【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第03讲《相反数和绝对值》同步讲学案

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第2讲 相反数和绝对值

一、相反数
1. 相反数：像2和-2,4和-4这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数
【特别注意】
①相反数是成对出现的；
②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2. 相反数的性质与判定
（1）任何数都有相反数，且只有一个；
（2）0的相反数是0；
（3）互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4. 相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5. 相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

题型一：相反数的理解和判定
【例1】把下列各数，及它们的相反数表示在数轴上，再按从小到大顺序用“”把这些数连接起来．
，，0，．
【答案】数轴见解析，
【分析】首先根据相反数的求法，分别求出，，0，的相反数各是多少；然后把所给的各数及它们的相反数在数轴上表示出来；最后根据数轴的特征：当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把所给的各数按从小到大的顺序排列起来即可．
【详解】解：的相反数是，0的相反数是0，的相反数是2，的相反数是，
如图所示：

用“”连接为．
【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，有理数大小比较的方法，相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
[变式1]用尺子画出数轴并回答：
（1）把下列各数表示在数轴上：；
（2）上述数中互为相反数的一组数是 ，它们之间有 个单位长度，它们关于 对称．
【答案】（1）见解析；（2）与2.5；5；原点
【分析】（1）先画出数轴，注意数轴的三要素，再根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可；
（2）根据相反数的定义，绝对值相同，符号不同的两个数互为相反数；互为相反数的两个数到原点的距离相等，再利用数轴上两点之间的距离，求出两数之间的距离即可．
【详解】解：（1）如图所示，
；
（2）结合数轴，根据相反数的定义可知，数与数2.5互为相反数；两点之间的距离为5；它们关于原点对称，
故答案为：与2.5；5；原点．
【点睛】本题考查了在数轴上表示数的方法，数轴的特征，相反数的定义等知识，此为基础知识，要熟练掌握．
[变式2]在数轴上把下列各数表示出来：|－3.5|、－3.5、0、2、－0.5、－2、、，并按从小到大的顺序用“＜”号连接起来，再找出哪些数互为相反数．
【答案】见解析，－3.5＜－2＜－0.5＜0＜＜2＜＜|－3.5|
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来；最后找出哪些数互为相反数即可．
【详解】解：|－3.5|=3.5，

﹣3.5＜﹣2＜﹣0.5＜0＜＜2＜＜3.5，
﹣3.5与3.5，﹣0.5与互为相反数．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
题型二：多重符号的化简
【例2】﹣{﹣[+（﹣）]}．
【答案】﹣．
【分析】根据相反数符号化简即可得解．
【详解】解：﹣{﹣[+（﹣）]}．
=+（﹣），
=﹣．
【点睛】本题考查相反数符号化简，掌握相反数的符号法则是解题关键．
[变式]化简：
(1)； (2)； (3) (4)
【答案】(1)68
(2)
(3)
(4)3.6
【分析】（1）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值；
（2）先去括号，然后根据负号的个数为奇数个，即可化简求值；
（3）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值；
（4）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握若一个数前有多重符号，则由该数前面的符号中“”的个数来决定，即奇数个“”符号则该数为负数，偶数个“”符号，则该数为正数．
题型三：相反数的应用
【例3】已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值．
【答案】
【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果．
【详解】解：的相反数是，
，
的相反数是，
，
的相反数是，
，
．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），解决本题的关键是要熟练掌握相反数的概念．
[变式1]已知与互为相反数，求的值.
【答案】5
【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，得出方程，解出即可.
【详解】解：由题意得
化简得
解得
所以的值为5.
【点睛】本题考查相反数的性质，根据性质列出方程是关键.
[变式2]与–7互为相反数，求的值.
【答案】2.
【详解】试题分析：根据相反数的意义得出（x+5）+（-7）=0，求出x即可．
试题解析：解：∵x+5与-7互为相反数，∴（x+5）+（-7）=0，解得：x=2．
点睛：本题考查了相反数和解一元一次方程等知识点，关键是根据相反数的意义得出方程（x+5）+（-7）=0．


二、绝对值
1.定义：
几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
2. 归纳总结
（1）a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
（2）a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

题型四：化简绝对值
【例4】已知有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简．

【答案】
【分析】先根据理数a、b、c在数轴上对应点的位置得出，从而判定出，，然后化简绝对值，得出结果即可．
【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上对应点的位置可知，，
∴，，
∴


．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上的点表示有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，得出．
[变式1]有理数，在数轴上的位置如图所示，化简：

【答案】
【分析】根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后求出的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，最后合并同类项即可得解．
【详解】解：由数轴知，，且




．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质以及合并同类项，根据数轴判断的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
[变式2]已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示．

（1）用“＞”或“＜”填空a+b　　　　0，a﹣b　　　　0，a+c　　　　0；
（2）化简|a+b|﹣|a﹣b|+|a+c|．
【答案】（1）＞，＜，＜；（2）a﹣c．
【分析】（1）根据有理数a、b、在数轴上的位置，结合加法和减法法则计算即可；
（2）根据绝对值的意义，结合（1）的结论求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得：﹣2＜c＜0，0＜a＜1，2＜b＜3，
∴a+b＞0，a﹣b＜0，a+c＜0，
（2）原式=a+b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+c）]
=a+b+a﹣b﹣a﹣c
=a﹣c．
【点睛】本题考查了有理数与数轴的关系，有理数的运算法则及绝对值的意义，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键．
题型五：绝对值的大小比较
【例5】已知，，求，的值，并比较它们的大小．
【答案】见解析
【分析】先依据绝对值的性质求得、的值，然后再比较大小即可．
【详解】解：，，
，．
当时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质、比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键．
[变式1]已知M、N在数轴上分别表示m、n．

(1)对照数轴填写下表：
m
6
-4
-6
-8
-1.5
n
4
-1
2
3
-1.5
M、N两点的距离
2



0
(2)若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是　；
(3)当数x满足时，取得的值最小．
【答案】(1)3；8；11
(2)
(3)3

【分析】（1）首先要明确两点间的距离，即为两数差的绝对值得出即可；
（2）明确两点间的距离，即为两数差的绝对值（d=|m-n|）；
（3）当-2≤x≤1时，有最小值，依此得出即可．
（1）
解： |-4-（-1）|=3；
|-6-2|=8；
|-8-3|=11．
故答案为：3；8；11；
（2）
解：若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是 S=|m-n|．
故答案为：S=|m-n|；
（3）
解：|1-x|表示点x到点1的距离，|x+2|表示点x到点-2的距离，
当点x在点1和点-2之间时，即-2≤x≤1时，|1-x|+|x+2|的值最小，
其最小值为：3．
【点睛】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的两点的距离公式．
[变式2]比较下列各对数的大小：
（1）与
（2）与
【答案】（1）；（2）>
【分析】（1）根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可；
（2）先求出每个式子的值，再比较即可．
【详解】解：（1）∵ ，，
∵ ，
∴；
（2）∵ ，，
∴>
【点睛】本题考查了绝对值和有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
题型六：绝对值方程
【例6】数轴上，表示与2的点之间的距离是，表示与的点之间的距离是，即数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差，若不知道数轴上两数的大小，则表示数与的点之间的距离可以表示为，利用上述结论解决如下问题．
若，求的值．
【答案】或
【分析】根据题意可知表示的意义为数x与数5的距离为3，由此分当时，当时两种情况讨论求解即可．
【详解】解：由题意得表示的意义为数x与数5的距离为3，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，正确理解题意是解题的关键．
[变式]我们知道：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可以理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，表示5、之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数，那么A、B之间的距离可以表示为．试探索：
（1）若，则=___________；
（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示的点与表示__________的点重合；
（3）计算：．
【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5
【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；
（2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时， 即可求解．
【详解】解：（1），
∴，
解得：或-4；
（2）∵A点对应的数为，B点对应的数为4，折叠数轴，使得A点与B点重合，
∴折叠处点对应的数为 ，
∴表示的点与表示6的点重合；
（3）解：①当时，           
，解得：-2 ；
②当时，
，则，无解  ；
③当时，
，则5．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．



一、单选题
1．下面每组中的两个数互为相反数的是（    ）
A．或 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，对各选项进行分析即可一一判定．
【详解】解：、和不互为相反数，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，，的相反数为8，故该选项符合题意；
D、和不互为相反数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义即可求解．正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，熟练掌握是解题的关键．
3．下列为负数的是（     ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据负数的定义判断即可．
【详解】A.，是正数，故本选项不合题意；
B．是正数，故本选项不合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D．是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，绝对值以，掌握负数的定义是解答本题的关键．
4．如图，数轴上点A、、、表示的数中，表示互为相反数的两个点是（     ）

A．点和点 B．点A和点 C．点和点 D．点A和点
【答案】D
【分析】一对相反数在数轴上的位置特点：分别在原点的左右两旁，并且到原点的距离相等．
【详解】解：点A和点分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等，
∴它们表示的两个数互为相反数．
故选D．
【点睛】本题主要考查一对相反数在数轴上的位置特点，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
5．下列各对数中，互为相反数的是（    ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】根据相反数的定义分别判断即可．
【详解】A．，，不互为相反数；
B．，，不互为相反数；
C．，，不互为相反数；
D．，，互为相反数；
故选D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ）

A．a B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可知，，可判定，再根据绝对值的意义化简即可．
【详解】解：由图可知，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的意义，根据实数在数轴上的位置判断两个实数之差大于0或小于0是解决本题的关键．
7．2021年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是﹣4℃、5℃、20℃、﹣18℃，当时这四个城市中，气温最低的是（    ）
A．北京 B．上海 C．深圳 D．长春
【答案】D
【分析】根据有理数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴20＞5＞﹣4＞﹣18，
∴-18最小，
∴最低气温是-18℃，即长春的温度最低，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的法则是解题的关键．
8．下列各数：，，0，，其中比小的数是（   ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】求出，再根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴比小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和绝对值，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
二、填空题
9．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，C表示的数互为相反数，且，则点B表示的数是_____．

【答案】1
【分析】此题可借助数形结合的方法求解，由于、两点表示的数互为相反数，因此、一定是关于原点对称的，从而确定原点的位置，将每个间隔视为一个单位长度，即可得出点表示的数．
【详解】解：由于点，表示的数互为相反数，且，
原点与各点的位置如图所示：

将单位长度视为1，
因此所表示的数为1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了数轴与相反数的有关内容，相反数在数轴的体现是关于原点对称，利用这个性质作为突破口．
10．化简： =___________； =___________； =___________；
【答案】
【分析】根据同号得正，异号得负化简即可
【详解】解：


故答案为：，，
【点睛】本题考查了双重符号的化简，掌握同号为正，异号为负是解题关键．
11．若，则的值为_____．
【答案】6或0
【分析】根据绝对值的性质化简，可得m值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即或，
故答案为：6或0．
【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握化简绝对值的方法．
12．若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________．
【答案】-9
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x-1|-|x+2|=x-1-x-2=-3；
当-2＜x＜1时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）-（x+2）=-2x-1；
当x≤-2时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）+（x+2）=3．
∵代数式|x-1|-|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a=3，b=-3．
∴ab=-9．
故答案为：-9．
【点睛】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
13．若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________．
【答案】-9
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x-1|-|x+2|=x-1-x-2=-3；
当-2＜x＜1时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）-（x+2）=-2x-1；
当x≤-2时，|x-1|-|x+2|=-（x-1）+（x+2）=3．
∵代数式|x-1|-|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a=3，b=-3．
∴ab=-9．
故答案为：-9．
【点睛】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．

三、解答题
14．已知m是8的相反数，n比m的相反数小2，求n比m大多少？
【答案】n比m大14．
【详解】试题分析：根据相反数定义确定m和n的值，然后可得答案．
试题解析：由题意得：m=﹣8，n=8﹣2=6，
n﹣m=6﹣（﹣8）=14，
答：n比m大14．
15．把下列各数在数轴上表示出来，并将它们按从小到大的顺序用“＜”连接．
，，，，，
【答案】画图见解析，
【分析】先化简，再在数轴上表示各数，根据各数在数轴上的位置可得答案．
【详解】解：，
在数轴上表示各数如下：

∴．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，熟悉数轴上各数的分布是解本题的关键．
16．若已知，试讨论四个数的大小关系，并用“”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）
【答案】
【分析】先根据题意在数轴上标出a，，b，的位置，再比较即可．
【详解】解：∵，，，
在数轴上表示如图：

∴．
【点睛】本题考查了数轴，相反数和有理数的大小比较，能知道a，，b，在数轴上的位置是解此题的关键．
17．若规定这样一种运算：，例如：.
(1)计算：；
(2)记，，请探究与的大小关系.
【答案】(1)3
(2)M=N

【分析】（1）利用公式代入计算即可；
（2）根据公式分别求出M及N，根据绝对值的性质判断M与N的关系．
（1）
解：∵，
∴==3；
（2）
∵，
∴M=，=，
∵，
∴M=N．
【点睛】此题考查了新定义计算，绝对值的性质，正确理解新定义的计算公式是解题的关键．