安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷(含答案)
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这是一份安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷(含答案),共20页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
安徽省定远中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题1、已知函数的导函数为,若,则( )A.-1 B.1 C.-2 D.22、一个袋子中有3个红球和2个白球,这些小球除颜色外没有其他差异.从中不放回地抽取2个球,每次只取1个.设事件“第一次抽到红球”,“第二次抽到红球”,则概率是( )A. B. C. D.3、的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为( )A.540 B.-162 C.162 D.-5404、已知从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,现从两袋中各摸出一个球,下列结论错误的是( )A.两个球都是红球的概率为 B.两个球中恰有1个红球的概率为C.两个球不都是红球的概率为 D.至少有1个红球的概率为5、由0,1,2,,9这十个数组成无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为( )A.180 B.196 C.210 D.2246、我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点,涌现了一大批卓有成就的数学家,其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有四元玉鉴和算学启蒙等,在算学启蒙中,最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题,其中记载有以下问题:“今有三角、四角果子垛各一所,共积六百八十五个,只云三角底子一面不及四角底子一面七个,问二垛底子一面几何?”其中“积”是和的意思,“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛,自上至下依次有1,3,6,10,15,,个果子,“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛,自上至下依次有1,4,9,16,,个果子,“底子一面”指每垛最底层每条边”根据题意,可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是参考公式:( )A.4,11 B.5,12 C.6,13 D.7,147、概率论起源于博弈游戏17世纪,曾有一个“赌金分配”的问题:博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏,每局比赛都能分出胜负,没有平局双方约定,各出赌金48枚金币,先赢3局者可获得全部赌金但比赛中途因故终止了,此时甲赢了2局,乙赢了1局问这96枚金币的赌金该如何分配数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识,合理地给出了赌金分配方案该分配方案是( )A.甲48枚,乙48枚 B.甲64枚,乙32枚C.甲72枚,乙24枚 D.甲80枚,乙16枚8、已知,设函数,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多项选择题9、下列命题中正确的为( )A.随机变量X服从二项分布,若,,则B.将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后,则方差也随之扩大为2倍C.随机变量服从正态分布,若,则D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,,则当时概率最大10、下列说法中正确的是( )A.B.事件为必然事件,则事件A、B是互为对立事件C.设随机变量服从正态分布,若,则D.甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次,甲射中的概率为0.6,乙射中的概率为0.8,则恰有1人射中的概率为0.1211、若二项式展开式中二项式系数之和为,展开式的各项系数之和为,各项系数的绝对值之和为,则下列结论正确的是( )A. B.存在,使得C.的最小值为2 D.12、关于函数,下列判断正确的是( )A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.对不等式在上恒成立D.对任意两个正实数,,且,若,则三、填空题13、已知病毒A在某溶液中的存活个数的概率满足,已知只要该溶液中存在一个A病毒,就可以导致生物C死亡,则该溶液能够导致生物C死亡的概率为______.14、已知(a为常数)的展开式中各项系数之和为1,则展开式中的系数为______.15、根据某机构对失事的飞机的调查得知:失踪的飞机中有的后来被找到,在被找到的飞机中,有安装有紧急定位传送器,而未被找到的失踪的飞机中,有未安装紧急定位传送器,紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号,让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪,则它被找到的概率为16、已知函数,若有两个不同的极值点,,且,则a的取值范围为______.四、解答题17、现有编号为A,B,C的3个不同的红球和编号为D,E的2个不同的白球.(1)现将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.(2)若将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E不相邻,则有多少种不同的排法?(3)若将这些小球放入甲,乙,丙三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,则有多少种不同的放法?(注:请列出解题过程,结果保留数字)18、2023世界人工智能大会拟定于七月初在我国召开,我国在人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取得了很多成就.为普及人工智能相关知识,红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛,竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛两个部分,两部分的成绩分为三档,分别为基础、中等、优异.现从参加活动的学生中随机选择20位,统计其两部分成绩,成绩统计人数如表:实践理论基础中等优异基础021中等3b1优异23a(1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位,抽到理论或实践至少一项成绩为优异的学生概率为.求a,b的值;(2)在(1)的前提下,用样本估计总体,从全市理论成绩为优异的学生中,随机抽取2人,求至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率;(3)若基础、中等和优异对应得分为1分、2分和3分,要使参赛学生理论成绩的方差最小,写出b的值.(直接写出答案)19、已知函数,.(1)若在点处的切线与直线垂直,求该切线方程;(2)若的极值点为,设,且,证明:.20、已知盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的.第一次比赛时,从中一次性任意取出3个来用,用完后仍放回盒中新球用后成了旧球;第二次比赛时从中任意取出1个.(Ⅰ)记第一次比赛时从盒中取出的3个球中旧球的个数为X,求X的分布列与数学期望;(Ⅱ)求第二次比赛时取出的球为新球的概率.21、已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若恒成立,求实数a的取值范围.22、已知函数.(1)当时,讨论在区间上的单调性;(2)若,,求a的值.
参考答案1、答案:A解析:,令,得到,解得:.故选:A.2、答案:A解析:根据题意,事件“第一次抽到红球”,“第二次抽到红球”,则,,则.故选:A.3、答案:D解析:的展开式中各项系数之和为,解得,则展开式的常数项为:,故选:D.4、答案:C解析:对于A:两个球都是红球的概率为,故A正确;对于B:两个球中恰有1个红球的概率为,故B正确;对于C:两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球,所以概率为,故C错误;对于D:至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球,所以概率为,故D正确.故选:C.5、答案:C解析:0到9十个数字中之差的绝对值等于8的情况有2种:0与8,1与9;分2种情况讨论:①当个位与百位数字为0,8时,有;②当个位与百位为1,9时,有.共,故选:C.6、答案:B解析:设三角果子垛自上至下依次为,,,,,当时,所以,且时,所以三角果子垛第n层的果子数为,四角果子垛第n层的果子数为,设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为m,,所以三角果子垛各层果子总和为,四角果子垛各层果子总和为,由题意,即,解得,,所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是5,12.故选:B.7、答案:C解析:根据题意,前三局比赛中,博弈水平相当的甲、乙,即两人获胜的概率均为,假设两人继续进行比赛:甲获取96枚金币的概率,乙获取96枚金币的概率,则甲应该获得枚金币;乙应该获得枚金币;故选C.8、答案:A解析:当时,,若,必有,解得,所以,若,满足,所以;当时,,即,令,,由得,得,则在区间上单调递减,在区间上单调递增,即.综上,a的取值范围是.故选:A.9、答案:ACD解析:对于A,因为,且,,所以,选项A正确;对于B,将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后,则方差也随之扩大为4倍,选项B错误;对于C,因为服从正态分布,且,所以,选项C正确;对于D,因为,所以,,令,解得,因为,所以,即时,概率最大,选项D正确.故选:ACD.10、答案:AC解析:对于A,由组合数的性质可得:,故A正确;对于B,事件为必然事件,若A,B互斥,则事件A,B是对立事件;若A,B不互斥,则事件A,B不是互为对立事件,故B错误;对于C,设随机变量服从正态分布,若,则正态分布曲线关于直线对称,则,故C正确;对于D,甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次,甲射中的概率为0.6,乙射中的概率为0.8,恰有1人射中包括甲中乙不中,乙中甲不中,由相互独立事件和对立事件的概率计算可得:恰有1人射中的概率为,故D错误.故选:AC.11、答案:AB解析:依题意可得,,,因为,所以A正确.因为,所以B正确.因为在上单调递增且在定义域上单调递增,所以在上单调递增,所以,当且仅当时取等号,所以不正确.因为,当时,,所以不正确.故选:AB.12、答案:BC解析:对于A选项:因为,,所以,令,得,所以当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,所以当时,取得极小值,故A选项错误;对于B选项:设,则,所以在上单调递减,又,所以函数有且只有个零点,故B选项正确;对于C选项:若在上恒成立,所以在上恒成立,则,设,,设,设,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,所以,所以在上单调递减,所以函数的最大值为,所以,故C选项正确;对于D选项:方法一:令,设,所以,所以在上单调递减,则,即,,因为,,结合选项可得,,,,所以,,函数在上单调递增,则,所以,即对任意两个正实数,,且,若,则,故D选项错误;方法二:由,,所以,设,,则,所以在上单调递减,所以,所以,由,则,因此,所以,即对任意两个正实数,,且,若,则,故D选项错误.故选:BC.13、答案:解析:根据题意,病毒A在某溶液中的存活个数k的概率满足,则,若该溶液中存在一个A病毒,就可以导致生物C死亡,则该溶液能够导致生物C死亡的概率.故答案为:.14、答案:-80解析:依题意,,解得,的展开式的通项为,,当时,可得的展开式中的系数为.故答案为:-80.15、答案:解析:设事件“失踪的飞机后来被找到”,事件“失踪的飞机后来未被找到”,事件“安装有紧急定位传送器”,则,,,,安装有紧急定位传送器的飞机失踪,它被找到的概率为:,故答案为.16、答案:解析:,则,令,由,可得为偶函数,则,则当时,,单调递增,当时,,单调递减,又,,由题意得方程有两个互为相反数的零点,,且,则a的取值范围为.故答案为:.17、答案:(1)9(2)16(3)150解析:(1)将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,摸出的3个球中全是红球的不同摸法有种,则摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为种.(2)先把A安放在中间位置,从A中的两侧各选一个位置插入D,E,其余小球任意排列,方法有种.(3)先把5个小球分成3组,再进入3个盒子中,若按3个盒子分别3,1,1个小球分配,有种若按3个盒子分别2,2,1个小球分配,有种故共有种.18、答案:(1);(2)(3)8解析:(1)由题意,理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有人,则,得,又,得;(2)由(1)知,从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人,实践成绩也为优异的概率为,所以从全市理论成绩为优异的学生中,随机抽取2人,至少有一个人操作的成绩为优异的概率为;(3)由题意,,设理论成绩为X,则取值为,对应的人数分别为,所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为,所以参赛学生理论成绩的方差为,因为,所以当时,方差最小.19、答案:(1)(2)证明见解析解析:(1)由题意知直线的斜率为,所以在点处的切线斜率为,而,,则,得,所以在点M处的切线方程为:,即.(2)证明:,令,,所以在上单调递增,在上单调递减,故在时取得极值,的唯一极值点,因为,则,当时,恒成立,则在上单调递增,不合题意,当时,易得的解集为,的解集为,即的单调增区间为,单调减区间为,依题意:,解得,不妨设,则,要证,则只要证,即证,即证,即证,令,,则,即在上单调递减,有即,则成立,因此成立,.20、答案:(1)X的数学期望是,X的分布列见解析(2)解析:(1)依题意,从盒中取出的3个球中旧球的个数X的所有可能取值为0,1,2,3,所以,,,,所以X的分布列为:X0123P所以;(2)设事件A表示第二次比赛时取出的球为新球,事件为第一次比赛时取出的3个球中有i个新球,其,由(1)可得,,,,根据题意,,,,,所以根据全概率公式可得.21、答案:(1)答案见解析(2)解析:(1)因为,,所以,若,则在上恒成立,故在上单调递增,若,则当时,;当时,.故在上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)由等价于.令,函数,则,由,可得.当时,,单调递减;当时,,单调递增,故.所以a的取值范围为.22、答案:(1)答案见解析(2)1解析:(1)当时,,.因为,所以.所以在区间上的单调递增.(2),,,当时,,所以存在,当时,,则在区间上单调递减,所以当时,,不满足题意,当时,,所以存在,当时,,则在区间上单调递增,所以当时,,不满足题意,所以.下面证明时,,,由(1)知,在区间上的单调递增,所以当时,,所以只要证明,.令,令,则,①当时,,得,所以,所以,所以在区间上单调递增,且,,所以,使得.且当时,;当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,且,,所以当时,,所以在区间上单调递减,所以当时,,②当时,,因为,所以,所以,所以在区间上单调递减,且,,所以,使得,当时,;当时,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,且,,所以当时,,综上,a的值为1.
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