初中数学沪教版 (五四制)八年级上册16．3 二次根式的运算精品教学作业课件ppt

16.3 分母有理化(第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2020·上海市西南位育中学八年级期中）化简：（2a﹣3b）＝（       ）

A．﹣1 B．1 C． D．﹣

【答案】D

【分析】根据二次根式的非负性判断的符号，进而分母有理化即可．

【详解】解：

（2a﹣3b）

故选D

【点睛】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，掌握二次根式的双重非负性是解题的关键．

2．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）的有理化因式是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．

【详解】解：∵，

∴的一个有理化因式是．

故选：C．

【点睛】本题考查了有理化因式的定义：两个含二次根式的非零代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一般地，的有理化因式是；的有理化因式是．

3．（2019·上海师范大学附属嘉定高级中学八年级阶段练习）若a＝1﹣，b＝﹣，则a与b的关系是（　　）

A．互为相反数 B．相等

C．互为倒数 D．互为有理化因式

【答案】B

【分析】分式b去分母计算得到结果，即可做出判断．

【详解】b＝﹣＝﹣（﹣1）＝﹣+1，

而a＝1-，

所以a＝b．

故选：B．

【点睛】此题考查分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键．

4．（2019·上海市建平中学西校八年级阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论．

【详解】解：=

∵＞＞

∴＞＞

∴

故选A．

【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键．

二、填空题

5．（2021·上海·八年级期中）计算＝________．

【答案】

【分析】直接进行分母有理化即可．

【详解】原式＝．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键．

6．（2021·上海松江·八年级期中）写出二次根式的一个有理化因式是________．

【答案】

【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是．

【详解】解：×＝（）2＝x＋y，

故的一个有理化因式是

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式．

7．（2021·上海普陀·八年级期中）的有理化因式可以是______．（只需填一个）

【答案】

【分析】根据平方差公式和有理化因式的意义即可得出答案．

【详解】解：，

的有理化因式为，

故答案为：．

【点睛】本题考查分母有理化，理解有理化因式的意义和平方差公式是正确解答的关键．

8．（2021·上海·八年级期中）化简：______．

【答案】

【分析】分子分母同乘以进行分母有理化即可得．

【详解】原式，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．

9．（2020·上海闵行·八年级期中）化简：_______．

【答案】

【分析】根据二次根式的分母有理化即可得．

【详解】，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化的方法是解题关键．

10．（2019·上海市风华初级中学八年级阶段练习）写出的一个有理化因式__________________

【答案】

【分析】要想将与进行有理化，就必须把两个数平方，只有平方差公式可以达到此目的，根据平方差公式即可得出答案.

【详解】解：∵，

∴的一个有理化因式为.

故答案为.

【点睛】本题考查分母有理化，当分母是根式得和或者差的形式，要根据平方差公式，乘以分母对应的差或者和的形式，构造平方差公式，将分母有理化.

11．（2019·上海市毓秀学校八年级阶段练习）不等式2x-<x的解集是____________________．

【答案】x<2+．

【分析】根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项，系数化为1，然后分母有理化即可得解．

【详解】解：移项得，2x-x <

合并同类项得，（2-）x＜，

系数化为1得，x＜

∵= =2+，

x＜2+ ．

故答案为x＜2+．

【点睛】本题考查二次根式的应用，解一元一次不等式，最后结果要分母有理化．

12．（2017·上海宝山·八年级阶段练习）化简：=________；

【答案】．

【分析】分子分母都乘以计算即可得解．

【详解】解：= =．

故答案为．

【点睛】本题考查分母有理化，理解分母有理化并准确确定出有理化因式是解题的关键．

13．（2018·上海浦东新·八年级期中）的有理化因式是________________.

【答案】

【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，可得答案．

【详解】a-b=（-）（+），

故的有理化因式可以是．

故答案为．

【点睛】考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．

14．（2021·上海市罗星中学八年级期中）不等式的解集是__________________．

【答案】##

【分析】利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．

【详解】解：，

，

，

．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法和二次根式的性质是解题的关键．

三、解答题

15．（2020·上海市建平实验中学八年级期中）计算：．

【答案】．

【分析】先将除法运算写成分数的形式，再根据分母有理化的方法即可得．

【详解】解：原式，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题关键．

16．（2017·上海·八年级期末）计算：

【答案】

【分析】利用平方差公式使分母有理化，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：

【点睛】本题考查了二次根式，灵活的利用平方差公式将二次根式的分母有理化是解题的关键.

17．（2021·上海普陀·八年级期末）计算：．

【答案】

【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则．

18．（2022·上海·八年级开学考试）计算：．

【答案】

【分析】先根据二次根式的乘法、分母有理化和完全平方公式化简，再计算加减即可．

【详解】解：原式=2

=3．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则．

【能力提升】

一、单选题

1．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　）

A．相等 B．互为相反数

C．互为倒数 D．互为有理化因式

【答案】A

【分析】求出a与b的值即可求出答案．

【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，

∴a＝b，

故选：A．

【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a与b的值，本题属于基础题型．

2．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）下列结论正确的是（　　）

A．的有理化因式可以是

B．

C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）

D．是最简二次根式

【答案】D

【分析】根据分母有理化，最简二次根式的定义，不等式的解法以及二次根式的性质即可求出答案．

【详解】解：A、有理化因式可以是，故A不符合题意．

B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合题意．

C、∵（2﹣）x＞1，

∴x＜，

∴x＜﹣2﹣，故C不符合题意．

D、是最简二次根式，故D符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最简二次根式，本题属于基础题型．

3．（2022·上海·八年级期末）如果，那么的值为（        ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】D

【分析】根据算术平方根具有双重非负性，它们相加为0，那个每一个算术平方根都为0，则被开方数都为0，列出二元一次方程组，解方程组求出x和y的值后，即可求解．

【详解】解：由题意：

．

所以D正确.

故选D．

【点睛】本题考查了算术平方根的双重非负性、解二元一次方程组和二次根式的计算等问题，解题关键是要求考生能理解算数平方根的双重非负性并能进行实际的应用，同时能利用加减法解二元一次方程组和利用分母有理化来化简二次根式．

4．（2021·上海·八年级期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.

【详解】设，且，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴原式，

故选D．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.

二、填空题

5．（2022·上海徐汇·八年级期末）已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．

【答案】2+

【分析】把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可．

【详解】解：当x＝时，

函数y＝＝＝＝2+，

故答案为：2+．

【点睛】本题考查了求函数值及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．

三、解答题

6．（2021·上海市莘光学校八年级期中）计算：．

【答案】

【分析】先计算二次根式的乘法与除法，再去括号，合并同类二次根式即可.

【详解】解：

【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.

7．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）计算：．

【答案】

【分析】先分母有理化，同步进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可.

【详解】解：

【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键.

8．（2021·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）已知，求的值．

【答案】．

【分析】先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可．

【详解】解：∵，

，

∴，，

∴．

【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键．

9．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）计算：．

【答案】

【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则计算．

【详解】解：原式=

=

=．

【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．

10．（2021·上海市傅雷中学八年级期中）计算：

【答案】-4

【分析】先利用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则计算即可．

【详解】解：

=

=

=-4．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质成为解答本题的关键．

11．（2022·上海·八年级期末）计算：；

【答案】2

【分析】先利用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则计算即可．

【详解】解：

=

=

=2．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质成为解答本题的关键．

12．（2022·上海·八年级期末）先化简：，再求当时的值.

【答案】xy；1

【分析】分子中先提出公因式进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.

【详解】

=

=

=，

当时，原式==1.

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.

13．（2021·上海·八年级期中）已知且，请化简并求值：

【答案】

【分析】解方程得出，再分母有理化，化简得出原式=，最后代入x求值即可.

【详解】解：

∵

∴

∴

【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.