2023届四川省阆中中学校高三第五次检测（二模）数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省阆中中学校高三第五次检测（二模）数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省阆中中学校高三第五次检测（二模）数学（文）试题 一、单选题1．集合，则=A．{1,2} B．{0,1,2} C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}【答案】B【分析】先化简集合集合，再由交集的定义可得结果.【详解】因为，所以两集合的公共元素为0,1,2，={0,1,2}，故选：B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数运算性质计算即可【详解】故选：C3．下列函数中，在上是增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】对AB：直接判断其单调性；对C：把 化为，判断其单调性；对D：利用判断的单调性.【详解】本题考查函数的单调性.A项中，函数在上单调递减，故A错误；B项中，二次函数的图像开口向下，对称轴方程为，故该函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；C项中，函数，在和上分别单调递增，故C正确；D项中，函数在上单调递减，故D错误.故选：C【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.4．“ ”是“函数为偶函数”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据充分必有条件的定义求解.【详解】若 ，则 ，是偶函数；若 是偶函数，对于任意的x，有 ，即 ， ，  ，不能推出 ，所以“ ”是“是偶函数 ”的充分不必有条件；故选：A.5．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，所以．故选：B．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．6．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（    ）A．甲班众数小于乙班众数 B．乙班成绩的75百分位数为79C．甲班的中位数为74 D．甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D【分析】根据已知数据图，判断A；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B；求出甲班的中位数，判断C；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A错误；对于乙班物理成绩的频率分布直方图， 前三个矩形的面积之和为 ，故乙班成绩的75百分位数为80，B错误；由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C错误；甲班平均数为，乙班平均数估计值为，即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D正确，故选：D7．双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l，则点A到直线l的距离为　　A． B． C． D．【答案】B【分析】求得双曲线的a，b，c，求得A，F的坐标和渐近线方程，设出过F于渐近线平行的直线，运用点到直线的距离公式，可得所求值．【详解】由双曲线得：，，，可得，，双曲线的渐近线方程为，可设过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线l为，即，则A到直线l的距离为．故选B．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】先有图象结合三角函数的性质得出解析式，再根据图象变换得解析式，继而可得答案.【详解】由图象可知的周期为，代入可得，又，故，左移个单位长度得，故.故选：C9．如图，在长方体中，若E，F，G，H分别是棱，，，上的动点，且，则必有（    ）A． B．C．平面平面EFGH D．平面平面EFGH【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．【详解】若点与重合，点与点重合， 则与的夹角便是与的夹角，显然与的夹角不是，所以错误，A错误；当与重合时，由可得，当与不重合时，因为，平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，又，所以，B正确；当平面与平面重合时，平面与平面不垂直，C错误；当与重合时，平面与平面相交，D错误.故选；B.10．若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值.【详解】如下图所示：直线的斜率为，倾斜角为，故，圆的标准方程为，圆心为，半径为，易知直线交轴于点，所以，，由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，由圆的几何性质可知，且，则，故.故选：A.11．已知，且，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得，结合求出的值，再根据正切的二倍角公式即可.【详解】，故，又因为，且．故，或，，则或，故，故选：D．12．定义在R上的连续函数满足，且为奇函数.当时，，则（     ）A． B． C．2 D．0【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期为，再根据求解即可.【详解】因为函数满足，所以关于对称，即①.又因为为奇函数，所以，即②.由①②知，所以，即，所以函数的周期为，所以，,因为时，，所以，又为奇函数，所以当时，，所以，故选：B. 二、填空题13．已知满足：，，，__________．【答案】【分析】两边平方，结合，，得到，从而得到，求出.【详解】，因为，，所以，解得：，可得，所以.故答案为：．14．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.【答案】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为：15．如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.【答案】【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，则，解得，所以外接球表面积为，故答案为：.16．如图，四边形中，与相交于点O，平分，，，则的值_______.【答案】/【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解；【详解】在中，，由余弦定理得，所以.由正弦定理得，.即.又因为平分，所以.故答案为： 三、解答题17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）【答案】（1） （2）【详解】（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:(分钟).（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得.是互斥事件，.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.18．已知数列的前n项之积为，且，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意可得，有，由等差数列的定义和通项公式可得；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可求解.【详解】（1）由题意得，，．所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，则．当时，由，得，则，对也成立，故．（2）由（1）可知，，，所以数列的前n项和为.19．如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.(1)证明：图2中的平面；(2)在图2中，若，求该几何体的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面.（2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：取中点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以平面，同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，因为平面，且，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解：若，因为，，则，故，所以两两垂直，连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，则，因为平面平面，故，所以该几何体的体积为.20．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．试题解析：（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【解析】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 21．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求实数的范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）由题可得 后分四种情况在条件下解不等式可得单调性；（2）方法1，，由（1）可注意到当时，，当时，，据此可得答案；方法2，，后构造，利用导数知识求出其最小值，可得答案.【详解】（1）的定义域为，当，即时，由，得，由，得，所以在上是增函数，在上是减函数；当，即时，由，得或，由，得，所以在和上是增函数，在上是减函数，当，即时，恒成立，所以在上是增函数；当，即时，由，得或，由，得，在和上是增函数，在上是减函数（2）（方法一）由（1）知，当时，，要使恒成立，只需，即，可得.当时，注意到，不符合题意，故，即实数的取值范围为.（方法二）由，可得.构造函数，，易知，所以.令，则.令，则，由，得，由，得，易知在上是减函数，在上是增函数，所以，所以当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数，，由，得，故实数的取值范围为.22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若，是曲线C上的两个动点，且，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先将参数方程转化为普通方程，再根据普通方程转化为极坐标方程的方法即可得到答案；（2）根据题意设，，得到的表达式并化简，再根据三角函数的性质求出取值范围.【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，又，所以曲线的普通方程为， 又，所以，所以，即曲线的极坐标方程为.（2）由，设，，则，，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围为.23．设满足不等式成立实数的最大值为.(1)求的值；(2)设，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式，进而可得结果；（2）由（1）可得，结合基本不等式分析证明.【详解】（1）当时，，所以；当时，，解得，所以；当时，，故，综上所述：不等式的解集为，故.（2）由（1）可得，∵，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，由于，，当且仅当时，即等号成立，所以，故.