2023届江苏省盐城中学高三下学期第三次模拟数学试题（含答案）

盐城中学2023届高三下学期第三次模拟

数学试卷（2023.5）

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数，其中i为虚数单位，则（    ）

A. B. C.1 D.2

2.如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知公差不为零的等差数列满足：，且，，成等比数列，则（    ）

A.2023 B. C.0 D.

4.在中，，且点满足，则（    ）

A. B. C. D.

5.已知函数的导函数，，，，则（    ）

A. B. C. D.

6.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（    ）

A. B. C. D.

7.设函数的定义域为R，其导函数为，若，，则下列结论不一定正确的是（    ）

A. B.

C. D.

8.已知，是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.2 B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知，，，随机变量的分布列为：

则（    ）

A. B. C. D.

10.已知曲线，则（    ）

A.曲线关于原点对称

B.曲线上任意点满足（为坐标原点）

C.曲线与有且仅有两个公共点

D.曲线上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）

11.已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（    ）

A.

B.二面角的大小为

C.点到平面距离的取值范围是

D.若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为

12.已知函数，，则（    ）

A.函数在上存在唯一极值点

B.为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是

C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为

D.若，则的最大值为

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种.

14.已知点为圆上任意一点，且点到直线和的距离之和与点的位置无关，则实数的取值范围是______.

15.在中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.

16.已知正四面体的棱长为3，点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则四边形的周长为______，四棱锥的体积的最大值为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列中，，是其前项和，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，设数列的前项和为，求的最小值.

18.如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.

（1）证明：平面平面；

（2）若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.

19.如图，在平面四边形中，，.

（1）若平分，证明：；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值.

20.2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.

（1）已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；

（2）若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为，

①当时，请直接写出数学期望与的关系；

②求出关于的表达式.

21.已知抛物线的焦点在圆上.

（1）设点是双曲线左支上一动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，证明：直线与圆相切；

（2）设点是圆上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线是圆在点处的切线，若直线与抛物线交于，两点，求的最大值.

22.已知函数，，曲线在处的切线的斜率为.

（1）求实数的值；

（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设方程在区间内的根从小到大依次为、、…、、…，求证：.

2023届高三下学期第三次模拟

数学答案（2023.5）

一、单选题：CDAA  CBCB

8.【解析】如图，设，点，，共线，点，，共线，所在直线的斜率分别为，，

点在双曲线上，即，有，因此，

点在椭圆上，即，有，直线，的斜率，，有，即，于是，即直线与关于轴对称，

又椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，令，由得，

显然，，

，

解得，所以双曲线的离心率.故选：B

二、多选题：BC  BC  ACD  BCD

12.【解析】对于A：，，

令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，

故，故在递增，函数在上无极值点，故A错误；

对于B：函数得到作出的图象  注意渐近线  B正确

对于C：由A得：在递增，不等式恒成立，

则恒成立，故，设，则，

令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，

故，故，故C正确；

对于D：若，则，

∵，∴，，且，时，，

设，设，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，

故，此时，

故的最大值是，故D正确；故选：BCD

三、填空题：216      6，

15.【解析】由于，所以，由正弦定理得，

所以，，所以

.

当，即时，，没有最大值，所以，

则，其中，

要使有最大值，则要能取，由于，

所以，所以，即，解得.所以的取值范围是.

16.【解析】平面，平面平面，平面平面

则，，则

又平面，平面平面，平面平面

则，，则则四边形为平行四边形.

由，可得，则，

又正四面体的棱长为3，则，

四边形的周长为.

由，

可得点到平面的距离为，又平行四边形为矩形，

则四棱锥的体积

令，则

由得，由，得

则在单调递增，在单调递减，在时取最大值

，即的最大值为

四、解答题：

17.【解析】（1）由题意可知，则数列为等差数列，可得，，

当时，，当时也成立，所以；

（2），

，当为奇数时，

当为偶数时，单调递增，则，则的最小值为.

18.【解析】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，

所以，又为弧的中点，则是弧的中点，

所以，而由题设知：，则，

所以，即，由底面，面，则，又，

所以面，又面，所以面面.

（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系，

令半圆柱半径为，高为，则，，，，

所以，，，，

若是面的一个法向量，则，令，则，

若是面的一个法向量，则，令，则，

所以，整理可得

，则，

由题设可知，此时点，，，可求得.

19.【解析】（1）∵平分，∴，则，

由余弦定理得：，

即，解得：；

∵，

，

∴，又，，∴

方法二：由正弦定理可得，，代入数据可得，又两角不相等，故∴

（2）∵，

∴，整理可得：；

，

∵，∴当时，取得最大值，最大值为14.

20.【解析】（1）由题意，的所有可能取值为，

，，

所以的分布列为

所以的数学期望为化简可得.

（2）①第次射击后，可能包含两种情况：第次射出空包弹或第次射出实弹，

第次射击前，剩余空包弹的期望是，

若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为，

若第次射出实弹，则此时对应的概率为，所以此时空包弹的数量为，

综上，.

②当时，弹巢中有发空包弹，则，

由可得，

则，.

21.【解析】（1）抛物线的焦点为，故可知，

设，的直线方程为，的直线方程为，，

则，

由于与抛物线相切，所以，故方程的根为，将其代入抛物线方程得，故，

同理，，因此，是方程的两个根，

故，，直线的方程为，化简得，

圆心到直线的距离为，

由于，，将其代入得，故直线与圆相切

（2）联立，

设，且满足，，则，则，此时的直线方程为，联立直线与抛物线方程，

设，，所以，，

进而，，，，

因此

由于，当时，时取最大值5，由于是圆上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，所以，在的两侧，故，故此时的最大值为5，

22.【解析】（1）因为，则，

由已知可得，解得.

（2）由（1）可知，对任意的，恒成立，

即对任意的恒成立，当时，则有对任意的恒成立；

当时，，则，令，其中，

且不恒为零，

故函数在上单调递增，则，故.综上所述，.

（3）证明：由可得，

令，则，

因为，则，

所以，，所以，函数在上单调递减，

因为

，，

所以，存在唯一的，使得，

所以，，则，

所以，

因为函数在上单调递减，故，即.