备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(九)　指数与指数函数

课时验收评价(九)　指数与指数函数

一、点全面广强基训练

1．(2022·天津高三二模)已知a＝2 0210.2，b＝0.22 021，c＝log2 0210.2，则(　 )

A．a>b>c  B．b>a>c

C．c>b>a  D．a>c>b

解析：选A　∵a＝2 0210.2>2 0210＝1,0<b＝0.22 021<0.20＝1，c＝log2 0210.2<log2 0211＝0，因此，a>b>c.

2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　 )

A．a>1，b<0 

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0 

D．0<a<1，b<0

解析：选D　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.又f(0)＝a－b<a0，所以－b>0，即b<0.

3．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　 )

A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增

B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

解析：选C　易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.

4．已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；

⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有(　 )

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

解析：选B　函数y1＝x与y2＝x的图象如图所示．

由a＝b得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．

5．已知实数a，b满足>a>b>，则(　 )

A．b<2  B．b>2

C．a<  D．a>

解析：选B　由>a，得a>1，由a>b，得2a>b，故2a<b，由b>，得b>4，得b<4.由2a<b，得b>2a>2，a<<2，故1<a<2,2<b<4.

对于选项A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)>0恒成立，故A错误，B正确；对于选项C，D，a2－(b－a)＝2－，由于1<a<2,2<b<4，故该式的符号不确定，故C、D错误．故选B.

6．计算：0.5＋0.1－2＋－3π0＋＝______.

解析：原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.

答案：100

7．函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为　　　　.

解析：设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，

∴f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．

答案：(－∞，1]

8．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,8)，则不等式f(x)＋2x<8的解集为________．

解析：由题意，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,8)，可得a3＝8，解得a＝2，即f(x)＝2x，令g(x)＝f(x)＋2x＝2x＋2x，可得函数g(x)为R上的单调递增函数，且g(2)＝8，所以不等式f(x)＋2x<8，即为g(x)<g(2)，可得x<2，所以不等式f(x)＋2x<8的解集为(－∞，2)．

答案：(－∞，2)

9．已知函数f(x)＝b·ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A(1,4)，B(3,16)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝f(x)－f(－x)(x≥2)，求函数g(x)的值域．

解：(1)依题意，而a>0，解得a＝2，b＝2，即有f(x)＝2·2x＝2x＋1，

所以函数f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1.

(2)由(1)知，g(x)＝f(x)－f(－x)＝2x＋1－2－x＋1＝2，因函数y＝2x和y＝－在[2，＋∞)上都单调递增，因此函数g(x)在[2，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g(2)＝，

所以函数g(x)的值域为.

10．已知函数f(x)＝|x|－a.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．

解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝t在R上是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．

(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，

所以函数g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，

从而a＝2.

二、重点难点培优训练

1．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是________．

解析：因为f(1－x)＝f(1＋x)，

所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，所以f(x)＝2|x－1|.作出函数y＝f(x)的图象如图所示．

当m<n≤1或1≤m<n时，离对称轴越远，m与n的差越小，由y＝2x－1与y＝21－x的性质知极限值为0.当m<1<n时，函数f(x)在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，则n－m取得最大值2－(－2)＝4，所以n－m的取值范围是(0,4]．

答案：(0,4]

2．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求m，n的值；

(2)用定义法证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，即m－30＝0，解得m＝1，

又∵f(－1)＝－f(1)，∴＝－，

解得n＝1.经检验当m＝1且n＝1时，

f(x)＝满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．

(2)证明：由(1)得f(x)＝＝－1＋，任取实数x1，x2，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵x1<x2，可得3x1<3x2，且(3x1＋1)(3x2＋1)>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

(3)根据(1)(2)知，函数f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上为减函数．∴不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，即f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．即t2－2t>－2t2＋k对任意的t∈R都成立．即k<3t2－2t对任意的t∈R都成立，∵3t2－2t＝32－，当t＝时，3t2－2t有最小值，最小值为－，∴k<－，即k的取值范围是.