宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（含答案）

宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、在复平面内，复数(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数所对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛，若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三学生数之比为，则样本容量为(   )

A.120 B.160 C.180 D.460

3、是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值(单位：)的统计数据，则下列叙述不正确的是(   )

A.从这10天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是

B.从5日到9日，日均值逐渐降低

C.这10天中日均值的平均数是49.3

D.这10天的日均值的中位数是

4、给定数据：10，s12，17，25，50，75，则其第30百分位数､第50百分位数分别为(   )

A.11，17 B.11，21 C.12，17 D.12，21

5、在中，若，，，则(   )

A.1 B. C. D.2

6、已知中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则(   )

A.  B.

C.  D.

7、若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则(   )

A. B. C. D.

8、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知下列条件，只有一个解的是(   )

A.，， B.，，

C.，， D.，，

二、多项选择题

9、下列说法错误的是(   )

A.零向量没有方向

B.共线向量是同一条直线上的向量

C.若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得

D.

10、甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(   )

A.  B.事件B与事件相互独立

C.事件B与事件相互独立 D.，互斥

11、已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为(   )

A.在区间上单调递增 B.是的一个周期

C.的值域为 D.的图象关于y轴对称

12、直角中，斜边，P为所在平面内一点，（其中），则(   )

A.的取值范围是

B.点P经过的外心

C.点P所在轨迹的长度为2

D.的取值范围是

三、填空题

13、设样本数据，，，，的平均数为，方差为，若数据，，，，的平均数比方差大4，则的最大值是_________．

14、如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走dm到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高_________m.（结果用d、、、表示）

15、的值__________.

16、已知点P为的内心，，，，若，则______．

四、解答题

17、在三角形ABC中，，点F为边AC中点，点E在边AB上，且，CE与BF相交于点P．

（1）将向量用向量，表示；

（2）若，，求．

18、某校从高三年级学生中随机抽取100名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的5组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中x的值；

（2）估计这组数据的平均数；

（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取2人进行分析，求2人中恰有1名女生的概率.

19、在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的面积．

20、如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．

（1）若，求证：平面BDF；

（2）若，求证：平面平面PBC．

21、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求B；

（2）已知，D为边AB上的一点，若，，求AC的长．

22、在四棱锥中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，，，且，，．

（1）求证：；

（2）求二面角______的余弦值；

从①，

②，

③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

（3）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．

参考答案

1、答案：C

解析：，

，其在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.

2、答案：D

解析：设样本中高二的学生数量为x，

则样本中高一的学生数量为，样本中高三的学生数量为，

因为全校高一、高三学生数之比为，

所以，解得，

则样本容量为，

故选：D.

3、答案：D

解析：对于A：从图表可以看出，“空气质量为一级”的有：3日、8日、9日、10日，故概率，故A正确；对于B：从5日到9日，折线图逐日下降，故日均值逐渐降低，故B正确；

对于C：这10天中日均值的平均数是，故C正确；

对于D：这10天的数据从小到大依次为：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，故中位数为，故D错误；故选：D

4、答案：D

解析：因为，，

所以第30百分位数12､第50百分位数，故选：D

5、答案：B

解析：由正弦定理得，，故选B

6、答案：A

解析：依题意，，故，故选A．

7、答案：C

解析：由题意，所以，，

，故选：C.

8、答案：D

解析：对于A，因为，，

所以，有两个解，故A错误.

对于B，因为，，

所以，无解，故B错误.

对于C，因为，所以，即，，

所以无解，故C错误.

对于D，，为直角三角形，故D正确.故选：D

9、答案：ABC

解析：对A，零向量的方向规定为任意方向，故错误，

对B，共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误，

对C，根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误，

对D，，故正确，故选：ABC

10、答案：AD

解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：

因此，，，A正确；

又，因此，B错误；

同理可以求得，C错误；

，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．

11、答案：CD

解析：对于A：因为，所以，

，，

所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；

对于B：，

所以不是的一个周期，故B错误；

对于C：，所以的周期为，

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

当时，，；

综上：的值域为，故C正确；

对于D：，所以为偶函数，即的图象关于y轴对称，故D正确，故选：CD

12、答案：ABD

解析：由，又斜边，则，则，A正确；

若O为AB中点，则，故，又，

所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是的外心，B正确，C错误；

由上，则，

又，则，当且仅当等号成立，

所以，D正确.故选：ABD

13、答案：

解析：数据，，，，的平均数为，方差为，所以，

，即，则，因为，所以，故当时，的最大值是．故答案为：．

14、答案：

解析：

设山高，则，延长PB交AQ于D，如图，

则，因此，，，

，

中由正弦定理得，

所以，

故答案为：．

15、答案：1

解析：

.故答案为：1.

16、答案：

解析：

在，由余弦定理得，

设O，Q，N分别是边AB，BC，AC上的切点，设，则，，所以，

由得，，即，①

同理由，②

联立①②以及即可解得：，

故答案为：

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）

由，以，分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，，则，，，，，，

设，故，

进而，

因为，所以得：，

解得，故，

由，

故

（2）由（1）知，又，

故

18、答案：（1）

（2）77

（3）

解析：（1）由频率分布直方图得，解得，所以图中x值是0.020.

（2）由频率分布直方图得这组数据的平均数：

，

所以这组数据的平均数为77.

（3）数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，

记2名男生分别为，，3名女生分别为，，，从数学成绩在内的5人中随机抽取2人进行分析的基本事件为：

，，，，，，，，，，共10个不同结果，它们等可能，

其中2人中恰有1名女生的基本事件为，，，，，，共6种结果，

所以2人中恰有1名女生的概率为为.

19、答案：（1）；

（2）．

解析：（1）由可得，，所以，而，所以．

（2）由得，而，即，解得，所以，，故的面积为．

20、答案：（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

解析：（1）设AC，BD的交点为O，连接OF，

因为底面ABCD为菱形，且O为AC中点，，

所以，又平面BDF，平面BDF，

故平面BDF．

（2）因为底面ABCD为菱形，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

又，AC、平面PAC，

所以平面PAC，又平面PAC，

所以，又，，BD，平面BDF，

所以平面BDF，又平面PBC，故平面平面PBC.

21、答案：（1）

（2）

解析：（1）因为，所以，

即，

所以，因为，

所以，所以，

因为，所以．

（2）因为，，，根据余弦定理得

，所以．

因为，所以．

在中，由正弦定理知，，所以，所以，

所以，所以．

22、答案：（1）证明见解析；

（2）答案见解析；

（3）证明见解析.

解析：（1）因为平面ABCD平面PCD

平面平面，平面ABCD，，

所以平面PCD，又平面PCD，所以．

（2）若选①，过点P作交CD的延长线于点O．

因为平面ABCD平面PCD，平面平面，平面PCD，

所以平面ABCD，

过O作交BA的延长线于点E，

因为，，所以，连接PE，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

因为，平面POE，平面POE，所以AB平面POE，

又平面POE，所以，

所以就是二面角的平面角．

由题意得，，，

所以，所以，即二面角的余弦值为．

若选②，过点P作POCD交CD的延长线于点O，连接BD．

因为平面PCD平面ABCD，平面平面，平面PCD，

所以PO平面ABCD，

过点O作OMBD交BD的延长线于点M，连接PM，

因为PO平面ABCD，平面ABCD，所以PO⊥BD，

因为，平面POM，平面POM，所以BD平面POM，

又平面POM，所以BD⊥PM，

所以∠PMO为二面角的平面角的补角，

易算得，，所以，

所以二面角的余弦值为．

若选③，过点P作POCD交CD的延长线于点O．

因为平面PCD平面ABCD，平面平面，平面PCD，

所以PO平面ABCD，过点O作OHBC交BC于点H，连接PH，

因为PO平面ABCD，平面ABCD，

所以，

又，平面POH，平面POH，

所以BC平面POH，又平面POH，所以BCPH，

所以∠PHO为二面角的平面角，

易算得，，所以，

所以二面角的余弦值为．

（3）

连接AC，取AC的中点K，连接MK，则．

若棱BC上存在点F，使，

则由基本事实4可得，显然矛盾，故对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．