　　）

A．日 B．一 C．二

【思路引导】先求出5月1日到6月21日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：31﹣1+21＝51（天）

51÷7＝7（周）……2（天）

星期日向后推2天是星期二。

答：6月21日是星期二。

故选：C。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

5．（2分）（2022春•城阳区期末）2022年六一儿童节是星期三，7月1日建党节是（　　）

A．星期三 B．星期四 C．星期五

【思路引导】先求出6月1日到7月1日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：30﹣1+1＝30（天）

30÷7＝4（周）……2（天）

星期三向后推2天是星期五。

答：7月1日建党节是星期五。

故选：C。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

6．（2分）（2023•海安市模拟）北京冬奥会2022年2月4日（星期五）开幕，2022年2月20日闭幕，是星期 　一　。

【思路引导】开幕和闭幕都算作经过的天数。用结束的日期减去开始的日期，求出经过的天数，再加上开头的一天，计算天数即可。天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：20﹣4+1

＝16+1

＝17（天）

17÷7＝2（周）……3（天）

星期五向后推3天是星期一。

答：2022年2月20日闭幕，是星期一。

故答案为：一。

【考点评析】解答此题的关键是掌握日期推算的方法。

7．（2分）（2022春•德江县期末）2016年2月22日是星期一，姚贝贝是3月3日过生日，这一天是星期 　四　。

【思路引导】2016÷4＝504，没有余数，因此2016年是闰年，2月有29天。先求出经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：2016÷4＝504

29﹣22+3＝10（天）

10÷7＝1（周）……3（天）

星期一向后推3天是星期四。

答：这一天是星期四。

故答案为：四。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

8．（2分）（2022春•英山县期末）小方不小心把一张日历撕破了，只看到13日是星期二，这个月30日是星期 　五　。

【思路引导】先求出13日到30日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：30﹣13＝17（天）

17÷7＝2（周）……3（天）

星期二向后推3天是星期五。

故答案为：五。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

9．（2分）（2022春•枣庄期末）7月1日建党节是星期五，8月1日建军节是星期 　一　。

【思路引导】先求出7月1日到8月1日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：31﹣1+1＝31（天）

31÷7＝4（周）……3（天）

星期五向后推3天是星期一。

答：8月1日建军节是星期一。

故答案为：一。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

10．（2分）（2022春•滨城区期末）今年（2022年）的六一儿童节是星期三。推算一下，明年（2023年）的六一儿童节是星期 　四　。

【思路引导】2023÷4有余数，是平年，则两年儿童节相差365天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：2023÷4＝505……3

365÷7＝52（周）……1（天）

星期三向后推算1天是星期四。

答：明年（2023年）的六一儿童节是星期四。

故答案为：四。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

11．（2分）（2022春•台儿庄区期末）2021年9月27日是星期一，10月12日是星期 　二　。

【思路引导】先求出9月27日到10月12日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：30﹣27+12＝15（天）

15÷7＝2（周）……1（天）

星期一向后推1天是星期二。

答：10月12日是星期二。

故答案为：二。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

12．（2分）（2022春•鹿泉区期末）劳动节在 　5　月，这个月有 　31　天。2022年的劳动节当天是星期日，那么2022年6月21日是星期 　二　

【思路引导】劳动节是5月1日，这个月有31天。

先求出5月1日到6月21日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：劳动节在5月，这个月有31天。

21+31﹣1＝51（天）

51÷7＝7（周）……2（天）

2022年的劳动节当天是星期日，那么2022年6月21日是星期二。

故答案为：5，31，二。

【考点评析】此题的关键是先求出两个日期之间经过了多少天，然后再进一步解答。

13．（2分）（2019•亳州模拟）图形按……顺序排列下去，从左往右数，第58个图形是　●　．

【思路引导】该图形排列规律是4个图形组成一个循环周期，即■●●▲为一组，并且一直排列下去，看看58里有几个4，58÷4＝14（组）…2（个），余数是2，由此结合余数判断即可．

【规范解答】解：58÷4＝14（组）…2（个），

第58个图形是第15循环的第二个图形，所以是●；

故答案为：●．

【考点评析】本题考查图形排列的规律：认真找出哪些图形是一组是关键．

三．判断题（共3小题，满分6分，每小题2分）

14．（2分）（2022春•邹城市期末）这个月14日是星期二，这个月30日是星期五。 　×　（判断对错）

【思路引导】先求出14日到30日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：30﹣14＝16（天）

16÷7＝2（周）……2（天）

星期二向后推2天是星期四。

答：这个月30日是星期四。

故原题说法错误。

故答案为：×。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

15．（2分）（2022春•高邑县期中）2022年10月1日是星期六，这一年的11月4日也是星期六。 　×　（判断对错）

【思路引导】先求出2022年10月1日到11月4日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：31﹣1+4＝34（天）

34÷7＝4（周）……6（天）

星期六向后推6天是星期五。

答：这一年的11月4日是星期五。

故原题说法错误。

故答案为：×。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

16．（2分）（2015春•镇江月考）今年六一儿童节是周一，7月4日放暑假是周日．　×　．（判断对错）

【思路引导】先求6月1日到7月4日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断即可．

【规范解答】解：30﹣1+4＝33（天）

33÷7＝4（周）…5（天）

1+5＝6

即，7月4日放暑假是周六，

所以原题说法错误．

故答案为：×．

【考点评析】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．

四．应用题（共3小题，满分18分，每小题6分）

17．（6分）（2022春•寿光市期末）国庆节，新兴街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在新兴街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按一红二绿三黄的规律排列的.那么新兴街这一边从这个路口开始的第123盏灯是什么颜色的（把你的想法写一写、算一算或者画一画）？

【思路引导】根据题干可知，彩灯照颜色特点排列规律是一红二绿三黄，1+2+3＝6，即6盏一个循环周期，由此用除法计算出第123是第几个周期的第几盏即可。

【规范解答】解：123÷（1+2+3）

＝123÷6

＝20……3（盏）

余数是3，按照一红二绿三黄的顺序，第三盏是绿色。

答：第123盏灯是绿色的。

【考点评析】此题的关键是明确多少盏是一个周期，然后再进一步解答。

18．（6分）（2021春•平山县期中）五一广场的四周按照“一黄三红二绿”的顺序挂了900个灯笼，你知道红灯笼挂了多少个吗？

【思路引导】一黄三红二绿，也就是1+2+3＝6（个）灯笼一个周期，求出900里面有多少个6，再乘3即可求出红灯笼的个数。

【规范解答】解：1+2+3＝6（个）

900÷6×3

＝150×3

＝450（个）

答：红灯笼挂了450个。

【考点评析】此题的关键是明确有多少个周期，然后再进一步解答。

19．（6分）已知一列数：40214021…由此可推出第25个数是多少？前30个数字的和是多少？

【思路引导】“40214021……”这一列数字是按照4、0、2、1这4个数字为一组进行循环出现的，求出25（或30）里面有多少个这样的一组，还余几；求出每组和，进而求出前30个数字的和．

【规范解答】解：4、0、2、1这4个数字为一组进行循环出现，

25÷4＝6（组）…1（个）

6组还余1个数字，余下的1个是4，

所以，第25个数字是4；

4+0+2+1＝7

30÷4＝7（组）…2（个）

7×7+4+0＝53．

答：第25个数是4；前30个数字的和是53．

【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．

五．解答题（共8小题，满分50分）

20．（6分）（2022春•滕州市期末）今年6月1日儿童节是星期三，推算一下，7月1日建党节是星期 　五　。请你根据信息编制今年七月份的月历表。

【思路引导】先求7月1日到8月1日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断。

【规范解答】解：6月有30天，所以今年的6月1日到7月1日有30天，

30÷7＝4（周）......2（天）

余数是2，那么7月1日是星期五。

故答案为：五。

【考点评析】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算。

21．（6分）（2021春•龙口市期中）今年七月一日是星期四，请问国庆节是星期几？

【思路引导】先求出7月1日到10月1日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。

【规范解答】解：31﹣1+31+30+1＝92（天）

92÷7＝13（周）……1（天）

星期四向后推1天是星期五，

答：国庆节是星期五。

【考点评析】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。

22．（6分）2017年9月10日是星期日，那么2018年9月10日是星期几？

【思路引导】先用2018÷4，判断出2018年是平年还是闰年，再求出2017年9月10日到2017年9月10日经过的天数里有多少周，余多少天，再根据余数判断星期几即可。

【规范解答】解：2018÷4＝504……2

2018年是平年，2月28天，所以从2017年9月10日到2018年9月10日刚好是一个平年的天数，共365天。

365÷7＝52（周）……1（天）

星期日再过一天是星期一。

答：2018年9月10日是星期一。

【考点评析】此题的关键是先判断出2018年是平年，然后再进一步解答。

23．（6分）有一列数135791357913579……前48个数之和是多少？

【思路引导】1、3、5、7、9这样的连续5个数看成一组，求出48里面有几个这样的一组，还余几，根据余数判断第48个数是什么，求出一组的和，然后乘上组数，再加上余数部分的数即可．

【规范解答】解：1、3、5、7、9这样的连续5个数看成一组；

48÷5＝9（组）…3（个）

所以48个数经过了9组，还余1、3、5，3个数．

1+3+5+7+9＝25

25×9+1+3+5

＝225+9

＝234

答：前48个数之和是234．

【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．

24．（6分）五年级（5）班开联欢晚会，同学们布置教室，按照顺序“蓝黄黄红红红红”反复挂气球．

（1）买了48个红气球，要买几个蓝气球，几个黄气球？

（2）如果一共买了84个气球，其中红色气球有多少个？蓝色气球多少个？

【思路引导】根据图示，可得1个蓝球、2个黄球、4个红球是一个循环，一个循环一共有7个球，

（1）根据红气球的数量是蓝气球数量的4倍，是黄球数量的2倍解答即可；

（2）用84除以7，求出循环周期的个数，再分别乘4、乘1解答即可．

【规范解答】解：根据图示，可得1个蓝球、2个黄球、4个红球是一个循环，一个循环一共有7个球，

（1）蓝气球数量：48÷4＝12（个）

黄球数量：48÷2＝24（个）

答：还要买12个蓝气球，24个黄气球．

（2）84÷7＝12（个）

12×4＝48（个）

12×1＝12（个）

答：红色气球有48个，蓝色气球12个球．

【考点评析】此题主要考查了事物的间隔排列规律问题的应用，解答此题的关键是判断出：1个蓝球、2个黄球、4个红球是一个循环，一个循环一共有7个球．

25．（6分）桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：第十四个是多少钱的？这些硬币一共多少钱？

【思路引导】根据桌子上硬币摆的顺序，可知6个硬币一循环，用14÷6＝2…2，根据余数是2和硬币摆的顺序即可求出第14个硬币是五角的；再用19除以6等于3余1，即可求出第19个硬币是一角的，用每个循环的钱数乘3再加上1角就是这些硬币的总钱数；据此解答．

【规范解答】解：1+2+3＝6

14÷6＝2…2

所以第14个硬币是五角硬币，

19÷6＝3…1，

所以第19个硬币是一角硬币，

1角+5角×2+1元×3+1角＝4元2角

答：第十四个是五角的，这些硬币一共4元2角钱．

【考点评析】根据观察，得出硬币的排列周期特点是解决此类问题的关键．

26．（7分）A、B、C、D四个盒子里依次放有8、5、3、2个小球，第一个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放在其它盒子中各一个；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放在其它盒子中各一个…当1999个小朋友放完后，A、B、C、D四个盒子中依次放有几个球？

【思路引导】从第一个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放在其它盒子中各一个后写出球的对应数，再从第2个小朋友也找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放在其它盒子中各一个后写出球的对应数…，依此类推找出规律即可解答．

【规范解答】解：A     B      C      D

第一次     5      6       4      3

第二次     6      3       5      4

第三次     3      4       6      5

第四次     4      5       3      6

第五次     5      6       4      3

由此可以看出经过四次，盒子中的球和原来第一次盒子对应球的数相同，

又因1999÷4＝499…3，

所以当1999个小朋友放完后，A、B、C、D四个盒子中依次放有3，4，6，5个球．

【考点评析】根据题意，进行分析，得出每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次，是解答此题的关键．

27．（7分）桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？

【思路引导】根据桌子上硬币摆的顺序，可知1+2+3＝6个硬币一循环，用19除以6等于3余1，根据余数是1和硬币摆的顺序即可求出第19个硬币是一角的，再用14÷6＝2…2；即可求出第14个硬币是五角的．

【规范解答】解：1+2+3＝6（个）

19÷6＝3…1，

所以第19个硬币是一角硬币，

14÷6＝2…2，

所以第14个硬币是五角硬币，

答：一共19枚硬币最后一个是一角的，第十四个是五角．

【考点评析】根据观察，得出硬币的排列周期特点是解决此类问题的关键