备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(二十四)　简单的三角恒等变换

课时验收评价(二十四)　简单的三角恒等变换

一、点全面广强基训练

1．已知sin＝cos，则tan α＝(　 )

A．1  B．－1

C.  D．0

解析：选B　∵sin＝cos，

∴cos α－sin α＝cos α－sin α，

即sin α＝cos α，

∴tan α＝＝－1.

2．化简：＝(　 )

A．1  B．  C.  D．2

解析：选C　原式＝＝＝＝ .

3．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选A　因为tan 2α＝＝，所以cos α－＝2(2－sin α)，即＝，所以sin α＝.又α∈，所以cos α＝，所以tan α＝.故选A.

4．(2023·乐山外国语学校期中)已知sin＝tan 210°，则sin的值为(　 )

A.  B．－ 

C.  D．－

解析：选A　∵sin＝tan 210°＝tan＝tan 30°＝，∴cos＝1－2sin2＝，∴sin＝

sin＝cos＝.

5．已知α∈，β∈，且sin 2α(1＋sin β)＝cos β(1－cos 2α)，则下列结论正确的是(　 )

A．2α－β＝  B．2α＋β＝

C．α＋β＝  D．α－β＝

解析：选A　由题可知，2sin αcos α(1＋sin β)＝cos β·2sin2α，因为α，β∈，所以sin α≠0，所以cos α(1＋sin β)＝cos βsin α，即cos α＝sin(α－β)，因为cos α＝sin＝sin，所以α－β＝＋α(舍)或α－β＝－α，即2α－β＝，故选A.

6．(2023·沧州模拟)若角α满足cos＝，则＝________.

解析：∵cos＝(cos α－sin α)＝，

∴cos α－sin α＝，∴2sin αcos α＝，

∴＝＝sin αcos α＝.

答案：

7．化简：＝________.

解析：＝

＝＝4sin α.

答案：4sin α

8．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________.

解析：由已知可得＝，

即tan(α＋β)＝.

又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.

答案：

9．化简：(1)；

(2).

解：(1)原式＝

＝

＝

＝＝－4.

(2)原式＝＝

＝＝

＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α.

10．已知函数f(x)＝cos 2x＋2cos2.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.

解：(1)∵f(x)＝cos 2x＋1＋cos＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，∴T＝＝π，

∴函数f(x)的最小正周期为π.

(2)由f(α)＝可得，sin＝，

∵α∈，∴2α＋∈，

又∵0＜sin2α＋＝＜，

∴2α＋∈，∴cos＝－，

∴cos 2α＝cos＝cos2α＋cos＋sinsin＝.

二、重点难点培优训练

1．已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π<α<，则cos α＋sin α＝(　 )

A.  B．  C．－  D．－

解析：选C　∵tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，∴tan α＋＝k，tan α·＝k2－3.

∵3π<α<，∴k>0，∴k＝2，

∴tan α＝1，∴α＝3π＋，

则cos α＝－，sin α＝－，∴cos α＋sin α＝－.

2．若sin 10°＝(tan 10°－1)·sin(α－20°)，则sin(2α＋50°)＝(　 )

A.  B．－  C．－    D．

解析：选D　∵sin 10°＝(tan 10°－1)·sin(α－20°)，

∴sin 10°＝·sin(α－20°)

＝·sin(α－20°)＝·sin(α－20°)，

∴sin 10°cos 10°＝－2sin 20°·sin(α－20°)，

∴sin(α－20°)＝＝＝－，

则sin(2α＋50°)＝sin(2α－40°＋90°)＝cos[2(α－20°)]＝1－2sin2(α－20°)＝1－2×2＝.

3．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝，则sin A＝________.

解析：∵sin(C－A)＝1，∴C－A＝90°，即C＝90°＋A，

∵sin B＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝，

即1－2sin2A＝，∴sin A＝.

答案：

4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．

(1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．

解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，

∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.

(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，

∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1.

∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.

∴－≤sin≤1，

∴－2≤2sin－1≤1，

故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．