【暑假提升】北师大版数学八年级（八升九）暑假-专题第15讲《一元二次方程全章复习与测试》预习讲学案

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第15讲 一元二次方程全章复习与测试
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【基础知识】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
九．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十一．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十二．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【考点剖析】
一．一元二次方程的定义（共1小题）
1．（2022春•诸暨市期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．2x+y＝3 B．x2+3x＝0 C． D．2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．是二元一次方程，故本选项不合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是分式方程，故本选项不合题意；
D．是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
二．一元二次方程的一般形式（共1小题）
2．（2022春•镇海区校级期中）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
【解答】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解（共1小题）
3．（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于m的一元一次方程，通过解该一元一次方程来求m的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入原方程，得
1﹣2m+m＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．也考查了一元二次方程的定义．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
4．（2020秋•梁溪区校级期中）解方程：
（1）x2＝9；
（2）4x2﹣25＝0．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
则x2＝，
∴x1＝，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
五．解一元二次方程-配方法（共1小题）
5．（2020秋•潮州期末）解方程：x2﹣2x﹣7＝0．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝8
（x﹣1）2＝8
x﹣1＝
∴
∴x1＝1+2，x2＝1﹣2．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握配方法．
六．解一元二次方程-公式法（共1小题）
6．（2022•齐齐哈尔模拟）解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x．
【分析】先把原方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根．
【解答】解：原方程化为2x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
七．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
7．（2021秋•惠州期中）用适当方法解方程：x2﹣7x+6＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣7x+6＝0，
（x﹣1）（x﹣6）＝0，
x﹣1＝0，或x﹣6＝0，
x1＝1，x2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
八．根的判别式（共1小题）
8．（2022•西城区二模）已知关于x的一元二次方程﹣mx+m﹣5＝0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）将m＝1代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝
＝m2﹣2m+10
＝（m﹣1）2+9，
∵（m﹣1）2≥0，
∴（m﹣1）2+9＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将m＝1代入方程﹣mx+m﹣5＝0中，得（m﹣1）2＝9，
解得：m＝4或﹣2．
∴当m＝1时，m的值为4或﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将m＝1代入原方程求出m值．
九．根与系数的关系（共1小题）
9．（2021秋•高州市校级期末）已知方程x2﹣3x+m＝0的一个根是x1＝1，求方程的另一个根x2．
【分析】利用两根之和等于﹣，即可得出关于x2的一元一次方程，解之即可得出x2的值．
【解答】解：依题意得：x1+x2＝3，
即1+x2＝3，
解得：x2＝2．
∴方程的另一个根x2＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
10．根据下列提示列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．
（1）已知两个数的和为7，积为6，求这两个数；
（2）如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？

【分析】（1）根据题意设出未知数，即可列出相应的方程，然后将其化为一元二次方程的一般形式即可解答本题；
（2）根据题意设出未知数，即可列出相应的方程，然后将其化为一元二次方程的一般形式即可解答本题．
【解答】解：（1）设其中一个数为x，则另一个数为（7﹣x），
x（7﹣x）＝6
x2﹣7x+6＝0；
（2）设正方形纸板的边长为x厘米，
（x﹣2×2）2×2＝32
x2﹣8x＝0．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
一十一．一元二次方程的应用（共3小题）
11．（2021秋•漳州期末）在全民阅读活动中，某图书馆第一个月进馆200人次，第三个月进馆392人次．求第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率．
【分析】设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为x，利用第三个月进馆人次数＝第一个月进馆人次数×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝392，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）．
答：第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•梅河口市期末）如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB的长．

【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形花园ABCD的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出边AB的长．
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，
依题意得：x（20﹣2x）＝50，
整理得：x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5．
答：边AB的长为5m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2021秋•海州区期末）某商店销售一款进价为70元的童装，每件售价为110元时，每天可售出20件．为了尽快减少库存，商店决定降价销售，经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件，每件童装售价定为多少元时，该商店每天销售这款童装的总利润为1200元？
【分析】设每件童装售价定为x元，则每件童装的销售利润为（x﹣70）元，每天可售出（240﹣2x）件，利用该商店每天销售这款童装获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出每件童装的售价应定为90元．
【解答】解：设每件童装售价定为x元，则每件童装的销售利润为（x﹣70）元，每天可售出20+2（110﹣x）＝（240﹣2x）件，
依题意得：（x﹣70）（240﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100．
又∵要尽快减少库存，
∴x＝90．
答：每件童装的售价应定为90元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十二．配方法的应用（共1小题）
14．（2021春•凤翔县期末）阅读材料：我们知道x2≥0，（a±b）2≥0这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式3x2+6x﹣2的最小值时，我们可以这样处理：
3x2+6x﹣2
＝3（x2+2x）﹣2
＝3（x2+2x+12﹣12）﹣2
＝3[（x+1）2﹣12]﹣2
＝3（x+1）2﹣5．
因为（x+1）2≥0，所以3（x+1）2﹣5≥0﹣5，当x＝﹣1时，3（x+1）2﹣5取得最小值﹣5．
（1）求多项式2x2﹣8x+3的最小值，并写出对应的x的取值．
（2）求多项式x2﹣2x+y2﹣4y+7的最小值．
【分析】（1）模仿例题计算即可；
（2）根据完全平方公式对多项式进行变形，根据平方的非负性解答．
【解答】解：（1）2x2﹣8x+3
＝2（x2﹣4x）+3
＝2（x2﹣4x+4﹣4）+3
＝2[（x﹣2）2﹣4]+3
＝2（x﹣2）2﹣5，
∵（x﹣2）2≥0，
∴2（x﹣2）2﹣5≥0﹣5，
∴当x＝2时，2（x﹣2）2﹣5取得最小值﹣5；
（2）x2﹣2x+y2﹣4y+7
＝（x2﹣2x+1）+（y2﹣4y+4）+2
＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴当x＝1，y＝2时，x2﹣2x+y2﹣4y+7有最小值2．
【点评】本题考查了配方法，完全平方公式，偶次方的非负性，解题的关键是根据完全平方公式对多项式进行配方．
【过关检测】
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣2＝0 B．xy+1＝0 C．x2﹣2x﹣3 D．x2﹣4x﹣1＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、不是等式，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（3分）下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+3x﹣2＝x2 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2+3x＝0 D．2x+5y＝3
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．x2+3x﹣2＝x2化简后不是一元二次方程，不合题意；
B．当a＝0时ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不合题意；
C.2x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；
D.2x+5y＝3属于二元一次方程，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．（3分）方程x2﹣8＝0的解为（　　）
A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝0，x2＝2 D．x＝2
【分析】移项得x2＝8，然后利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：先移项得x2＝8，
两边开方得x＝±2，
即x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
4．（3分）关于方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（　　）
A．m＝1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＜2
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0，（a≠0），据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0
解得m≠1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（abc都是常数，且a≠0）．
5．（3分）一元二次方程3x2+2x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别是（　　）
A．2和﹣3 B．3和﹣2 C．﹣3和2 D．3和2
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答．
【解答】解：一元二次方程3x2+2x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别是2，﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
6．（3分）方程（x+3）2＝4的根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：（x+3）2＝4，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
7．（3分）方程x2﹣1＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根
【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法解方程即可．
【解答】解：x2﹣1＝0，
x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
8．（3分）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
【分析】方程整理为一般形式即可．
【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
9．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（　　）
A．（x﹣2） 2＝11 B．（x+2） 2＝11 C．（x﹣1） 2＝8 D．（x+1） 2＝8
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣7＝0，
移项得：x2﹣2x＝7，
配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）如果关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，
解得：k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出9﹣4k＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
12．（3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为：x1＝2，x2＝5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0的解为　x1＝﹣2，x2＝﹣1　．
【分析】首先根据题意可以设y＝2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，然后解关于y的一元二次方程，接着就可以求出x．
【解答】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3＝0，
设y＝2x+5，
方程可以变为 y2﹣4y+3＝0，
∴y1＝1，y2＝3，
当y＝1时，即2x+5＝1，解得x＝﹣2；
当y＝3时，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
所以原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝﹣1．
【点评】此题主要考查了利用换元法解一元二次方程，解题的关键是利用换元法简化方程，然后利用一元二次方程的解法解决问题．
13．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝　2　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝﹣1代入方程x2﹣3x﹣2p＝0得到关于p的一元一次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x﹣2p＝0，得（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣2p＝0，
解得p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．
14．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝3、x2＝1，那么这个一元二次方程是　x2﹣4x+3＝0　．
【分析】由根与系数的关系求得p，q的值．
【解答】解：方程两根分别为x1＝3，x2＝1，
则x1+x2＝﹣p＝3+1＝4，x1x2＝q＝3
∴p＝﹣4，q＝3，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0．
故答案为x2﹣4x+3＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解．
15．（3分）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求k的值为 　﹣1　．
【分析】计算根的判别式，由题意得关于k的不等式，求解得出k的取值范围；利用根与系数的关系，用含k的代数式表示出两根的和与积，代入关系式得关于k的方程，求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）
＝﹣4k+5≥0，
解得k≤．
∵x1+x2＝1﹣2k，x1x2＝k2﹣1，x1x2+x1+x2＝3，
∴k2﹣1+1﹣2k＝3，
即k2﹣2k﹣3＝0，
∴k1＝﹣1，k2＝3，
∵k≤，
∴k＝﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝　﹣2　．
【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．（3分）已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0有两个相等的实数根，则△ABC是　直角　三角形．
【分析】由Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝4（b2﹣c2+a2）＝0，得出三边关系b2+a2＝c2，进一步利用勾股定理逆定理判定三角形的形状即可．
【解答】解：∵方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4b2﹣4（c+a）（c﹣a）＝4（b2﹣c2+a2）＝0，
∴b2+a2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理逆定理．
18．（3分）已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为　19　．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣14x+48＝0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，
∴三角形的周长＝2+8+9＝19．
故答案为：19．
【点评】综合考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
三．解答题（共8小题，满分46分）
19．（4分）用适当方法解下列方程：
（1）（3x﹣1）2＝1；
（2）2（x+1）2＝x2﹣1．
【分析】（1）用直接开平方法解方程；
（2）用提公因式法因式分解解方程．
【解答】解：（1）（3x﹣1）2＝1；
解：直接开平方，得3x﹣1＝±1，
∴3x﹣1＝1或3x﹣1＝﹣1．
∴x1＝，x2＝0；
（2）2（x+1）2＝x2﹣1．
解：原方程可变形为2（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝0，
（x+1）（2x+2﹣x+1）＝0，即（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程，
20．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣8＝0；
（2）（2y+1）2﹣25＝0；
（3）4t2﹣4t﹣3＝0；
（4）2（m+3）＝m2﹣9．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）直接开平方法求解可得；
（3）配方法求解可得；
（4）整理后因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
则x+4＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2；
（2）（2y+1）2﹣25＝0；
（2y+1）2＝25，
∴2y+1＝±5，
∴y1＝2，y2＝﹣3；
（3）4t2﹣4t﹣3＝0；
4t2﹣4t＝3，
4t2﹣4t+1＝3+1，
（2t﹣1）2＝4，
∴2t﹣1＝±2，
∴t1＝，t2＝；
（4）2（m+3）＝m2﹣9
2（m+3）﹣（m+3）（m﹣3）＝0，
（m+3）（2﹣m+3）＝0，
∴m+3＝0或5﹣m＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
21．（5分）已知关于x的方程x2﹣mx+（m﹣2）＝0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+4，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个为t，利用根与系数的关系得到2+t＝m，2t＝m﹣2，然后解方程组即可．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣2，
∴b 2﹣4ac＝（﹣m ）2﹣4×1×8（m﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个为t，
根据题意得，2+t＝m，2t＝m﹣2，
∴2+t﹣2t＝2，解得t＝0，
∴m＝2，
∴m的值为2，另一个根为0．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的意义．
22．（5分）手工课上，小明打算用一张周长为40cm的长方形白纸做一张贺卡，白纸内的四周涂上宽为2cm的彩色花边，小明想让中间白色部分的面积大于彩色花边的面积，但又不能确定能否办到．请同学们帮助小明判断他是否能办到，并说明理由．
【分析】设纸的一边长为xcm，则另一边为（20﹣x）cm，利用长方形的面积计算公式，可分别求出彩色花边的面积及间白色部分的面积，利用二次函数的性质可得出中间白色部分面积的最大值，由该值小于彩色花边的面积，即可得出小明不能办到．
【解答】解：不能办到，理由如下：
设纸的一边长为xcm，则另一边为＝（20﹣x）cm．
彩色花边面积为2×2×x+2×2×（20﹣x﹣4）＝64（cm2）；
中间白色部分面积S＝（x﹣4）（20﹣x﹣4）＝﹣x2+20x﹣64＝﹣（x﹣10）2+36，
∵﹣1＜0，
∴当x＝10时，S取得最大值，最大为36．
又∵36＜64，
∴小明不能办到．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出S关于x的函数关系式是解题的关键．
23．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．
【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；
（2）将m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．
【解答】解：（1）由题意△≥0，
∴（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，
∴m≤．
（2）当m＝2时，方程为x2+3x+1＝0，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，
∵方程的根为x1，x2，
解法一：x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，
∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）
＝（x12+2x1+x1﹣x1）（x22+3x2+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（﹣1+x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（x2+1）
＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1
＝﹣x2﹣x1﹣2
＝3﹣2
＝1．
解法二：x12+2x1＝3x1+x12﹣x1+1﹣1＝﹣x1﹣1
x22+4x2+2＝x22+3x2+1+x2+1＝x2+1
∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）
＝（﹣1﹣x1）（x2+1）
＝﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1
＝﹣x2﹣x1﹣2
＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
24．（5分）如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD面积为72m2，求AB的长．

【分析】设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m，根据题意得方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m．
根据题意，得x （18﹣x）＝72，
解这个方程，得x1＝6，x2＝12，
当x＝6时，18﹣x＝12＞10（不合题意，舍去）．
当x＝12时，18﹣x＝6符合题意．
答：AB的长是12m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
25．（8分）某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．
（1）若每份套餐售价不超过10元．
①试写出y与x的函数关系式；
②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？
（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？
【分析】（1）本题考查的是分段函数的知识点．当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600；
（2）当x＞10时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，把y＝1560代入，并解答．
【解答】解：（1）①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10）．
②依题意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，
又∵5＜x≤10，
∴8.5≤x≤10．
∵且每份套餐的售价x（元）取整数，
∴每份套餐的售价应为9元或10元．
（2）能，理由：
依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，
y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，
当y＝1560时，
（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，
解得：x1＝11，x2＝14，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1＝11，即x2＝14不符合题意．
故该套餐售价应定为11元．
【点评】本题考查的是一次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
26．（6分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8＝0，则△ABC的周长是多少？
【分析】首先确定k的值，解一元二次方程即可解决问题；
【解答】解：根据题意，得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥．
∵整数k＜5，
∴k＝4，
∴方程变形为x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，
∴△ABC的边长为2，2，2或4，4，4或4，4，2，
∴△ABC的周长为6或12或10．
【点评】本题考查根的判别式、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．