2023年四川省宜宾二中中考数学三诊试卷（含解析）

2023年四川省宜宾二中中考数学三诊试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代纳米技术取得了突破性进展，并于年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，纳米米，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的是由个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为，，，，，则关于这组数据的说法不正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

6.  共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，点、点分别是，的中点，点是上一点，，，，则长为．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的分式方程有增根，则的值(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，点在边上，：：，连接交于点，则的面积与的面积之比为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

10.  我国古代伟大的数学家刘徽于公元年撰九章算术注中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值图刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，点在双曲线上点在双曲线上点和点分别在轴，轴的正半轴上，且点，，，构成的四边形为正方形则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，，点、分别是、的中点．将绕点顺时针旋转，射线与射线交于点，在这个旋转过程中有下列结论：≌；存在最大值为；存在最小值为；点运动的路径长为其中，正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在点的异侧将缩小为原来的，则点的对应点的坐标是______．

15.  已知，是方程的两个根，则代数式的值等于______．

16.  如图，圆的两条弦，相交于点，且，，则的度数为______．

17.  通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如果中，，那么顶角的正对记作，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数为，那么的值为______．

18.  二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点其对称
轴为直线下列结论
；
；
；
；
点，是抛物线上的两点，则；
若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，正确的有______ 填序号．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  计算：；
先化简：，然后求当时，这个代数式的值．

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图，矩形的对角线，相交于点，点，在上，．
求证：；
若，，求矩形的面积．

21.  本小题分
为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，“健美操”、“跳绳”、“剪纸”、“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
组所对应的扇形圆心角为______度；
若该校共有学生人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是______；
现选出了名跳绳成绩最好的学生，其中有名男生和名女生．要从这名学生中任意抽取名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到名男生与名女生的概率．

22.  本小题分
宜宾的夹镜楼建于清代初年，有诗曰：“两水夹明镜，双桥落彩虹；巍峨夹镜楼，一楼镇三江，”左摸蜿蜒岷江，右环湍急金沙，背负千年宜宾之厚重繁华，足启千里南丝绸之路起点；汇岷江金沙江奔涌激流，千古风流，还看“万里长江第一楼”为此深受某数学小组的喜欢，决定要去测量夹镜楼的高度，已知测角仪高度为米他们在处测得楼顶处的仰角为，再向楼的方向前进米到点，再测得楼顶处的仰角为，你能帮助他们算出了夹镜楼的高度吗？结果保留根号

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求与的值；
为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
 

24.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．

求证：；
求证：；
若，求的值．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、点在点的左侧，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．
求抛物线和一次函数的解析式；
抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；
点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点的坐标直接写答案．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形，
所以几何体的俯视图是．
故选C．
根据俯视图是从上面看到的图形，结合题中的几何体判断即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，由得，；由得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：

故选：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、数据中出现次数最多，所以众数为，此选项正确；
B、数据重新排列为、、、、，所以中位数为，此选项正确；
C、平均数为，此选项正确；
D、方差为，此选项错误；
故选：．
根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
本题主要考查了方差、平均数、中位数以及众数的知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及计算公式，此题难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得，
，
故选：．
根据第三个月投放单车数量第一个月投放单车数量增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点，点分别是，的中点，
是的中位线，
，
在中，点是的中点，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值即可．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：设，，则，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
．
故选：．
设，，则，由四边形是平行四边形，推出，，推出∽，推出，由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：设正六边形外接圆的圆心为，
连接，则，
由题意得，，，
过作于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的长，
故选：．
设正六边形外接圆的圆心为，连接，于是得到，由题意得，，，过作于，推出是等腰直角三角形，得到，求得，根据弧长的计算公式即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点在双曲线上，
．
如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
．
设，，
在双曲线上，
，即．
四边形是正方形，
，．
又，
，．
．
在和中，
，，，
≌，
，．
，即，．
，
，
，
即点的坐标是，
故选：．
过点作轴于，过点作轴于，点在双曲线上，代入求出双曲线的解析式，设，，在双曲线上，可得四边形是正方形，进而可证明≌，则可求出，的值，即可求出点的坐标．
本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握正方形的性质，反比例函数的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设与交于，如图所示：
，，点、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
，
，，
，
，
，
当最小时，最小，
在中，由勾股定理得：，
在中，斜边一定，当最小时，最大，
当最小时，最小，而，
当最大时，最小，此时，如图所示：
在中，，，
，
，，，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，，
存在最大值为，存在最小值为，故正确，不正确；
取的中点为，连接、，
，
点在以为直径的圆上运动，
，
如图，当时，，
，
，，
将绕点顺时针旋转，
点在以点为圆心，长为半径的圆上运动的轨迹为，
点运动的路径长为：，故正确；
故选：．
设与交于，由证≌，故正确；再由锐角三角函数定义得，在中，斜边一定，当最小时，最大，当最大时，最小，此时，然后证≌，得，则四边形是正方形，求出，，得存在最大值为，存在最小值为，故正确，不正确；取的中点为，连接、，证点在以为直径的圆上运动，，当时，求出，则，，最后证点在以点为圆心，长为半径的圆上运动的轨迹为，求出点运动的路径长即可．
本题是几何变换综合题目，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、圆周角定理以及弧长公式等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转变换的性质和全等三角形的判定与性质，证明四边形为正方形是解题的关键，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再由平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为点的异侧将缩小为原来的的图形，

点的对应点的坐标为，即，
故答案为：
根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
则原式


，
故答案为：
由，是方程的两个根知，，代入到原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为．
根据圆周角定理得到，由三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查圆周角定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为．

，设的长为，则的长为．
．
，
．

．
故答案为：．
过点作，利用设出、的长，根据勾股定理求出，利用线段的和差关系求出，利用勾股定理再求出，最后根据的规定求值即可．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系及新定义运算的规定是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，，
，
，
故不符合题意．

根据抛物线的轴对称性质知，该抛物线与轴有两个交点，则．
故不符合题意；
，
．
当时，，即．
，
，
，
故符合题意；

，，
．
故符合题意；

点，是抛物线上的两点，
点到直线的距离小于点直线的距离，
．
故不符合题意；

由于图象过点，
由对称性可知：图象也过点，
令，
有两个解，分别是，，
故符合题意．
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

19.【答案】解：原式；
原式
当时，原式． 

【解析】原式第一项利用负指数公式化简，第二项利用零指数公式化简，第三项利用负数的绝对值等于它的相反数化简，最后一项利用特殊角的三角函数值化简，合并后即可得到结果；
将原式被除式中两项通分，并利用同分母分式的减法法则计算，除式分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
此题考查了分式的化简求值，以及实数的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，，
，
，
在和中，，
≌，
；
解：，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
矩形的面积． 

【解析】由矩形的性质得出，，，，证出，由证明≌，即可得出；
证出是等边三角形，得出，，在中，由勾股定理求出，即可得出矩形的面积．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：；
补全图形如下：

；
人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了树状图求概率，条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，关键是从统计图中获取信息的能力 
由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去、、人数求出组人数即可补全图形；
用乘以组人数所占比例即可；
总人数乘以样本中组人数所占比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
再由概率公式求解即可．
【解答】
解：本次调查的学生总人数为名，
组人数为名，
统计图见答案．
组所对应的扇形圆心角为，
估计该校喜欢跳绳的学生人数约是人，
见答案．  

22.【答案】解：由题意可得，
，，
，，
，
解得：，
，
夹镜楼的高度是米． 

【解析】根据仰角正切直接利用表示出、，结合长度列式求解即可得到答案．
本题考查解直角三角形解决仰俯角问题，解题的关键是熟练掌握三角函数．
 

23.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；

在中，当时，，
，
为轴上的动点，
，
，，
，
，
或． 

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
根据，构建方程求解即可．
 

24.【答案】解：因为点是弧的中点，
所以，即，
而，
所以，
所以；；
，
，
又，
∽，
，
；
，连接，则，

，
中，，
设，则，
由得，，
，
，
∽，
故和的相似比为，
设，则，，
又，为中点，
为中点，则，
中，，，，
中，，，
，
． 

【解析】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．

点是中点，是圆的半径，又，而是圆的直径，则，故AC；
证明∽，即可求解；

先证明和的相似比为：，设，则，，，得，即和的相似比为，设，则，，，则，，即可求解．

25.【答案】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式为，
，
点的坐标为，代入抛物线的解析式得，，
，
抛物线的解析式为，即．
令，则，
解得：，，
；
，
的面积为，
，
，
，
解得：，，
．
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为．
如图，过点作轴交于，

设，则，
，




．
当此时点坐标为．
如图，是的中点，在直线上运动，

，
，
当取得最小值时，的值最大，
，
当取得最小值时，的值最大，
当垂直直线时，取得最小值，
此时、在二次函数的对称轴直线上，
，
根据对称性，存在，
故：或． 

【解析】根据平移可求，将点的坐标代入可求，从而可求，再由面积求出的坐标，即可求解的解析式；
过点作轴交于，设，可求，由可求解；
是的中点，在直线上运动，可得，当取得最小值时，的值最大，由此可得：当垂直直线时，取得最小值，进而可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二次函数与三角形面积计算，二次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键．