压轴专题10 解析几何综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西5省通用）

压轴专题10 解析几何综合问题小题综合

一、单选题

1．（2023·山西·校联考模拟预测）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（    ）

A． B． C．2 D．1

2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023·安徽滁州·校考一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，点是线段上一点，且，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

二、多选题

4．（2023·安徽安庆·校考一模）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（    ）

A．直线一定过点

B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为

C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直

D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

5．（2023春·安徽阜阳·高三校考阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）

A．平分

B．

C．延长交直线于点，则三点共线

D．

6．（2023·安徽合肥·校考一模）已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是（    ）

A．双曲线的方程为 B．

C． D．点到轴的距离为

7．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于，两点，其中，且，则（    ）

A．直线l的斜率为 B．

C． D．△MON（点O为坐标原点）的面积为6

8．（2023·安徽淮北·统考一模）已知曲线，直线l过点交于A，B两点，下列命题正确的有（    ）

A．若A点横坐标为8，则

B．若，则的最小值为6

C．原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点

D．若，则以线段AB为直径的圆的面积是

9．（2023·吉林延边·统考二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则（    ）

A．

B．若，则直线的斜率为

C．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于，则抛物线的方程为

D．若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为

10．（2023·安徽安庆·统考二模）已知、为抛物线上两点，以，为切点的抛物线的两条切线交于点，设以，为切点的抛物线的切线斜率为，，过，的直线斜率为，则以下结论正确的有（    ）

A．，，成等差数列；

B．若点的横坐标为，则；

C．若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形；

D．若点在直线上，则直线恒过定点；

11．（2023·山西朔州·统考二模）已知抛物线C：过点是准线上的一点，F为抛物线焦点，过作的切线，与抛物线分别切于，则（    ）

A．C的准线方程是 B．

C． D．

12．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点A在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（    ）

A．抛物线的准线方程为

B．过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上

C．若为坐标原点，则

D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于两点，则

13．（2023·山西·统考模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（    ）

A．双曲线的离心率为

B．与面积之比为

C．与周长之比为

D．与内切圆半径之比为

14．（2023·山西晋中·统考二模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为B，直线l：与椭圆C交于M，N两点，的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点，则（    ）

A．四边形的周长为8 B．的最小值为9

C．直线BM，BN的斜率之积为 D．当时，

15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（    ）

A．若，那么

B．若，则线段的中点到轴的距离为

C．若是以为直角顶点的等腰三角形，则

D．若，则直线的斜率为

16．（2023·黑龙江哈尔滨·校联考一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M（5，2）射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线射出，经过点N.下列说法正确的是（    ）

A．

B．若延长PO交直线于D，则点D在直线上

C．MQ平分∠PQN

D．抛物线C在点P处的切线分别与直线、FP所成角相等

17．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）如图所示，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（    ）

A．E的方程为

B．

C．若AD，BC的斜率分别为，，则

D．若AD，BC的倾斜角分别为，，则的最大值为

18．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（    ）

A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2

B．若点恰为的垂心，则的周长为

C．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为

D．若，则点纵坐标的取值范围是

三、填空题

19．（2023·安徽·统考一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是__________.

20．（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是_____．

21．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）平面二次曲线方程的一般形式为．已知曲线表示中心在坐标原点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆上，则该矩形面积的最大值为______.

22．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，C的下顶点为A，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长为______.

23．（2023·山西·校联考模拟预测）抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合．设抛物线C：的焦点为F，过点的直线交C于A，B两点，且，若C在A，B处的切线交于点P，Q为的外心，则的面积为______．

24．（2023·云南红河·统考一模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，若E上存在点P，满足，（O为坐标原点），且的内切圆的半径等于a，则E的离心率为____________．

25．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知椭圆，圆，直线与圆相切于第一象限的点A，与椭圆C交于两点，与轴正半轴交于点.若，则直线的方程是__________.

26．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是______.

27．（2023春·安徽阜阳·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为_____________

28．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则与（为坐标原点）的面积之和的最小值是_________.

29．（2023·云南昆明·校联考一模）椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.

四、双空题

30．（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若的垂心为点H，则的最小值是______．