第1章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册基础练习卷(含答案)

这是一份第1章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册基础练习卷(含答案)，共30页。
【单元测试】第一章 特殊平行四边形
（夯实基础卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则∠BAD等于（       ）

A．60° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【分析】首先求出AB＝AC，然后证明△ABC和△ACD是等边三角形即可．
【详解】解：∵E是BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴∠BAC＝∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级单元测试）在下列命题中，正确的是（       ）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项正确；
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D．应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别，判断真假命题的关键是熟悉课本中的性质定理．
3．（2022·浙江绍兴·九年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4cm，BC=6cm，AE=CG=3cm，BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为6cm2，则四边形PFCG的面积为 cm2 (             )

A．7 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【分析】连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y，则△CFP在CF边上的高为4−x，△CGP在CG边上的高为6−y，然后根据S四边形AEPH＝S△AHP＋S△AEP＝6cm2求出x＋＝6，进而根据S四边形PFCG＝S△CGP＋S△CFP列式求解即可．
【详解】解：连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y，则△CFP在CF边上的高为4−x，△CGP在CG边上的高为6−y．

∵AH＝CF＝6－4＝2cm，AE＝CG＝3cm，
∴S四边形AEPH＝S△AHP＋S△AEP＝AH×x＋AE×y＝x＋＝6cm2，
∴S四边形PFCG＝S△CGP＋S△CFP
＝CF×（4−x）＋CG×（6−y）
＝4−x＋
＝4−x＋9−
＝4＋9−（x＋）
＝4＋9−6
＝7cm2．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积计算等知识点，把四边形的面积分解为三角形的面积和来求解是解此题的关键．
4．（2022·湖南湘西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【详解】∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．
5．（2022·江苏宿迁·九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（　　）

A．30 B．15 C．11 D．5.5
【答案】B
【分析】延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，根据正方形的性质可得△ABH≌△ADF（SAS），可得∠HAB=∠FAD，AH=AF，进一步可证△HAE≌△FAE（SAS），根据已知条件求出△AHE的面积，即△AEF的面积．
【详解】解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，如图所示：

在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABE=∠D=∠BAD=90°，
∴∠ABH=∠D，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴∠HAB=∠FAD，AH=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠HAB=45°，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EH=EF，
∵BE+DF=5，
∴BE+BH=5，
∴HE=5，
∵AB=6，
∴S△AHE=HE•AB=15，
∴△AEF的面积为15，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，作辅助线构△ABH≌△ADF（SAS）是解题的关键．
6．（2022·浙江金华·二模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE 的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（　　　）

A．2 B．2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】连接CE，根据线段中点的定义求出DE、AD，根据矩形的对边相等可得BC＝AD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝BC，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对边相等可得AB＝CD．
【详解】解：如图，连接CE，

∵点E是AD中点，
∴DE＝AE＝2，AD＝2AE＝2×2＝4，
∴BC＝AD＝4，
∵BE 的垂直平分线MN 恰好过点C，
∴CE＝BC＝4，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，,
∴AB＝CD＝,
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．
7．（2022·山东济宁·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则CDE的面积为（       ）

A．11 B．12 C．24 D．22
【答案】B
【分析】先根据菱形的性质求出的面积为12，再根据平行线的性质、等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等底同高求面积即可得．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
（等底同高），
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
8．（2022·山东威海·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高BH=(     )

A．4.6 B．4.8 C．5 D．5.2
【答案】B
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，
∴，
在Rt△AOB中，，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积=，
即×6×8=5•DH，
解得：DH=4.8，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．
9．（2022·山东滨州·九年级期末）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝120；④S△BEF＝；⑤BF∥DE．其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再根据△BEF是等腰三角形，求出△DGF的面积可以判断③是错误的，证明∠EBF=∠DEC，判断⑤是正确的，问题得解．
【详解】解：如图，

由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，   
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
S△DGF=•FG•DF=×4×12=24，故③错误；   
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE=×24=，故④正确．
∵EF=EC=EB，
∴∠EFB=∠EBF，
∵∠DEC=∠DEF，∠CEF=∠EFB+∠EBF，
∴∠DEC=∠EBF，
∴BF∥DE，故⑤正确；
所以①②④⑤正确，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算．
10．（2022·广东中山·九年级期末）如图，在边长为a的正方形中，E是对角线上一点，且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（       ）

A．有最大值a B．有最小值 C．是定值a D．是定值
【答案】D
【分析】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，∵四边形ABCD是正方形，先证明∠GEB=∠GBE=45°，即有，△BEC的面积，也可表示为△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，即有，则有，则问题得解．
【详解】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线BD平分∠ABC，
∴∠EBG=45°，
∵EG⊥BC，
∴∠EGB=90°，
∴∠GEB=∠GBE=45°，
∴，
∵BE=BC，
∴，
∴△BEC的面积，
∵△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，
∴，
∵BE=BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=a，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、三角形的面积等知识，根据面积得到是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）
11．（2022·全国·九年级单元测试）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，已知AB=6cm，BC=8cm，则四边形ODEC的周长为______cm．

【答案】20
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，求出OC=OD，根据菱形的判定得出四边形OCED是菱形，根据菱形的性质得出OD=OC=DE=CE，根据勾股定理求出AC，再求出OC即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴∠ABC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=6cm，OA=OC= AC，OB=OD=BD，AC=BD，
∴OC=OD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，
∴OD=OC=DE=CE，
由勾股定理得：AC==10（cm），
∴AO=OC=5cm，
∴OC=CE=DE=OD=5cm，
即四边形ODEC的周长=5+5+5+5+5=20（cm），
故答案为：20．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定定理是解此题的关键．
12．（2022·江苏南通·九年级期中）如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长等于________．

【答案】6
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=OB=AB=3，利用矩形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=OB=AB=3，
∴AC=2OA=6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
13．（2022·江苏徐州·九年级期中）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若cm，cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t（s），则当______时，四边形PBQD是菱形．

【答案】s##1.75s
【分析】先根据矩形性质得ADBC，则∠PDB＝∠QBD，于是可根据“ASA”证明△POD≌△QOB，得到OP＝OQ，于是可判断四边形PBQD为平行四边形，AP＝t，PD＝AD﹣AP＝8﹣t，根据菱形的判定方法，当PB＝PD时，四边形PBQD是菱形，则PB＝8﹣t，然后在Rt△ABP中利用勾股定理得到62+t2＝（8﹣t）2，然后解方程求出t即可．
【详解】解：∵O为BD的中点，
∴OD＝OB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ADBC，∠A＝90°，
∴∠PDB＝∠QBD，
在△POD和△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ，
∵OD＝OB，
∴四边形PBQD为平行四边形，
由AP＝t，PD＝AD﹣AP＝8﹣t，
∴当PB＝PD时，四边形PBQD是菱形，
则PB＝8﹣t，
在Rt△ABP中，∵AB2+AP2＝PB2，
∴62+t2＝（8﹣t）2，
解得t，
即当t为s时，四边形PBQD是菱形．
故答案为：s
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平形四边形的判定等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键．
14．（2022·河北承德·九年级期末）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，比大48°．则的度数为______．

【答案】62°
【详解】解：设=x
如图：由折叠的性质可得：∠EAF==x
∵四边形是正方形
∴∠BAF=90°
∴∠BAD+2x=90°，即∠BAD=90°-2x
∵∠BAD-x=48°
∴90°-2x-x=48°，解得x=14°
∴∠BAD=90°-2×14°=62°．
故答案为：62°．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质和正方形的性质，理解折叠的性质是解答本题的关键．
15．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若，则CE的长为__________．

【答案】
【分析】连接，先根据正方形的性质、旋转的性质可得，从而可得点在同一条直线上，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，

四边形是边长为5的正方形，
，
将绕点顺时针旋转到的位置，
旋转后，点的对应点是点，点的对应点是点，
由旋转的性质得：，
，
垂直平分，
，
，
，
设，则，
又，
点在同一条直线上，
，
在中，，即，
解得，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形和旋转的性质是解题关键．
16．（2022·广东·普宁市第二中学九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去记正方形ABCD的边为，按上述方法所作的正方形的边长依次为、、、，根据以上规律写出的表达式______．

【答案】 
【分析】根据正方形对角线等于边长的倍得出规律即可．
【详解】由题意得，a1=1，
a2=a1=，
a3=a2=（）2，
a4=a3=（）3，
…，
an=an-1=（）n-1．
=[（）n-1]2=
故答案为
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，熟记正方形对角线等于边长的倍是解题的关键，要注意的指数的变化规律．
三、解答题（本题共8个小题，共72分；第17-18每小题6分，第19-20每小题8分，第21-22每小题10分，第23-24每小题12分）
17．（2022·全国·九年级单元测试）在平行四边形ABCD中，点P是AB上一点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于点E，连接BE.

（1）如图1，若∠EBC=∠EPA，EC平分∠DEB，证明：四边形ABCD为菱形．
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O，当P是AB的中点时，请直接写出与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）证明可得 结合平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的两条对角线把平行四边形的面积四等分，再结合三角形的中线的性质可得答案．
【详解】证明：（1） 平行四边形ABCD，




平分




平行四边形ABCD是菱形．
（2） 平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，

为的中点，

与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）有：

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
18．（2022·山东济宁·九年级期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．

(1)求证：EDC≌HFE；
(2)连接BE，CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
②若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②

【分析】（1）由旋转和矩形的性质可知，，．再根据平行线的性质得出，然后利用定理即可得证；
（2）①由矩形性质可知，再根据全等三角形的性质可得．由旋转得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的性质和旋转的性质可得，即证明为等边三角形，得出，从而求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得．
（1）
证明：∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，，
∴．
在和中，
∴．
（2）
解：①四边形是平行四边形，证明如下：
如图，连接，

∵四边形为矩形，
∴，即．
∵，
∴．
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②∵四边形是菱形，长为2，
∴，
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点．熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．
19．（2022·全国·九年级单元测试）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在E处，若，，则：


(1)试判断折叠后重叠部分三角形ACF的形状，并证明；
(2)求重叠部分三角形ACF的面积．
【答案】(1)△AFC是等腰三角形
(2)

【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB，再由图形折叠的性质可得到∠ACB=∠ACE，继而可得出∠DAC=∠ACE，这即可判断出后重叠部分三角形的形状；
（2）设AF长为x，则CF=x，FD=9-x，在直角三角形CDF中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形面积公式进行计算求解．
【详解】（1）解：△AFC是等腰三角形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，由图形折叠的性质可知：∠ACB=∠ACE，∴∠DAC=∠ACE．∴△AFC是等腰三角形；
（2）设AF=CF=x，则FD=9-x，在Rt△CDF中，（9-x）2+32=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴S△AFC=AF×CD=×5×3=．故重叠部分面积为．
【点睛】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AF的长是解答此题的关键．
20．（2022·山东烟台·九年级期中）如图：在中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．

(1)四边形ABEF是什么四边形？请说明理由；
(2)若四边形ABEF的周长为40，，求AE的长和的度数．
【答案】(1)四边形ABEF是菱形，理由见解析
(2)10，120°
【分析】（1）根据作图与已知条件确定出四边形ABEF的形状即可；
（2）先求出BE的长，利用勾股定理求出AO的长，继而求出AE的长，得到三角形BEF为等边三角形，再利用平行四边形的性质即可求出所求．
【详解】解：（1）四边形ABEF是菱形．
理由：从尺规作图中得出AB＝AF，∠BAE＝∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA,
∴∠BAE＝∠BEA,
∴AB＝BE.
∵AB＝AF,
∴BE＝AF.
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形.
由于AB＝BE,
∴四边形ABEF是菱形．
（2）设BF与AE交于点O.
∵菱形ABEF的周长为40，
∴AF＝AB＝10.
又∵BF＝10，
∴AF＝AB＝BF.
∴∠BAF＝60°.
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OF＝BF＝5，AE＝2AO，AF∥BC.
∴AO＝=，
∴AE＝2AO＝10.
∵AF∥BC，
∴∠ABC+∠BAF=180°,
∴∠ABC＝180°－∠BAF＝120°.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，菱形性质和判定，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
21．（2022·河南周口·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点（不包括两个端点），Q为CD边上一点，若∠PBC＝∠PQD．

(1)求证：PB＝PQ；
(2)试判断运动过程中PB与PQ的位置关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)PB⊥PQ，理由见解析
【分析】（1）过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由角平分线的性质得出PE＝PF，证明△PEB≌△PFQ（AAS），由全等三角形的性质得出PB＝PQ；
（2）由全等三角形的性质得出∠BPQ＝90°，则可得出结论．
【详解】（1）证明：过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF，
又∵∠PEB＝∠PFQ＝90°，∠PBE＝∠PQF，
∴△PEB≌△PFQ（AAS），
∴PB＝PQ．
（2）
解：PB⊥PQ，理由如下：
∵∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴∠EPF＝90°，
∵△PEB≌△PFQ，
∴∠BPE＝∠QPF，
∴∠EPF＝∠BPQ＝90°，
∴PB⊥PQ．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△PEB≌△PFQ．
22．（2022·全国·九年级单元测试）明遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°，AB＝CD，AD＝2，BC＝4，求四边形ABCD的面积．


(1)经过思考小明想到如下方法：
以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，DCME，则四边形ADEF是________．（填一种特殊的平行四边形）
∴S四边形ABCD＝________．
(2)解决问题：如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠CDA＝160°，AB＝CD，AD＝6，BC＝12，则四边形ABCD的面积为多少？
【答案】(1)正方形，3
(2)S四边形ABCD＝

【分析】（1）由旋转的性质得，证明四边形ADEF是菱形，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD、OF，根据旋转的性质得到，，可得出，则，根据正方形的判定条件得到ADEF是正方形，根据求解即可；
（2）以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心按顺时针方向旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，则AD＝AE＝ED，根据S四边形ABCD＝（S△BCM－S△ADE）计算即可；
【详解】(1)如图，设正方形BCMN的中心为点O，连接OA、OD、OF，


∵以BC为边作正方形BCMN，将四边形ABCD绕着正方形BCMN的中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，而分别得到四边形FNBA，EMNF，DCME，
∴，，，
∴四边形ADEF是菱形，，
∴，
∴菱形ADEF是正方形，
∴；
故答案是：正方形；3；
(2)解：如图，以BC为边作等边三角形BCM，将四边形ABCD绕着等边三角形BCM的中心按顺时针方向旋转120°，240°，而分别得到四边形MEAB，EMCD，
则AD＝AE＝ED，
∴△ADE是等边三角形，
∴S四边形ABCD＝（S△BCM－S△ADE），
∵AD＝6，BC＝12，∴易得△BCM和△ADE的高分别为6和3．
∴S△BCM＝×12×6＝36，
S△ADE＝×6×3＝9．
∴S四边形ABCD＝×（36－9）
＝9．

【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，准确计算是解题的关键．
23．（2022·广西南宁·九年级期末）如图，正方形的边长为，分别是射线，上的点不与点重合，且，为的中点．为线段上一点，，连接．

(1)求证：；
(2)如图：当时，求的长；
(3)如图：在的条件下，是的中点，连接，求的面积．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】利用证明，即得；
连接，则是的垂直平分线，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题；
由是的中位线，得，由得，，代入三角形面积公式即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）
解：连接，

为的中点，，
是的垂直平分线，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
；
（3）
解：为的中点，为的中点，
是的中位线，
，
由得，，
的面积为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．
24．（2022·全国·九年级期末）综合与实践
问题情境：
如图，矩形纸片的边，，沿对角线剪开，得到两个三角形纸片，分别为和．固定不动，把纸片平移得到，设平移的距离是．

操作探究：
(1)如图2，把纸片沿射线平移得到，当四边形是正方形时，直接写出的值；
拓展探究：
(2)如图3，把纸片沿射线平移得到．
①求证：四边形是平行四边形；
②当四边形是菱形时，求的值，此时连接，直接写出的长．
【答案】(1)2
(2)①见解析；②2.8，8
【分析】（1）根据平移的性质和矩形的性质可得四边形ABC'D'是矩形，则当AD′=AB时，四边形ABC'D'是正方形，即可得出m的值；
（2）①根据矩形的性质得AB=CD，AB∥CD，则∠DCA=∠BAC，由平移的性质可得∠D′C′A′=∠DCA=∠BAC，C′D′=CD=AB，则AB∥C′D′，即可得四边形ABC'D'是平行四边形；
②连接，在原矩形中先计算出AC的长度，然后在菱形中根据勾股定理计算出，从而计算出m的值，连接A'B，根据菱形的性质得AB=AD′，∠ABC'=∠AD′C，∠BAC′=∠D′AC′，则∠BAA′=∠D′AA′，证明△BAA′≌△D′AA′（SAS），根据全等三角形的性质可得A'B=A′D′，根据平移的性质和矩形的性质即得A′D′=AD=BC=8cm．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AD=BC=8cm，
∵把△ADC纸片沿射线CB平移得到△A'D'C'，
∴∠A′D′C′=∠ADC=90°，A′D′=AD=8cm，
∴四边形ABC'D'是矩形，
则当AD′=AB=6cm时，四边形ABC'D'是正方形，
∵平移的距离是mcm（m＜10）．
∴AD′=A′D′-A′A=（8-m）cm，
∴8-m=6，解得m=2；
（2）①求证：∵矩形纸片的边，，
∴，，
∵把纸片平移得到，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
②如图，连接交于点，连接,

∵矩形纸片ABCD的边，，，
∴在Rt△ABC 中，由勾股定理，得,
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴m的值是2.8，
∵四边形ABC'D'是菱形，
∴AB=AD′，∠ABC'=∠AD′C，∠BAC′=∠D′AC′，
∴∠BAA′=∠D′AA′，
∵AA′=AA′，
∴△BAA′≌△D′AA′（SAS），
∴A'B=A′D′，
∵纸片沿射线CA平移得到△A'D'C'．
∴A′D′=AD=BC=8cm．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，有一定难度．熟练掌握平移的性质，运用数形结合思想是解题的关键．