七年级上册9.15 十字相乘法优质教学作业课件ppt

9.15 十字相乘法分解因式（作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2021·上海黄浦·七年级期末）下列多项式中有因式x﹣1的是（　　）

①x2+x﹣2；②x2+3x+2；③x2﹣x﹣2；④x2﹣3x+2

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

【答案】D

【分析】根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断．

【详解】解：①x2+x﹣2＝；

②x2+3x+2＝；

③x2﹣x﹣2＝；

④x2﹣3x+2＝．

∴有因式x﹣1的是①④．

故选：D．

【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如的二次三项式，若能找到两数，使，且，那么就可以进行如下的因式分解，即．

2．（2022·上海·七年级期末）要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值有（  ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】根据把-6分解成两个因数的积，m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．

【详解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，

∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，

∴整数m的值有4个，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，对常数16的正确分解是解题的关键．

二、填空题

3．（2021·上海·七年级期中）分解因式：__________．

【答案】

【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．

【详解】解：

=

=

故答案为：．

【点睛】本题考查用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

4．（2019·上海市民办尚德实验学校七年级阶段练习）因式分解：x2+x-6＝________________.

【答案】(x+3)(x-2)

【分析】把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．常见的方法有：提公因式法、运用公式法、分组分解法、拆补项法、配方法、换元法、待定系数法、十字相乘法等.

【详解】解：

故答案是：.

【点睛】此题主要考查了因式分解，能多项式的特点选择合适的方法因式分解是解题关键．

5．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：= _____________________．

【答案】

【分析】因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．.

【详解】因为-6×2=-12，-6+2=-4，

所以x2-4x-12=（x-6）（x+2）．

故答案是：.

【点睛】考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

6．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）已知多项式可以分解成两个一次多项式，则整数m的值是_____________

【答案】或

【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的也有4种情况．

【详解】解：，或，

①或，即，

②或，即，

故答案为：或．

【安静】此题主要考查了分解因式十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：，即常数项与一次项系数之间的等量关系．

7．（2020·上海闵行·七年级期中）分解因式：____．

【答案】

【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．

8．（2021·上海·七年级期中）因式分解x2+ax+b时，李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），王勇看错了b的值，分解的结果是（x+2）（x﹣3），那么x2+ax+b因式分解正确的结果是_______．

【答案】（x﹣4）（x+3）

【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．

【详解】解：因式分解x2+ax+b时，

∵李明看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），

∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，

又∵王勇看错了b的值，分解的结果为（x+2）（x﹣3），

∴a＝﹣3+2＝﹣1，

∴原二次三项式为x2﹣x﹣12，

因此，x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x+3），

故答案为：（x﹣4）（x+3）．

【点睛】本题主要考查了十字相乘分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．

9．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）在实数范围内分解因式：________．

【答案】

【分析】利用十字相乘法求解即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，实数范围内的因式分解技巧：若，则．

三、解答题

10．（2021·上海奉贤·七年级期中）因式分解：ab2﹣3ab﹣10a．

【答案】

【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法求解即可．

【详解】解：

故答案为

【点睛】此题考查了提公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

11．（2021·上海黄浦·七年级期末）分解因式：．

【答案】

【分析】先去括号，化简为一般形式，再利用十字相乘法进行因式分解．

【详解】解：

＝x2﹣x﹣12+6

＝x2﹣x﹣6

＝．

【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如的二次三项式，若能找到两数，使，且，那么就可以进行如下的因式分解，即．

12．（2021·上海徐汇·七年级阶段练习）因式分解：．

【答案】

【分析】先提公因式，然后利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可求解．

【详解】解：原式

．

【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．

13．（2021·上海杨浦·七年级期中）分解因式：（a2﹣a）2＋2（a2﹣a）﹣8

【答案】

【分析】将看错整体，根据十字相乘法进行因式分解，对于再次分解即可

【详解】（a2﹣a）2＋2（a2﹣a）﹣8

【点睛】本题考查了因式分解，分解彻底是解题的关键．

14．（2021·上海·七年级期中）分解因式：x2﹣4x﹣12．

【答案】（x+2）（x﹣6）

【分析】因为﹣12＝2×（﹣6），2+（﹣6）＝﹣4，所以x2﹣4x﹣12＝（x+2）（x﹣6）．

【详解】解：x2﹣4x﹣12＝（x+2）（x﹣6）．

【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．

【能力提升】

一、填空题

1．（2021·上海虹口·七年级期末）因式分解：2a2-4a-6=________．

【答案】2(a-3)(a+1)## 2(a+1)(a-3)

【分析】提取公因式2，再用十字相乘法分解因式即可．

【详解】解：2a2－4a－6＝2（a2－2a－3）＝2(a-3)(a+1)

故答案为：2(a-3)(a+1)

【点睛】本题考查了本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法或十字相乘法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．

2．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）要使多项式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝____________．

【答案】±1或±19或±8

【分析】把﹣20分成20和﹣1，﹣2和10，5和﹣4，﹣5和4，2和﹣10，﹣20和1，进而得出即原式分解为（x+20）（x﹣1），（x﹣2）（x+10），（x+5）（x﹣4），（x﹣5）（x+4），（x+2）（x﹣10），（x﹣20）（x+1），即可得到答案．

【详解】解：当x2﹣ax﹣20＝（x+20）（x﹣1）时，a＝20+（﹣1）＝19，

当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x+10）时，a＝﹣2+10＝8，

当x2﹣ax﹣20＝（x+5）（x﹣4）时，a＝5+（﹣4）＝1，

当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x+4）时，a＝﹣5+4＝﹣1，

当x2﹣ax﹣20＝（x+2）（x﹣10）时，a＝2+（﹣10）＝﹣8，

当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x+1）时，a＝﹣20+1＝﹣19，

综上所述：整数a的值为±1或±19或±8．

故答案为：±1或±19或±8．

【点睛】本题主要考查对因式分解−十字相乘法的理解和掌握，理解x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）是解此题的关键．

3．（2021·上海浦东新·七年级期末）分解因式：_______．

【答案】

【分析】根据十字相乘法分解因式即可．

【详解】根据十字相乘法分解因式可得：

【点睛】本题考查因式分解，掌握十字相乘法分解因式是解题关键．

4．（2021·上海·七年级期末）因式分解：__________．

【答案】

【分析】因为-6=-3×2，-3+2=-1，所以可以利用十字相乘法分解因式即可得解．

【详解】利用十字相乘法进行因式分解：

．

【点睛】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法与十字相乘法与分组分解法分解．

5．（2021·上海·七年级期中）已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则________________..

【答案】

【分析】利用十字相乘的方法确定出a的值即可．

【详解】解： 或

所以

故答案为.

【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．

6．（2021·上海·七年级期中）分解因式：___________________．

【答案】（x－6）（x+1）

【分析】因为－6×1=－6，－6+1=－5，利用十字相乘法分解因式即可．

【详解】=（x－6）（x+1）

故答案为（x－6）（x+1）．

【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

二、解答题

7．（2021·上海普陀·七年级期末）分解因式：．

【答案】

【分析】先提取公因式，然后利用十字相乘和平方差公式分解因式即可．

【详解】解：原式=

=

=．

【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法．

8．（2021·上海浦东新·七年级期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．

【答案】（x﹣2）（x+4）（x+1）2

【分析】将x2+2x视为整体，利用十字相乘法因式分解，再结合因式分解与完全平方公式解题．

【详解】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．

【点睛】本题考查因式分解，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

9．（2021·上海奉贤·七年级期末）因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．

【答案】（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）

【分析】将看做整体，再十字相乘法因式分解，注意分解要彻底．

【详解】原式＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）

＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握十字分解法是解题的关键．

10．（2021·上海·七年级期中）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：，按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

(1)＝        ；（只填最后结果）

(2)当x＝        时，；（只填最后结果）

(3)将下面式子进行因式分解：．（写出解题过程）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据运算的规定进行计算即可得；

（2）根据运算的规定可得一个关于的方程，解方程即可得；

（3）先根据运算的规定列出代数式，再利用换元法和十字相乘法进行因式分解即可得．

（1）

解：

，

故答案为：．

（2）

解：，

解得，

即当时，，

故答案为：．

（3）

解：

，

设，

则

，

即．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、因式分解，熟练掌握新运算的规定是解题关键．

11．（2022·上海·七年级期末）分解因式：x4+8x2﹣9．

【答案】（x2+9）（x+1）（x﹣1）

【分析】将式子利用十字相乘法分解后再利用平方差公式因式分解即可．

【详解】x4+8x2﹣9

＝（x2+9）（x2﹣1）

＝（x2+9）（x+1）（x﹣1）．

【点睛】本题考查因式分解；熟练掌握因式分解的方法，将式子分解彻底是解题的关键．

12．（2021·上海·七年级期中）因式分解：

【答案】

【详解】试题分析：先利用十字相乘法进行因式分解，然后再利用平方差公式进行分解即可.

试题解析：原式==.

【点睛】本题考查了综合运用十字相乘法与公式法进行因式分解，根据式子的特点灵活选取因式分解的方法进行分解是关键.

13．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．

【答案】

【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．

【详解】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）

＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．

【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于熟练运用十字相乘法、公式法进行因式分解．

14．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：

【答案】

【分析】先把式子化成，再运用十字相乘法分解因式即可．

【详解】解：原式=

=

=

=

【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．

15．（2021·上海浦东新区民办欣竹中学七年级期中）分解因式：.

【答案】（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）

【分析】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

【详解】设x2+x=y，则

原式=（y+1）（y+2）﹣12=y2+3y﹣10

=（y﹣2）（y+5）=（x2+x﹣2）（x2+x+5）

=（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．

【点睛】本题主要考查了因式分解-十字相乘法，对于展开后次数较高的因式分解，不要急于展开，要多观察查找规律．常用换元法来解决．