初中数学中考复习：33四边形综合复习(含答案)

中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1．下列说法中，正确的是(     )．
　　A．等腰梯形的对角线互相垂直 　　　B．菱形的对角线相等
　　C．矩形的对角线互相垂直　　　　　 D．正方形的对角线互相垂直且相等

2．如图，在中，于且是一元二次方程x2+x-2=0
　 的根，则的周长为（    ）.
　　A． 4+　　　B．4+ 　　　C．8+ 　　　　D．2+
　　　　　　　　　　　　　　　　　

3.如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角
　去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（    ）.
　　A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　 D．
　　　　　　　

4.（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）.

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

5.分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有(    ).
A.①②③　　　 B.②③④ 　　　C.①②④ 　　　D.①②③④都可以

6. （2012•通辽）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为（     ）．

　A. 15°  B. 20°  C. 25°  D. 30°
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　第6题 　　　

;　　　　　　

二、填空题

7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度.

8. 矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为_________平方单位．

9.（2012•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为          ．

10.如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，
　以正方形的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作
　正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________________.

11.如图，若△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和的最大值为________.

12.如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是________________.

三、解答题

13. 如图，过正方形ABCD的顶点作，且作，又．
　　求证：．

14. (2012•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

15.（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME．

16（2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．

（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
 

【答案与解析】

一．选择题

1．【答案】D．

2．【答案】B.

【解析】解方程x2+x-2=0得：x1=-2，x2=1，
∵AE=EB=EC=a，a是一元二次方程x2+x-2=0的一个根，
∴a=1，
即AE=BE=CE=1，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴由勾股定理得：AB=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=，AD=BC=1+1=2，
∴平行四边形ABCD的周长是2（2+）=4+2，故选B．

3．【答案】A.

4．【答案】B．

【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；

②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；

③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；

④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，

故选B．

5．【答案】C.

6．【答案】D.

【解析】∵梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，
∴∠C=90°，∵∠A′BC=15°，
∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，
∵AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=75°，∴∠A′BD=30°．

二．填空题

7．【答案】30.

8．【答案】64.

9．【答案】20.

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，

∵OE⊥BD，∴BE=DE，

∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，

∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．

故答案为：20．

10．【答案】 .

11.【答案】9.

【解析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到S△CHF=S△BCH'=S△ABC，

同理：S△BDG=S△AEM=S△ABC，所以S阴影部分面积=3S△ABC=3×AB×AC×sin∠BAC，即当AB⊥AC时，

S△ABC最大值为：×2×3=3，即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值．

12．【答案】2.5

【解析】易证四边形AEPF也是菱形，△PEF与△AEP同底等高，所以，S△PEF=S△AEP，S阴影=S△ABC=菱形面积的一半，菱形面积=对角线乘积的一半==5，所以S阴影=2.5.

三.综合题

13．【解析】提示：易证菱形AEFC，∠AEB=∠ACF,

设正方形边长为1，则，，

做CG⊥AC,BG∥AC，即得等腰Rt△CBG,
　　　　　　　等腰Rt△CBG中，故∠CFG=30°
　　　　　　　∴ ∠ACF=30°，∠FCB=15°
　　　　　　　∴ 

14．【解析】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），

∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；

又∵AM丄BC（已知），

∴AM⊥AD；

∵CN丄AD（已知），

∴AM∥CN，

∴AE∥CF；

又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），

∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，

 则AC与EF互相垂直平分，

∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），

∴AC与BD互相垂直平分，

∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），

∴AB=BC（菱形的邻边相等）；

∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），

∴△ABM≌△CAM，

∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），

∴△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；

在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=，

又∵AE=CF，AB=BC，

∴AB：AE=．

15.【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，

∴∠ACD=∠2，

∴MC=MD，

∵ME⊥CD，

∴CD=2CE，

∵CE=1，

∴CD=2，

∴BC=CD=2；

（2）证明：如图，

∵F为边BC的中点，

∴BF=CF=BC，

∴CF=CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，

在△CEM和△CFM中，

∵，

∴△CEM≌△CFM（SAS），

∴ME=MF，

延长AB交DF于点G，

∵AB∥CD，

∴∠G=∠2，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠G，

∴AM=MG，

在△CDF和△BGF中，

∵，

∴△CDF≌△BGF（AAS），

∴GF=DF，

由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．

16.【解析】（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又　PC=PC，
∴△PDC≌△PBC，∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC=∠PBC．（7分）
又∵PE=PD，∴∠PDE=∠PED．
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，
∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，
∴PE⊥PB．
（3）解：如图所示：

结论：①PE=PB，②PE⊥PB．