备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）（解析版）

这是一份备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）7-2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）（解析版），共15页。试卷主要包含了线线垂直，线面垂直，面面垂直等内容，欢迎下载使用。
7.2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版）考点一 线线垂直【例1】（2022·河南）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，，平面平面ABCD． (1)证明：；(2)若，E为AD的中点，求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明:在中，由余弦定理，得，可得，则，即．又因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面PAC,又因为平面PAC，所以．(2)由（1）可知，而E为AD的中点，故．又，所以．又，故平面PEC．又平面PEC，所以．又，平面ABCD，故平面ABCD．因为平面ABCD，所以．因为，故，在中，，故,故．【一隅三反】1．（2022·北京）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.(1)求证：；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点【解析】(1)因为平面底面，平面底面，平面，所以平面.又因为平面，所以.(2)解：存在，点为棱的中点.连接，交于点，连接，如图所示：因为底面为平行四边形，所以点为的中点.在中，因为点分别为的中点.所以，且.又因为平面平面，所以平面.2．（2022·吉林·东北师大附中）如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)取中点，连，因为，，，，所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，则，， 因为面面，面面，面，所以平面，又平面，所以.(2)取中点，连，则，且，因为平面平面，面面，面，所以平面，又面积为，三棱锥的体积为.3．（2022·四川成都）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，在底面内的射影分别为，.求证：【答案】证明见解析【解析】因为在底面内的射影为，所以面面，又因为，面面，面所以面，又因面因此，同理，又,面,面所以面，又面,所以，连接，易得，，又，所以所以故，又,面,面因此面，又面即；考点二 线面垂直【例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.求证：平面；【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，取中点，连接，是正三角形，为中点， 又平面平面，且平面平面，平面，又平面，，，且，平面，平面；.【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面.证明：平面；【答案】证明见解析.【解析】连接BD交AC于O，如图，四边形为菱形，所以，平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，，故，又平面，所以平面.2．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.【答案】证明见解析【解析】证明：图1中，在中，所以.所以也是直角三角形，，在图2中，所以平面.3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AF，由题意知为等腰三角形，而为的中点，所以．又因为平面平面，且，平面平面，平面，所以平面． 而平面，所以．而，平面，所以平面．连接，则，， 而，，所以且，所以是平行四边形，因此，故平面．考点三 面面垂直【例】（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点.(1)证明：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：取EC的中点G，连接NG，BG，因为点分别为线段的中点.所以，又，所以，所以四边形MBGN是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；(2)证明：因为等腰梯形中，，所以，所以在中满足，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面.【一隅三反】1．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，即是与平面所成的角，有，解得，即有，则，即，而，则有平面，又平面，于是得，因，平面，则平面，平面，所以平面平面.2．（2022·四川成都）如图，三棱锥中，等边三角形的重心为O，，，，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.(1)求证：平面DEF；(2)求证：平面平面PBC.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接PE，因为为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且，因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以，所以，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF(2)连接AE、BD，如图所示因为为等边三角形，E为BC中点，所以，因为，，E为BC中点，所以，因为平面PAE，所以平面PAE，因为平面PAE，所以，在中，，，，所以，即，所以，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以，在中，，，所以，即，因为平面PBC，所以平面PBC，因为平面DEF，所以平面平面PBC3．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱中，为中点．(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，因为为中点，所以MF是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，所以，所以，所以，即，由三线合一可得：，又因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以因为所以平面，因为平面，所以平面平面4．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)若平面平面，求的大小.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【解析】(1)因为平面，平面，所以.又因为底面为菱形，所以.又因为，所以平面.(2)取为的中点，联结.在中，分别为的中点，所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面.所以平面.(3)因为平面，平面，所以.因为平面平面，且平面平面平面，所以平面.所以.因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以则是等边三角形.所以.