统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练54曲线与方程理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练54曲线与方程理，共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．已知平面内动点P满足|PA|＋|PB|＝4，其中|AB|＝4，则点P点轨迹是( )
A．直线 B．线段
C．圆 D．椭圆
2．已知点(0，0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
3．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足 eq \(PM,\s\up6(→))· eq \(PN,\s\up6(→))＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
4．[2023·黑龙江一模]在平面直角坐标系中，双曲线C过点P(1，1)，且其两条渐近线的方程分别为2x＋y＝0和2x－y＝0，则双曲线C的标准方程为( )
A. eq \f(x2,3)－ eq \f(4y2,3)＝1
B． eq \f(4x2,3)－ eq \f(y2,3)＝1
C． eq \f(4x2,3)－ eq \f(y2,3)＝1或 eq \f(x2,3)－ eq \f(4y2,3)＝1
D． eq \f(4y2,3)－ eq \f(x2,3)＝1
5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
6．设P为双曲线 eq \f(x2,4)－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是( )
A． eq \f(x2,8)－ eq \f(y2,2)＝1 B．x2－4y2＝1
C． eq \f(x2,4)－y2＝1 D． eq \f(x2,2)－2y2＝1
7．设A，B为椭圆 eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右顶点，O为坐标原点，若|PO|是|PA|和|PB|的等比中项，则点P的轨迹方程为( )
A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2
C．y2－x2＝1 D．y2－x2＝2
8．[2023·广东省茂名五校联考]已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是( )
A.y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
9．[2023·陕西省宝鸡三模]已知点A(－1，0)、B(1，0)，若过A、B 两点的动抛物线的准线始终与圆x2＋y2＝8相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是( )
A．椭圆 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
二、填空题
10．已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
11．到点O(0，0)和A(1，0)的距离的平方和为1的轨迹方程为________．
12．设F是抛物线y＝ eq \f(1,4)x2的焦点，P是抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．
[能力提升]
13．[2023·云南省昆明“三诊一模”]已知椭圆M： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,2)＝1(a＞ eq \r(2))，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若|AF|＝2|BF|，则M的方程为( )
A. eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1 B． eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1
C． eq \f(x2,5)＋ eq \f(y2,2)＝1 D． eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1
14．[2023·陕西省宝鸡二模]椭圆 eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,2)＝1中以点M(2，1)为中点的弦所在直线方程为( )
A.4x＋9y－17＝0
B．4x－9y－17＝0
C． eq \r(7)x＋3y－2 eq \r(7)－3＝0
D． eq \r(7)x－3y－2 eq \r(7)＋3＝0
15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋t( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是______________．
16．曲线y＝ eq \f(1,k)x－1与y＝kx＋1(k为参数)的交点的轨迹方程为______________．
专练54 曲线与方程
1．B ∵|PA|＋|PB|＝4＝|AB|，∴点P的轨迹是线段AB.
2．A 设P(x，y)，∵|PA|＝3|PO|，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝9(x2＋y2)即：8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
3．A eq \(PM,\s\up6(→))· eq \(PN,\s\up6(→))＝0，∴PM⊥PN，∴点P的轨迹是以MN为直径的圆．
4．B 若双曲线焦点在x轴上，则可设其标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
可列 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,b2)＝1,\f(b,a)＝2))，解得a2＝ eq \f(3,4)，b2＝3，其标准方程为 eq \f(4x2,3)－ eq \f(y2,3)＝1.
若双曲线焦点在y轴上，则可设其标准方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)－\f(1,b2)＝1,\f(a,b)＝2))，此时无解，综上，双曲线方程为 eq \f(4x2,3)－ eq \f(y2,3)＝1.
5．D 由题意得P到直线x＝－2的距离与它到(2，0)的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．
6．B 设M(x，y)，P(x1，y1)，∵M为OP的中点，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝x1，,2y＝y1，))又(x1，y1)在 eq \f(x2,4)－y2＝1上，
∴ eq \f(4x2,4)－4y2＝1，即x2－4y2＝1即为所求．
7．A 设P(x，y)，又A(－ eq \r(2)，0)，B( eq \r(2)，0)，且|PO|2＝|PA|·|PB|，
∴x2＋y2＝ eq \r(（x＋\r(2)）2＋y2)· eq \r(（x－\r(2)）2＋y2)，化简得x2－y2＝1，
∴点P的轨迹方程为x2－y2＝1.
8．B 因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1，1)，半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，又AM与圆相切，且|AM|＝2，则|AC|＝ eq \r(|MC|2＋|AM|2)＝ eq \r(5)，设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
9．A 由题设知，抛物线焦点F到定点A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，等于AB的中点O到准线的距离的二倍，由抛物线准线与圆相切知和为2r＝4 eq \r(2)，所以|FA|＋|FB|＝4 eq \r(2)＞|AB|＝2，所以抛物线焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．
10．(1，0)
解析：由题意得a>0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方，则A(1，2 eq \r(a))，B(1，－2 eq \r(a))，故|AB|＝4 eq \r(a)＝4，得a＝1，故抛物线方程为y2＝4x，其焦点坐标为(1，0).
11．x2＋y2－x＝0
解析：设P(x，y)为所求曲线上一点，由题意得x2＋y2＋(x－1)2＋y2＝1.
整理得x2＋y2－x＝0.
12．x2＝2y－1
解析：由题意得F(0，1)，设PF的中点为M(x，y)，P(x1，y1)，
由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2x，,1＋y1＝2y，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2x，,y1＝2y－1，))又(x1，y1)在y＝ eq \f(1,4)x2上，
∴2y－1＝ eq \f(1,4)×(2x)2＝x2，即x2＝2y－1.
13．A 由于坐标原点O在以AF为直径的圆上，故可设A为上顶点，F为右焦点，F1为左焦点．则|AF|＝|AF1|＝a，|BF|＝ eq \f(1,2)a，|BF1|＝ eq \f(3,2)a，cs ∠F1AF＝cs ∠F1AB，由余弦定理得 eq \f(a2＋a2－4c2,2·a·a)＝ eq \f(a2＋（\f(3,2)a）2－（\f(3,2)a）2,2·a·\f(3,2)a)，a2＝3c2，结合b2＝2，a2＝b2＋c2解得a＝ eq \r(3)，c＝1.所以M的方程为 eq \f(x2,3)＋ eq \f(y2,2)＝1.
14．A 设点M(2，1)为中点的弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2)＝1,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,2)＝1))，两式相减得 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,2)＝0，
因为M(2，1)为中点，所以 eq \f(x1＋x2,2)＝2， eq \f(y1＋y2,2)＝1，
所以斜率k＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(2（x1＋x2）,9（y1＋y2）)＝－ eq \f(4,9)，
所以所求直线方程为y－1＝－ eq \f(4,9)(x－2)，即4x＋9y－17＝0.
15．y＝2x－2
解析：设C(x，y)，又 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋t( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝2t，))消去参数t，得y＝2x－2.
16．y2－x2＝1
解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,k)x－1，,y＝kx＋1，))得(y＋1)(y－1)＝ eq \f(1,k)x·kx＝x2，
整理得y2－x2＝1.