统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练35二元一次不等式组与简单的线性规划问题理

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[基础强化]
一、选择题
1．在3x＋2y＜6表示的平面区域内的一个点是( )
A．(3，0) B．(1，3)
C．(0，3) D．(0，0)
2．不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y＋3≥0，,0≤x≤3))所表示的平面区域的面积等于( )
A．3 B．9
C．18 D．36
3．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为( )
A．10 B．9
C．3 D．无数个
4．已知点P(1，－2)，Q(a，2)，若直线2x＋y－4＝0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
5．[2023·江西省临川第一中学模拟]若实数x，y满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋2≥0,y≥|x－1|))，则z＝2x＋y的值不可能为( )
A．2 B．4
C．9 D．12
6．[2023·陕西省西安中学二模]若x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋1≥0,x－3y－3≤0))，且z＝x＋2y，则( )
A．z有最小值也有最大值
B．z无最小值也无最大值
C．z有最小值无最大值
D．z有最大值无最小值
7．若实数x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y＋4≥0，,3x－y－4≤0，,x＋y≥0，))则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1 B．1
C．10 D．12
8．若变量x，y满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))则x2＋y2的最大值是( )
A．4 B．9
C．10 D．12
9．若x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2≤4，,y≥－x，,y≤x＋2，))则t＝ eq \f(y－2,x－3)的取值范围是( )
A．[0， eq \f(3,2)] B．[0， eq \f(12,5)]
C．(0， eq \f(12,5)] D．[－ eq \f(12,5)，0]
二、填空题
10．若x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,2x－y≥0，,x≤1，))则z＝3x＋2y的最大值为________．
11．[2023·全国甲卷(理)]若x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y≤3，,－2x＋3y≤3，,x＋y≥1，))则z＝3x＋2y的最大值为________．
12．[2023·江西赣州二模]已知实数x，y满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋3≥0,x＋y－4≥0,2x－y－7≤0))，若目标函数z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为________．
[能力提升]
13．[2023·浙江效实中学模拟]已知点P(x，y)满足不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，))点A(2，1)，O为坐标原点，则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－ eq \f(8,3)， eq \f(8,3)] B．[－ eq \f(8,3)，4]
C．[ eq \f(8,3)，4] D．(－∞，－ eq \f(8,3)]
14．[2023·四川宜宾市三模]已知点P的坐标(x，y)满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－4≤0,x－y≤0,1－x≤0))，过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝16相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )
A．2 B． eq \r(6)
C．4 D．2 eq \r(6)
15．[2023·全国乙卷(理)]若x，y满足约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y≤－1,x＋2y≤9,3x＋y≥7))，则z＝2x－y的最大值为________.
专练35 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．D
2.
C 在平面直角坐标系中画出可行域如图的阴影部分所示，该阴影部分的形状为等腰梯形，其面积S＝ eq \f(1,2)×(3＋9)×3＝18.
3.A 当x＝0时，y＝0，1，2，3，共4个点；
当x＝1时，y＝0，1，2，共3个点；
当x＝2时，y＝0，1，共2个点；
当x＝3时，y＝0，共1个点．
∴共有4＋3＋2＋1＝10个点．
4．A 直线2x＋y－4＝0与线段PQ有公共点，说明点P，Q不在直线2x＋y－4＝0的同一侧，∴(2－2－4)(2a＋2－4)≤0，解得a≥1，实数a的取值范围是[1，＋∞)，故选A.
5．D 作出可行域，如图：
∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋2＝0,y＝－x＋1))，解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝1))， 即：A(0，1)，
又∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋2＝0,y＝x－1))，解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝3))，即：B(4，3)，
对于目标函数z＝2x＋y可化为：y＝－2x＋z，
∴z的最小值在A处取得，最大值在B处取得，此时：
zmin＝2×0＋1＝1，zmax＝2×4＋3＝11即：z∈[1，11]，
∴z≠12，其余的三个值都可能取到．
6．C
由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
设z＝x＋2y，则y＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(z,2)，
当直线y＝－ eq \f(1,2)x＋ eq \f(z,2)过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，
无最大值．
7．C 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点(2，2)时，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故选C.
8．C
不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由x2＋y2是点(x，y)到原点距离的平方，故只需求出三条直线的交点A(3，－1)，B(0，2)，C(0，－3)到原点距离的平方，然后再进行比较．经计算点A(3，－1)是最优解，x2＋y2的最大值是10.故选C.
9．B
作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为目标函数t＝ eq \f(y－2,x－3)表示区域内的点与点M(3，2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点M的连线与圆相切时斜率分别取最大值或最小值．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，则有 eq \f(|3k－2|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝ eq \f(12,5)或k＝0，所以t＝ eq \f(y－2,x－3)的范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5)))，故选B.
10．7
解析：如图所示，x，y满足的可行域为△AOB及其内部．
由目标函数z＝3x＋2y得y＝－ eq \f(3,2)x＋ eq \f(z,2).
当直线y＝－ eq \f(3,2)x＋ eq \f(z,2)过点A(1，2)时，z取最大值，最大值为7.
11．15
解析：
根据不等式组作出可行域如图所示，作出直线3x＋2y＝0并平移，由图可知，当平移后的直线经过点A时，z取得最大值．根据 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＝3，,－2x＋3y＝3，))得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝3，))所以zmax＝3×3＋2×3＝15.
12．1
解析：不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋3≥0,x＋y－4≥0,2x－y－7≤0))表示的平面区域如图所示．
由z＝y－ax得y＝ax＋z；
当a＝0时，直线化为y＝z，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；
当a＜0时，直线y＝ax＋z截距取得最大值，此时最优解只有一个C点，不满足条件；
当a＞0时，直线y＝ax＋z截距取得最大值时，z取得最大值，此时满足直线y＝ax＋z与AC平行，由直线AC的斜率k＝1，解得a＝1；
综上，满足条件的a＝1.
13．B P(x，y)，A(2，1)，所以 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))＝2x＋y，设z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0))表示的平面区域如图所示，
当直线y＝－2x＋z过C(2，0)时，z＝2x＋y取得最大值，zmax＝4；
当直线y＝－2x＋z过E(－ eq \f(2,3)，－ eq \f(4,3))时，z＝2x＋y取得最小值，zmin＝－ eq \f(8,3)；则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OA,\s\up6(→))的取值范围是[－ eq \f(8,3)，4].
14．D
根据题意，要使|AB|最小，只需圆C：x2＋y2＝16的圆心(0，0)到直线l的距离最大即可，作出不等式组对应的平面区域如图所示：
由图像可知，当点P是直线x＝1和x＋y＝4的交点时，|OP|最大，即当|OP|为圆心(0，0)到过点P的直线的距离，
此时作出直线与圆相交的弦最短，解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,x＋y＝4))，得P(1，3)，
所以圆心到点P的距离为d＝|OP|＝ eq \r(12＋32)＝ eq \r(10)，
所以|AB|＝2 eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(16－10)＝2 eq \r(6).
15．8
解析：如图，作出可行域，为一封闭三角形区域(包含边界)，求出三条边界的交点，分别为A(1，4)，B(5，2)，C(2，1).作出直线y＝2x并平移，当直线y＝2x－z过点B时截距－z取得最小值，即z取得最大值，所以zmax＝8.
16．[2，＋∞)
解析：令z＝2x＋y，画出约束条件 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,x＋y－3≥0，,y－4≤0))的可行域，由可行域知目标函数过点B时取最小值，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3＝0，,y＝4，))可得x＝－1，y＝4，可得B(－1，4)，z的最小值为2×(－1)＋4＝2.所以若存在x，y，使2x＋y≤a成立，只需使a≥(2x＋y)min，所以a≥2.