八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份八年级下学期期末数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项1．）
1. 2022年北京成功举办第24届冬奥会和冬残奥会，成为世界上首个“双奥之城”，本届冬残奥会会徽主体图形展示了汉字“飞”的动感和力度，如图所示在下面的四个图形中，能由如图经过平移得到的图形是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质，即可判断．
【详解】解：如图所示在上面的四个图形中，能由如图经过平移得到的图形是：B，
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案不考虑文字说明中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 有害垃圾 B. 可回收物
C. 厨余垃圾 D. 其他垃圾
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3. 《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）

A. 三条边的垂直平分线的交点处 B. 三个角的平分线的交点处
C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条中线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4. 若△ABC的三边长a，b，c满足，则（ ）
A. ∠A为直角 B. ∠B为直角
C. ∠C为直角 D. △ABC不是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件可得，即可判定的形状．
【详解】解：，
，
是直角三角形，且是直角，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理．
5. 若，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质分别分析得出答案；
详解】解：A．，不妨设，则，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．，，，原变形正确，故此选项符合题意；
C．，不妨设，则，原变形错误，故此选项不符合题意；
D．不妨设，则，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等式仍成立；不等式的两边都乘以同一个正数，不等式仍成立；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号方向要改变；解题关键是掌握不等式性质．
6. 若有意义，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 且x≠0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件为分母不为0，列不等式列不等式即可．
【详解】解：分式有意义，
则，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查分式有意义条件，解不等式，掌握分式有意义条件，解不等式方法是解题关键．
7. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
8. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先平移该一次函数的图象，得到一次函数的图象，再由图象即可得到的解集．
【详解】解：如图所示，将直线的图象向左平移1个单位得到，该函数图象经过（-2，0）

由图象可知，当时，函数的图象在轴的上方，即，
所以，不等式的解集是
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移以及利用一次函数的图象确定对应的一元一次不等式的解集等知识，解决本题的关键是牢记一次函数的图象与一元一次不等式的关系，能从图象中得到对应部分的解集．
9. 一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的内角和求出剪去一个角后的多边形的边数即可判断．
【详解】解：由题意得，
，解得，
由于剪去一个角后边数6，则这个多边形不可能为四边形，
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的边数与内家和的关系是解题的关键．
10. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连接并延长，交于点E．连接，若，则的长为（ ）

A. 5 B. 8 C. 12 D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接FE，设AE交BF于点O．首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AB即可．
【详解】如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB=AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO=OE=4，BO=OF=3，
在Rt△AOB中，，
故选：A．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11. 如图，中，平分，是中点，，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长BD交AC于F点，先利用ASA证明，得出BD=DF和AF的长，则可求出FC长，然后根据三角形中位线定理求出DE长即可．
【详解】解：如图，延长BD交AC于F点，

∵AD平分∠BAC，
即，
∵AD⊥BC，
即，
在和中，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是根据条件作出辅助线．
12. 若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
【答案】D
【解析】
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，
整理得，
原方程无解，
当时，；
当时，或，此时，，
解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一般因式分解时能提取公因式先提取公因式，然后再看能否运用公式因式分解．
14. 如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，则为______．

【答案】##22度
【解析】
【分析】先利用四边形的内角和定理求解 再根据内角和定理求解，结合轴对称的性质可得答案．
【详解】解：如图，

，
，
∵
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键．
15. 如图，在中，，将绕点按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为______．

【答案】##30度
【解析】
【分析】由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数．
【详解】解：∵
，
由旋转的性质可知，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证出以及是解题的关键．
16. 如图，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，延长交于点，证明≌，可得，结合，，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长交于点，

，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出正确的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
三、解答题（本大题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求满足不等式组的所有整数解．
【答案】不等式组的解集：-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1.
【解析】
【详解】解：解不等式x-3（x-2）≤8，得：x≥-1，
解不等式x-1＜3-x，得：x＜2，
则不等式组的解集为-1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为-1、0、1．
18. 分解因式，并求值，其中x+y＝2，y﹣2x＝3．
【答案】8（x+y）（2x﹣y），-48
【解析】
【分析】先因式分解，再代值计算．
【详解】解：
＝（4x+y+3y）（4x+y﹣3y）
＝4（x+y）×2（2x﹣y）
＝8（x+y）（2x﹣y）
当x+y＝2，y﹣2x＝3时，
原式＝8×2×（﹣3）
＝﹣48．
【点睛】本题考查因式分解的应用，先正确因式分解再整体代换求值是求解本题的关键．
19. 如图，求的度数.

【答案】540°．
【解析】
【分析】首先根据三角形的外角的性质，可得∠10=∠1+∠9，∠11=∠1+∠8，所以∠10+∠11=∠1+∠9+∠1+∠8=180°+∠1；然后求出（∠2+∠3+∠4+∠11）+（∠5+∠6+∠7+∠10）的度数，再用所得的结果减去180°，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是多少即可．
【详解】解：如图1，
，
∵∠10=∠1+∠9，∠11=∠1+∠8，
∴∠10+∠11=∠1+∠9+∠1+∠8=180°+∠1，
∴（∠2+∠3+∠4+∠11）+（∠5+∠6+∠7+∠10）
=360°+360°
=720°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=720°-180°=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是540°．
故答案为540°．
【点睛】本题考查多边形的内角和外角，三角形的内角和定理，熟练掌握内角和定理是解题的关键．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可．
【详解】解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得，
即，
整理得，
解得：，，
经检验：是原方程的增根，是原方程的根．
原方程的根是．
【点睛】本题考查的是可化为一元二次方程的分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
21. 如图，、交于点，从下面①②③中选取两个作为已知条件，另一个作为结论，构成一个命题，判断该命题真假并说明理由．①∠A=∠B，②∠1=∠2，③AO=BO．你选择的已知条件是______，结论______（填写序号）；该命题为______（填“真”或“假”）命题．

【答案】②，③；①，真（答案不唯一）
【解析】
【分析】直接选择②③作为条件，①作为结论，可判定△ACD≌△BDC，即可证明结论成立，故为真命题．或选择的已知条件是①②为条件，结论是③， 证明可得答案，或选择的已知条件是①③为条件，结论是②，证明可得答案．
【详解】解：选择的已知条件是②，③，结论是①，
该命题为真命题，理由如下：
，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：②，③；①，真
选择的已知条件是①，②，结论是③，
该命题为真命题，理由如下：
，
，
∵
∴
∴
故答案为：①，②；③，真
选择的已知条件是①，③，结论是②，
该命题为真命题，理由如下：
∵
∴
∴
∴
故答案为：①，③；②，真
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定是解答此题的关键．
22. 先化简，再求值：，其中．
下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式第一步
第二步
第三步
．第四步
（1）任务一：填空：
①以上化简步骤中，第__________步是约分得到的，约分的依据是__________；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
（2）任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并代入求值．
【答案】（1）①三，分式的基本性质；②一；添括号时，括号里面的第二项没有变号；
（2）；2
【解析】
【分析】（1）①根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案；②观察分式化简的步骤可知答案；
（2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：
①化简步骤中，第三步是约分得到的，约分的依据是：分式的基本性质；
故答案为：三，分式的基本性质；
②第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：添括号时，括号里面的第二项没有变号．
故答案为:一,添括号时，括号里面的第二项没有变号．
【小问2详解】
解：原式

．
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握约分的依据以及分式的运算法则．
23. 某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的，不小于B型芯片数量的，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？
【答案】（1）A型芯片的单价为26元，B型芯片时单价为35元；（2）购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元
【解析】
【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x-9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，再设购买总费用为W元，求出W关于a的一次函数关系式，根据函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）设B型芯片单价x元，则A型芯片单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解
元
答：A型芯片单价为26元，B型芯片时单价为35元．
（2）设A型芯片买了a条，则B型芯片买了条
根据题意得，
解得，
设购买总费用为W元，
则
∵
∴W随a的增大而减小
当时，元
答：购买A型芯片50条，B型芯片150条时，购买总费用最低，为6550元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）灵活运用一次函数的性质．
24. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．例如，①用配方法分解因式：．原式===(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2)．②利用配方法求最小值：求最小值．解：．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：______=（x-____）2．
（2）将变形为的形式，并求出的最小值．
（3）若M，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【答案】（1）16，4
（2）的最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式的特征求解．
（2）先配方，再求最小值．
（3）作差后配方比较大小．
【小问1详解】
∵x2-8x+16=（x-4）2，
故答案为：16，4．
【小问2详解】
x2-10x+2=x2-10x+25-23
=（x-5）2-23．
∵（x-5）2≥0，
∴当x=5时，原式有最小值-23．
【小问3详解】
M-N=6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a+10
=a2-6a+9+1
=（a-3）2+1．
∵（a-3）2≥0，
∴M-N＞0．
∴M＞N．
【点睛】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
25. 函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…




0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b



…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，函数图象关于直线对称；
②时，函数有最小值，最小值为；
③时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式的解集_________．
【答案】（1）2，；图见解析（2）②③；（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用函数解析式分别求出和对应的函数值；然后利用描点法画出图象即可；
（2）观察图象可知当时，随值的增大而增大；
（3）利用图象即可解决问题．
【详解】解：（1）把代入得，，
把代入得，，
，，
函数的图象如图所示：

（2）观察函数的图象，
①当时，函数图象原点对称；错误；
②时，函数有最小值，最小值为；正确；
③时，函数的值随的增大而减小，正确．
故答案为②③；
（3）由图象可知，函数与直线的交点为、、
不等式的解集为或．
【点睛】本题考查函数图象和性质，解题的关键是能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题．
26. 如图，在中，，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】（1）先证得≌，进而证得四边形ADCF是平行四边形，最后证得四边形ADCF是菱形．
（2）由有，求得三角形ABD的面积进而可得到答案．
【小问1详解】
解：∵E是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴≌（AAS），
∴，
∵D是BC的中点，
∴，
∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形ADCF是菱形．
【小问2详解】
解：由（1）可得：≌，，
∴，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、求三角形的面积；熟练掌握相关知识是解题的关键．
27. 如图，已知D是ABC的边BC上的一点，AB=CD=a，AD=b，BD=c，且满足a2+2ab＝c2+2bc，AE是ABD的中线．

（1）判断ABD的形状，并说明理由；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线．
【答案】（1）△ABD是等腰三角形，理由见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）将式子“a2＋2ab＝c2＋2bc”移项后因式分解，求得a＝c，得到△ABD的形状；
（2）取AB的中点F，连接DF，求出点D是CD的中点，可得DF∥AC，则∠ADF＝∠DAC，然后证明△ADF≌△DAE，求出∠ADF＝∠DAE，等量代换可得∠DAE＝∠DAC，即可得证AD是∠EAC的平分线．
【小问1详解】
解：△ABD是等腰三角形，
理由，∵a2＋2ab＝c2＋2bc，
∴a2－c2＋2ab－2bc＝0，
∴，
∴（a−c）（a＋c＋2b）＝0，
∵a＋c＋2b≠0，
∴a−c＝0，即a＝c，
∴△ABD是等腰三角形；
【小问2详解】
证明：如图，取AB的中点F，连接DF，

由（1）得，a＝c，
∴AB＝BD，∠FAD＝∠EDA，
∵点E是BD的中点，F是AB的中点，
∴DE＝BD，AF＝AB，
∴DE＝AF，
∵AB=CD=a，
∴BD=CD，即点D是BC的中点，
∴DF∥AC，
∴∠ADF＝∠DAC，
在△ADF和△DAE中，，
∴△ADF≌△DAE（SAS），
∴∠ADF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD是∠EAC的平分线．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是通过因式分解求出a＝c，得到△ABD是等腰三角形．
28. 数学活动课上，老师给出如下定义：如果一个矩形的其中一边是另一边的倍，那么称这个矩形为“和谐矩形”如图，在矩形中，，则矩形是“和谐矩形”是边上任意一点，连接，作的垂直平分线分别交于点与的交点为，连接和．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，在“和谐矩形”中，若，且是边上一个动点，把沿折叠．点落在点处，若恰在矩形的对称轴上，则的长为______；
（3）如图，记四边形的面积为，“和谐矩形”的面积为，且，若为常数，且，求的长．用含有的代数式表示．
【答案】（1）四边形BFEG是菱形．理由见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质及全等三角形的性质先证明四边形BFEG是平行四边形，再由FG⊥BE证明四边形BFEG是菱形；
（2）当点在经过AB、CD中点的对称轴上时，可证明是等边三角形；当点 在经过AD、BC中点的对称轴上时，可证明点E为AD边的中点，分别求出相应的AE的长即可；
（3）由（1）可知四边形BFEG是菱形，设BF=EF=x，四边形ABCD是“和谐矩形”，且AB=a，则AD=2AB=2a，由勾股定理分别求出EF、AF、BE的长，再由面积等式列方程求出FG的长即可．
【小问1详解】
解：四边形是菱形．
理由：如图1，∵矩形ABCD，
∴，
；
垂直平分，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；

，
四边形菱形．
【小问2详解】
如图，设矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，连接，
由折叠得，垂直平分， ，
垂直平分，
，

四边形是矩形，
由（1）同理可得，四边形是菱形，
；
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，且，
，
；
如图，矩形的对称轴交于点，交于点，点在上，
垂直平分，

，
，
四边形是正方形，
，
，
等于点到直线的距离，
点与点重合，
，
与重合，点与点重合，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【小问3详解】
如图，由（1）得，四边形是菱形，

设，
四边形是“和谐矩形”，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
由得，，

【点睛】此题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的特征、勾股定理、二次根式的化简、分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题综合性较强，计算较为烦琐，难度较大，属于考试压轴题