沪科版七年级上册4.6 用尺规作线段与角导学案

4.6　用尺规作线段与角

1．尺规作图的概念

几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图．

(1)尺规作图与画图虽然都是指按要求画出符合条件的正确图形，但两者还是有本质上的区别．尺规作图是画图的一种特殊的表现形式，它要求只能限定用直尺和圆规这两种工具完成画图过程，而画图一般不限定工具．既可用直尺和圆规，也可以用其他的辅助工具，比如量角器、三角板、刻度尺等．

(2)直尺的功能：在两点间连接一条线段；将线段向两边延长．圆规的功能：以任意一点为圆心，适当长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，适当长为半径画一段弧．

【例1】 下列说法中，正确的是(　　)．

A．延长射线OA      B．作直线AB的延长线

C．延长线段AB到C，使AC＝AB  D．延长线段AB到C，使AC＝2AB

解析：A项：射线不可以延长，只能反向延长；B项：直线没有延长线和反向延长线；C项：如果延长AB到C，则AC＞AB，不可能AC＝AB.

答案：D

2．作一条线段等于已知线段

(1)已知：线段a

求作：线段AB，使AB＝a.

作法：

①作一条直线l；

②在l上任取一点A，以点A为圆心，以线段a的长度为半径画弧，交直线l于点B.

线段AB就是所求作的线段．

(2)常用的基本作图语言有：①过点×和点×作射线××(或作直线××)；②在射线××上截取××＝××；③在射线上顺次截取××＝××＝××；④以点×为圆心，××长为半径作弧，交××于点×.

谈重点  作图的要求

作图题的作图要求：(1)要根据问题把已知条件具体化；(2)要写明作什么图形，满足什么要求；(3)在作法中要使用规范语句，按照作图的顺序逐一写明；(4)最后要指出结论．

【例2】 已知线段a，如图：

求作：线段AB，使AB＝3a.

分析：先作一条直线，在这条直线上连续作出三条线段都等于a即可．

作法：(1)作一条直线l；

(2)在l上任取一点A，以点A为圆心，以线段a的长度为半径作弧，交直线l于C；

(3)以点C为圆心，以线段a的长度为半径作弧，在同一方向上交直线l于D；

(4)以点D为圆心，以线段a的长度为半径作弧，在同一方向上交直线l于B.

所以线段AB就是所求的线段．

释疑点  截取线段的方法

沿着某一个方向依次截取几次，结果所得到的线段就是原线段的几倍．

3．作一个角等于已知角

已知：∠AOB.如图所示：

求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.

作法：(1)在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q；

(2)作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；

(3)以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第(2)步中所画弧于点F；

(4)作射线EF.

则∠DEF即为所求作的角．

【例3】 如图，已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB.

作法：(1)以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D；

(2)作射线O′A′，以O′为圆心，以OC长为半径画弧交O′C′于点C′；

(3)以C′为圆心，以CD的长为半径画弧交前弧于E点，接着以E为圆心，同样的长为半径画弧交前面弧于点B′；

(4)过点B′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角．如图．

辨误区  作留作图痕迹

作图痕迹是尺规作图必不可少的部分，不可擦去．

4．作线段的和、差

“作一条线段等于已知线段”是基本作图之一，它是作线段和、差的依据，因此我们要对“作一条线段等于已知线段”的过程和操作方法非常熟练．作线段的和时，是沿着某一点按照一个方向依次截取每一条线段，这条直线上的始点与终点组成的线段就是所作的几条线段的和；作线段的差时，先作被减线段，然后以这条线段的一个端点为端点，在这条线段内部作出要减的线段，其余的两个端点组成的线段就是要求作的线段．

【例4】 如图，已知线段a，b，c，

用圆规和直尺画线段，使它等于2a＋b－c.

分析：先作2a＋b，然后再减去c.

作法：(1)作射线AF；

(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a，CD＝b；

(3)在线段AD上截取DE＝c.

所以线段AE即为所求．

5.作角的和、差

“作一个角等于已知角”是基本作图之一，它是作角和、差的依据，因此我们要对“作一个角等于已知角”的过程和操作方法非常熟练．作角的和时，是沿着角的一边按照一个方向依次作出每一个角，这个角的始边与终边组成的角就是所作的几个角的和；作角的差时，先作被减的角，然后以这个角的一条边为一边，在这个角的内部作出要减的角，其余的两条边所组成的角就是要求作的角．

【例5】 如图，已知∠α和∠β(∠α＞∠β)，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.

作法：(1)作射线OA；

(2)以射线OA为一边作∠AOC＝∠α；

(3)以O为顶点，以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠BOC＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．

6．“作一个角等于已知角”的应用

在小学时，我们知道三角形的三个内角之和为180°，现在我们学习了“作一个角等于已知角”，我们可以利用“作一个角等于已知角”作出一个三角形的三个内角的和，利用图形来说明这一结论．

析规律  尺规作图步骤

用尺规作图来说明问题时，根据要解决的问题先写出已知、求作，再作图并写出作法．作图要力求准确．

作复杂的图形时，一般先根据题意画出草图，再写出已知、求作和作法．

【例6】 任意作一个三角形，用尺规作图作出它的三个内角的和，并用量角器度量出三个内角的和．

解：已知如图所示，任意△ABC，求作∠MON＝∠A＋∠B＋∠C，并测量∠MON的大小．

作法：(1)作∠MOD＝∠A；

(2)以OD为一边，在∠MOD的外部作∠DOE＝∠B；

(3)以OE为一边，在∠MOE的外部作∠EON＝∠C；

则∠MON为所求作的角．

用量角器度量出∠A＋∠B＋∠C＝∠MON＝180°.