【暑假提升】北师大版数学七年级（七升八）暑假-专题第04讲《认识无理数与平方根》预习讲学案

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第04讲 认识无理数与平方根
【学习目标】
1. 了解无理数的意义；
2．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
3．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根。
【基础知识】
一．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
二．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
三．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
四．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
【考点剖析】
一．无理数（共3小题）
1．（2022春•光泽县月考）下列各数：1.414，π，﹣，0，其中是无理数的为（　　）
A．1.414 B．π C．﹣ D．0
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：A．1.414是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．π是无理数，故本选项符合题意；
C．﹣是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
2．（2021秋•婺城区期末）请写一个小于零的无理数 　　（写出一个即可）．
【分析】利用无理数的定义直接得出答案．
【解答】解：小于零的无理数可以为：﹣等，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确把握无理数的定义是解题关键．
3．（2021秋•高邮市期末）在下列各数中：2022，，，3.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），无理数有 　2　个．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【解答】解：无理数有，3.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），共有2个，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），等有这样规律的数．
二．平方根（共4小题）
4．（2022春•丰台区校级期中）求等式中x的值：25x2＝4．
【分析】方程两边同除以25，再利用平方根的定义解答即可．
【解答】解：25x2＝4，
方程两边同除以25得：x2＝，
开平方得：x＝，
∴，．
【点评】本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．
5．（2022春•赵县月考）求下列各数的平方根：
（1）100； （2）64； （3）； （4）1.21．
【分析】根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵（±10）2＝100，
∴100的平方根是±10；
（2）∵（±8）2＝64，
∴64的平方根是±8；
（3）∵（±）2＝，
∴的平方根是；
（4）∵（±1.1）2＝1.21，
∴1.21的平方根是±1.1．
【点评】本题考查平方根，解题关键是根据平方根的定义进行计算．
6．（2021秋•德江县期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求解．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴4a﹣1+（4﹣a）＝0，
解得a＝﹣1，
∴x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．
答：a和x的值分别为﹣1，25．
【点评】本题平方根的知识，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数．
7．（2021春•利辛县月考）一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得a的值，根据a的值，可得x．
【解答】解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，
∴a＝﹣1，
∴3a﹣2＝﹣5，
∴x＝25．
【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数是解题关键．
三．算术平方根（共3小题）
8．（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根．
（1）169； （2）； （3）0.09； （4）（﹣3）2．
【分析】利用求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，可以借助乘方运算来寻找一个非负数的算术平方根．
【解答】解：（1）∵132＝169，
∴169的算术平方根是13，
即＝13；
（2）∵（）2＝，
∴的算术平方根是，
即＝；
（3）∵0.32＝0.09，
∴0.09的算术平方根是0.3，
即＝0.3；
（4）∵32＝9＝（﹣3）2，
∴（﹣3）2的算术平方根是3，
即＝3．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是明确求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算．
9．（2022春•汉阴县月考）已知a﹣3是16的算术平方根，求a的值．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣3＝4，
∴a＝7．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．
10．（2022春•青羊区校级月考）求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【分析】根据开方运算，可得平方根、算术平方根．
【解答】解：（1）＝±13；
（2）＝﹣8；
（3）；
（4）＝4．
【点评】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．
四．非负数的性质：算术平方根（共3小题）
11．（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【分析】（1）直接利用非负数的性质结合偶次方的性质、绝对值的性质、算术平方根的性质得出a，b，c的值；
（2）直接利用平方根定义得出答案．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则＝
＝4，
故的平方根为：±2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质得出a，b，c的值是解题关键．
12．（2022春•越秀区期中）已知：|a﹣﹣2|+＝0，求a2﹣2ab+b2的值．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵|a﹣﹣2|+＝0，
∴a﹣﹣2＝0，b﹣2＝0，
解得a＝2+，b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（2+﹣2）2＝（）2＝7．
【点评】本题考查了代数式求值，根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出a、b的值是解题的关键．
13．（2022春•岷县月考）已知与互为相反数，求（xy）2019的值．
【分析】根据算术平方根的非负性解决此题．
【解答】解：由题意，得2x﹣4＝0，x﹣3y﹣3.5＝0．
由2x﹣4＝0，解得x＝2．
∴2﹣3y﹣3.5＝0，
∴．则．
【点评】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解决本题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共5小题）
1．（2022•岳麓区校级开学）下列实数是无理数的是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．
【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．因为﹣1是整数，所以﹣1不是无理数，故A选项不符合题意；
B．因为0是整数，所以不是无理数，故B选项不符合题意；
C．因为是分数，所以不是无理数，故C选项不符合题意；
D．因为是无限不循环小数，所以是无理数，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了无理数，熟练应用无理数的定义进行求解是解决本题的关键．
2．（2022春•光泽县月考）下列各数：1.414，π，﹣，0，其中是无理数的为（　　）
A．1.414 B．π C．﹣ D．0
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：A．1.414是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．π是无理数，故本选项符合题意；
C．﹣是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
3．（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（　　）
A．﹣a B．﹣a2+1 C．﹣a2 D．﹣a2﹣1
【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．
【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，注意负数没有平方根．
4．（2022春•朝阳区校级期中）实数4的算术平方根是（　　）
A．16 B．±2 C．2 D．
【分析】正数的算术平方根是指平方根中正的那一个．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故选：B．
【点评】本题考查一个正数的算术平方根，关键是要掌握正数的算术平方根是指平方根中正的那一个．
5．（2022春•夏邑县期中）（﹣9）2的算术平方根是（　　）
A．9 B．3 C．﹣9 D．±9
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（﹣9）2＝81，
∴81的算术平方根是9．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
二．填空题（共10小题）
6．（2022•门头沟区二模）如果|x+2|+＝0，那么xy的值为 　﹣6　．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数的性质可求出x、y的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵|x+2|+＝0，而|x+2|≥0，≥0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
解得x＝﹣2，y＝3
∴xy＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
7．（2022春•江城区期中）若一个正数的两个平方根分别是2﹣x和2x﹣9，则x的值是 　7　．
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2﹣x+2x﹣9＝0，
∴x＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的性质，本题属于基础题型．
8．（2022春•昭阳区校级月考）4的平方根是 　±2　，（﹣5）2的平方根是 　±5　．
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：4的平方根是±＝±2，
（﹣5）2的平方根是＝＝±5，
故答案为：±2，±5．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键．
9．（2022春•海淀区校级期中）若实数a，满足+|b﹣1|＝0，那么a+b的值是 　﹣1　．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
则a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确把握相关定义是解题关键．
10．（2022春•青山区校级月考）若关于m的代数式m﹣2和2m﹣1是某个正数的平方根，则这个正数是 　1或9　．
【分析】分m﹣2与2m﹣1相等或不等两种情况，根据平方根的定义进行解答．
【解答】解：当m﹣2与2m﹣1相等时，即m﹣2＝2m﹣1，
解得m＝﹣1，
所以m﹣2＝2m﹣1＝﹣3，
这时这个正数为（﹣3）2＝9；
当m﹣2与2m﹣1不相等时，即m﹣2+2m﹣1＝0，
解得m＝1，
所以m﹣2＝﹣1，2m﹣1＝1，
这时这个正数为（±1）2＝1；
因此这个正数为1或9，
故答案为：1或9．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
11．（2022•兰溪市模拟）当a＝3时，代数式的值为 　2　．
【分析】把a的值代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：把a＝3代入得＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2022春•河东区期中）的平方根是 　　．
【分析】根据算术平方根和平方根的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝2，
∴2的平方根是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．
13．（2022春•朝阳区校级期中）若x2＝81，那么x＝　﹣9或9　．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此求出x的值即可．
【解答】解：∵x2＝81，
∴x＝﹣9或9．
故答案为：﹣9或9．
【点评】此题主要考查了平方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
14．（2022春•黄石期中）的值是 　5　．
【分析】根据算术平方根的定义求解
【解答】解：∵52＝25，
∴＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，比较简单．
15．（2022春•杨浦区校级期中）已知＝2.493，＝7.882，则﹣＝　﹣78.82　，6.213×104的平方根是 　±249.3　．
【分析】根据平方根的计算得出结论即可．
【解答】解：∵＝2.493，＝7.882，
∴﹣＝﹣78.82，6.213×104的平方根是±249.3，
故答案为：﹣78.82，±249.3．
【点评】本题主要考查平方根的知识，熟练掌握平方根的知识，科学记数法的知识等是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2022•成武县开学）求下列各数的平方根：
（1）121； （2）； （3）（﹣13）2； （4）﹣（﹣4）3．
【分析】（1）直接利用平方根的定义得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出答案；
（3）直接利用有理数的平方计算，再利用平方根的定义得出答案；
（4）直接利用立方根的定义化简，再利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：（1）∵（±11）2＝121，
∴121的平方根是±11；
（2），
因为，
所以的平方根是；
（3）（﹣13）2＝169，
因为（±13）2＝169，
所以（﹣13）2的平方根是±13；
（4）﹣（﹣4）3＝64，
因为（±8）2＝64，
所以﹣（﹣4）3的平方根是±8．
【点评】此题主要考查了平方根，正确掌握平方根的定义是解题关键．
17．（2021秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：
（1）25（x﹣）2＝49； （2）（x+1）2＝32．
【分析】（1）根据平方根的概念解方程；
（2）根据平方根的概念解方程．
【解答】解：（1）25（x﹣）2＝49，
（x﹣）2＝，
x﹣＝±，
x﹣＝或x﹣＝﹣，
解得：x1＝2，x2＝﹣；
（2）（x+1）2＝32，
（x+1）2＝32÷，
（x+1）2＝32×2，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x+1＝8或x+1＝﹣8，
解得：x1＝7，x2＝﹣9．
【点评】本题考查平方根，注意一个正数有两个平方根，且它们互为相反数是解题关键．
18．（2022春•瑶海区期中）已知（x﹣2）2+＝0，求（x+y）2022的值．
【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入（x+y）2022的中求解即可．
【解答】解：∵（x﹣2）2+＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0；
∴x＝2，y＝﹣3；
则原式＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．
【点评】本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
19．（2021春•新罗区期中）已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值．
【分析】先依据平方根、算术平方根的定义得到10﹣3a＝1，a﹣b+2＝4，先求得a、b的值，然后再代入求解即可．
【解答】解：∵10﹣3a的平方根是±1，
∴10﹣3a＝1，
解得，a＝3，
∵a﹣b+2的算术平方根是 2，
∴a﹣b+2＝4，
解得，b＝1，
∴3a+b＝10．
【点评】本题考查了平方根，利用平方根的平方等于被开方数得出方程是解题关键．
20．（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【分析】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案；
（2）结合（1）中所求，结合平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，m﹣2＝0，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3；
（2）4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
【点评】此题主要考查了平方根以及绝对值，正确得出m，n的值是解题关键．