四川省2023届名校联考高考仿真测试（一）文科数学试题（含解析）

四川省2023届名校联考高考仿真测试（一）文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（    ）

A．1 B． C． D．2

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C．3 D．5

4．已知抛物线的焦点为为上一点，若，则（    ）

A． B．4 C． D．

5．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A． B． C． D．

7．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度与其催化时间（小时）满足的函数关系式为，且.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为，催化后30小时，生成甲醇的浓度为.若生成甲醇的浓度为，则需要催化时间约为（    ）（参考数据：）

A．23.5小时 B．33.2小时 C．50.2小时 D．56小时

8．某圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（    ）

A． B． C． D．

9．已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．14

10．在正四棱台中，，其体积为为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数的图象关于直线对称，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称 B．是奇函数

C．在上单调递减 D．的图象关于点对称

12．已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．若实数满足约束条件，则的最大值为___________.

14．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则__________.

15．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为___________.

16．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为___________.

三、解答题

17．据相关机构调查研究表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)在样本中从和的学生中采用分层抽样的方法抽取5人，从所抽5人中任选2人，求2人成绩均在内的概率.

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

19．在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.

(1)求证：平面；

(2)已知，，若与平面所成角的正切值为，求到平面的距离.

20．已知椭圆的右焦点为为上的一点，的最大值与最小值的差为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为1.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线与椭圆交于两点，记的右顶点为，直线与直线的斜率分别为，若，求面积的取值范围.

21．已知函数的导函数为.

(1)当时，求函数的极值点的个数；

(2)若函数有两个零点，求证：.

22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为，.

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)若曲线与轴交于点，曲线和曲线的交点为，求的值.

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)若的最小值为，且，求的最小值.

参考答案：

1．B

【分析】先根据复数得除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.

【详解】由，

得.

故选：B.

2．C

【分析】先化简集合,再利用补集和交集运算求解.

【详解】集合，，故，

所以.

故选：C.

3．D

【分析】依题意可得，即可求出的值，在求出的坐标，从而求出其模.

【详解】因为，，且，所以，所以，

所以，，所以.

故选：D.

4．A

【分析】根据为抛物线上一点，且，利用抛物线的定义，由得到p即可.

【详解】解：抛物线的准线为，

因为为上一点，且，

所以，解得，

所以抛物线，

所以，

所以.

故选：A.

5．B

【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.

【详解】由题意知，

则原式.

故选：B.

6．C

【分析】根据程序框图的循环结构和数列的裂项相消求和即可求解.

【详解】该算法的功能是计算

，

所以输出的.

故选：C.

7．B

【分析】根据题意列方程组求得和的值，从而求出的表达式，令解方程即可求解.

【详解】由题意得解得，所以，

令，所以，所以，

故小时.

故选：B.

8．A

【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，进而利用相似即可求解内切球半径.

【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则，所以，设该圆锥内切球的半径为，作出轴截面如图，利用相似可得，所以，所以.

故选：A.

9．C

【分析】设所求圆的方程为，根据的三个顶点分别为，，，代入求得方程，再判断直线与圆的位置关系，然后转化为点与圆的位置关系求解.

【详解】解：设所求圆的方程为，

因为的三个顶点分别为，，，

则，

解得，

所以外接圆的一般方程为，

其圆心为，半径为5，

因为直线，即，

所以点到直线的距离为，

所以直线与的外接圆相离，

所以点到直线的距离的最大值为.

故选：.

10．D

【分析】根据棱台体积公式，异面角的求法和余弦定理即可求解.

【详解】设正四棱台的高为，

连接，作交于点，

作交于点，连接，

则为异面直线与所成角或其补角.

因为，

且正四棱台的体积为，

即，

所以，即，

易求，

，

，

，

所以.

故选：D.

11．D

【分析】先根据函数的图象关于直线对称，由，求得，从而得到，然后再逐项判断.

【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，

所以，

所以，又，

所以，

所以，

所以，

所以的图象不关于直线对称，故A错误；

将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，

所以，所以不是奇函数，故B错误；

令，得，

当时，得函数在上单调递增，所以函数在上不单调递增，故C错误；

令，得，

当时，可得函数的图象关于点对称，故D正确.

故选：D.

12．C

【分析】构造函数，求导得函数的单调性，进而可判断，结合的奇偶性和单调性即可求解.

【详解】由题意知，，

令，则，

当时，，此时在上单调递减，

又，所以，即，

又为奇函数且在上单调递减，所以在上单调递减，

所以，即.

故选：C.

13．5

【分析】根据不等式组作出可行域，利用最优解求解即可.

【详解】画出可行域（如图阴影部分），

将直线平行移动，

当直线过点时，取得最大值，

联立得，

故.

故答案为：

14．

【分析】根据求导公式和导数的几何意义即可求解.

【详解】由题意知，

所以曲线在处的切线斜率，

所以，

解得，

故答案为：.

15．/

【分析】先由条件求出角，再由余弦定理求出，然后由三角形面积公式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，解得，因为，所以.

在中，，，，

所以由余弦定理得，

所以，所以△ABC的面积为.

故答案为：

16．

【分析】根据双曲线的标准方程和几何关系即可求解.

【详解】设半焦距为，

由题意知，

，

所以，

所以，

双曲线.

记的内切圆与边，，分别相切于点，

则横坐标相等，

则，，，

由，

即，

得，

即，

记的横坐标为，

则，

于是，得，

同理内心的横坐标也为，则轴.

设直线的倾斜角为，

则，

在中，

，

由于直线与的右支有2个交点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，

可得，

即，

可得的范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据双曲线的定义结合三角形内切圆的性质得到的表达式，然后结合三角函数的性质即得.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据平均数的计算公式即可求解，

（2）根据分层抽样即可求解每层所抽取的人数，利用列举法即可由古典概型的计算公式求解.

【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：

.

（2）样本中测试成绩在的人数为，

样本中测试成绩在的人数为，

采用分层抽样的方法从中抽取人数为（人），记作；

从）中抽取人数为（人），记作，

从所抽5人中抽取2人含有的基本事件有：，共10个，

其中2人均在内的事件有：，共3个，

故所求概率.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系即可求解；

（2）求出数列的通项公式后用错位相减法求解.

【详解】（1）因为，

所以当时，，所以，

又当时，，解得，

所以，所以，

所以是首项为､公比为的等比数列，

所以的通项公式为.

（2）由（1）知，

所以，

所以，

两式相减，得

，

所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用相似证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行；

（2）利用线面角的正切值求出，利用已知条件求出与的关系，即可求解.

【详解】（1）证明：延长交于点，连接，则为的中点，

因为为的中点，所以，

又，所以与相似，

所以，

因为为的重心，所以，

所以，所以与相似，

所以，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）解：连接，则，

因为平面，且，平面，

所以，，

所以，;

又，，平面，所以平面.

连接，则为与平面所成的角，且，

因为，，四边形是矩形，

易求，

又与平面所成角的正切值为，

因为，所以,

所以，

设到平面的距离为，则,

由条件知，所以，

所以，即点到平面的距离为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆方程的性质可列出方程组，得到，即可得到椭圆方程.

（2）根据题意，联立得到，利用韦达定理结合已知化简得，即或，讨论分析直线经过定点，即可表示出面积，求出结果.

【详解】（1）设的半焦距为，

由题意知，

解得，

故椭圆的方程为.

（2）由题意知，设，

由得，

所以，即，

且.

因为，所以，

又，

所以，①

因为，

所以令，得，②

令，得，

所以，

所以，③

把②③代①，得，

化简得，

所以或.

所以当时，直线的方程为，

直线过点，不合题意，舍去；

当时，直线的方程为，

所以直线经过定点，

所以

，

因为且，所以，所以，

设，

所以，

即面积的取值范围为.

21．(1)极值点的个数为2

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意，代入，对函数进行二次求导，根据分析求导后的单调性，去判断的情况.

（2）由题意有两个零点，可利用分离参数法，将两个根转化为关于的函数，再证明结论即可.

【详解】（1）当时，，

定义域为，，

令，则.

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

即在上单调递增，在上单调递减，

所以，

又，，

所以，，

所以存在唯一的，，使得，

所以当时，

时，，

时，，

所以在处取得极小值，在处取得极大值，

所以函数的极值点的个数为2.

（2）.

因为函数有两个零点，不妨设，

所以，，

所以，，

解得.

要证明，

即证明，

分式上下分别除以，

即证明，

令，即证明，

即证明.

令，，，

则，

令，，，

则，

所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以对，，

所以，，

所以成立.

【点睛】关键点睛：本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题.

22．(1)，

(2)

【分析】（1）根据公式法，即可得出曲线，的直角坐标方程.

（2）由题得，利用曲线的直角坐标方程得出参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，根据韦达定理得出对应参数的关系，然后根据弦长公式，即可得出答案.

【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，

又，，所以，

所以曲线的直角坐标方程为.

因为曲线的极坐标方程为，

所以，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）由题意知，

故直线的一个参数方程为（为参数）.

把的参数方程代入，得，

所以，

设所对应的参数分别为，

则，所以同号，

所以

.

23．(1)

(2)2

【分析】（1）分类讨论去绝对值符号即可求解不等式；

（2）由绝对值不等式的性质可求出的最小值为，用立方和公式把展开，再用基本不等式可求的最小值.

【详解】（1）

不等式等价于或或

解得，

故不等式的解集为.

（2）因为，当且仅当时等号成立，

所以，所以，

所以.

因为，当且仅当等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

故的最小值为2.