宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试卷（含答案）

宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、i为虚数单位，则(   )

A. B. C. D.

2、已知函数的图象如图所示，那么函数的导函数的图象最有可能的是下图中的(   )

A. B. 

C. D.

3、已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为(   )

A. B. C. D.1

4、两圆与的公共弦长等于(   )

A.4 B. C. D.

5、已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线C的方程为(   )

A. B. C. D.

6、的展开式中的常数项等于(   )

A. B. C. D.

7、设则“”是“”成立的(   )

A.充分必要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既非充分也非必要条件

8、曲线和曲线围成的图形面积是(   )

A. B. C.1 D.

9、安排4名男生和3名女生参与完成3项工作，要求必须每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式种数为(   )

A.432 B.144 C.216 D.1296

10、某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a，b，，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为(   )

A. B. C. D.

11、已知椭圆的左､右焦点分别为，，过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若且，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

12、已知函数，则方程的根的个数为(   )

A.5 B.4 C.3 D.2

二、填空题

13、一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________.

14、已知命题P:，，命题q：“，”，若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是_______.

15、已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数a的取值范围是_______.

16、如图，在长方体中，，，动点E，F分别在线段AB和上．给出下列四个结论：

①存在点E，F，使得等边三角形；

②三棱锥的体积为定值；

③设直线DE与所成角为，则；

④至少存在两组E，F，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．

其中所有正确结论序号是__________．

三、解答题

17、已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

18、如图，四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，，底面ABCD，且，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19、高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数X的概率分布列和期望.

20、已知椭圆的右焦点为且，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且.

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

21、已知函数.

（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数a的值；

（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；

（3）若，且对任意，，都有，求实数a的取值范围．

22、在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是.

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.

23、设函数.

（1）证明；

（2）若当时，关于实数x的不等式恒成立，求实数t的取值范围.

参考答案

1、答案： 答案：B

解析：，

故选：B.

2、答案：B

解析：由原图象可知，原函数在上增函数，在上为减函数，在上为增函数，可得在上大于0恒成立，在上小于0恒成立，则函数的导函数的图象最有可能是B，故选B.

3、答案：A

解析：由题意知.故选：A

4、答案：B

解析：两圆为①，

，②

①-②可得：．

两圆的公共弦所在直线的方程是，

的圆心坐标为，半径为，

圆心到公共弦的距离为，

公共弦长为．故选：B．

5、答案：C

解析：因为双曲线的离心率，且其右焦点为，

所以，则，所以，

因此，双曲线C的方程为.故选：C.

6、答案：A

解析：由于

故的展开式中的常数项为：

，故选：A

7、答案：C

解析：由，解得，

由，解得，

因为真包含于，所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选：C

8、答案：A

解析：

在同一坐标系作出曲线和的图象，知其交点为，围成的图形面积为＝＝，故选：A．

9、答案：C

解析：由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，女生的安排方法共有，故不同的安排共有种.故选：C

10、答案：D

解析：由题知，三个社团中他恰好能进入两个概率为，则，所以，所以，所以该同学一个社团都不进入的概率．故选：D．

11、答案：A

解析：因为且，所以直线为线段的垂直平分线，所以.

由椭圆定义知，所以，所以，.

在中，，在中，，所以，即，化简得，即，即，

解得椭圆C的离心率（舍去）.故选：A.

12、答案：C

解析：函数定义域为R，求导得，

当或时，，当时，，函数在，上递增，在上递减，

当时，函数取极大值，当时，函数取极小值，

函数，当时，恒成立，即函数在上的图像恒在x轴上方，

函数的图像，如图，

令，关于u的一元二次方程有异号两个实根，，，

方程或的根即是函数的图像与直线或交点的横坐标，

当，时，有一个实根，有两个实根，

当时，，有两个实根，有一个实根，

当时，，无实根，有三个实根，

综上得，，方程恒有三个实根.故选：C

13、答案：

解析：由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个的圆的面积为，又由边长为2的正方形的面积为，根据面积比的几何概型可得概率为.故答案为：

14、答案：

解析：命题P为真：；命题q为真：，，因为命题“”是真命题，所以p，q为真，即实数a的取值范围是

15、答案：

解析：，则，故函数奇函数.

，函数单调递增，

，故，故，

解得.故答案为：.

16、答案：②④

解析：由题意，在长方体中，E到平面的距离为1，F到边的距离为2，所以，故②正确；

建立空间直角坐标系，如图，

则，，设，，

，，，

则，，，

若是等边三角形无解，

故①错误；

又

若

若

因为

综上，所以③错误

当E为AB中点，F与C重合时，如图，

此时，，，

又，，故，所以，

因为，，，所以，

所以，即三棱锥的四个面均为直角三角形，

当E与B重合，F与C重合时，如图，

显然，，，，

故三棱锥的四个面均为直角三角形，

综上可知，至少存在两组E，F，使得三棱锥的四个面均为直角三角形，故④正确．故答案为：②④

17、答案：（1）增区间是，减区间是；

（2），.

解析：（1）函数的定义域为，，

由，解得，

由，可得，所以函数增区间是，

由，可得，所以函数减区间是.

（2）

由上表可知：，.

18、答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）取PA的三等分点F，且，连结DF，EF，

如图所示：

又因为，所以．

因为，所以，

所以四边形CDFE是平行四边形．所以，

又直线平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．

（2）以A为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，．

，，设平面PBC的法向量为，

则，即.

，，

设平面PCD的法向量为，

则，即．

所以，

由图可知，二面角的余弦值为．

19、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率

（2）X的概率分布列为

所以.

20、答案：（1）；

（2）.

解析：（1）由，

又原点O到直线DF的距离为，，，

又，，，，，

故椭圆方程为.

（2）显然当直线l与x轴垂直时不可能满足条件，

故可设存在满足条件的直线的方程为，带入椭圆E的方程得

，

因为直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，

，

因为，即，

所以即，

所以，

解得，

因为A，B为不同的两点，所以

，

所以，故，

所以存在满足条件的直线l，且其方程为.

21、答案：（1）－2；

（2）见解析；

（3）.

解析：（1）因为，所以，所以曲线在处的切线的斜率为.

因为曲线在处切线的方程为，所以，解得：.

（2）①充分性：当时，，.

所以当时，，所以函数在上是增函数，当时，，所以函数在上是减函数.所以.

②必要性

（i）当时，恒成立，所以函数在上是增函数．而.所以当时，，与恒成立相矛盾，所以不满足题意.

（ii）当时，因为当时，，所以函数在上是增函数；

当时，，所以函数在上是减函数.

所以.

因为.所以当时，，此时与恒成立相矛盾，所以.

综上所述，恒成立的充要条件是.

（3）由（2）可知

当时，函数在上是增函数，又函数在是减函数．

不妨设，则，，

所以等价于，即.

设

则等价于在区间上是减函数.

因为，所以在时恒成立，

即在时恒成立，即.

而在区间上是增函数，所以的最大值为-3，

所以

又，所以.

22、答案：（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；

（2）.

解析：（1）将直线l的参数方程消去参数得，

所以直线l的普通方程为，

因为曲线C的极坐标方程是，又，，，所以曲线C的直角坐标方程为；

（2）将直线l的参数方程（t为参数），代入曲线的直角坐标方程中，并整理得，

设A，B两点对应的参数分别为，由韦达定理得，，

.

23、答案：（1）证明见解析；

（2）.

解析：.

当且仅当且等号成立

（2）当时.

当时，；

当时，；

当时，，

∴.

若，恒成立.

则只需，解得.

综上所述实数t的取值范围是.