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2024全国一轮数学（基础版）第48讲 排列与组合课件PPT
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这是一份2024全国一轮数学（基础版）第48讲 排列与组合课件PPT，共37页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，基础回归，一定的顺序，不同排列，不同组合，研题型·融会贯通，举题说法，随堂内化等内容，欢迎下载使用。
1. (人A 选必三P5练习1(1))一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是______.
【解析】 因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9.
2. (人A 选必三P5练习1(2))从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是______.
【解析】 因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的条数是3×2＝6.
3. 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有____________种不同的选法．
【解析】 第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为30×24＝720.
4. (人A 选必三P11练习1)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有________项．
【解析】 根据多项式的乘法法则，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后每一项均是从(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为3×3×5＝45.
5. 用1,5,9,13中任意一个数作分子，4,8,12,16中任意一个数作分母，可构成________个不同的分数，可构成__________个不同的真分数．
【解析】 从1,5,9,13中任选一个数作分子，4,8,12,16中任选一个数作分母，可构成4×4＝16个不同的分数．由真分数的定义知，①若1为分子，分母有4种选择；②若5为分子，分母有3种选择；③若9为分子，分母有2种选择；④若13为分子，分母有1种选择．所以真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个)．
1. 两个计数原理的区别与联系
2. 排列与组合的概念
3. 排列数与组合数(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号________表示．(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号________表示．
4. 排列数、组合数的公式及性质
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
【解析】 由题意可知分两步：①先排a1，a3，a5，当a1＝2时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6，有2种；当a1＝3时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6，有2种； 当a1＝4时，a3＝5，a5＝6，有1种，共5种．所以不同的排列方法种数为5×6＝30.
例1 (2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1
如图，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是( )(变式)A. 780 B. 840 C. 900 D. 960
由分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为5×4×3×4×4＝960.
例2 泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见，相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有__________种．
对于相同元素的分配问题，可以利用分类计数原理分类讨论，还可以利用“隔板法”．把n个相同的小球放到m(m
(2022·湖南四校联考)周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为( )A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
例3 (1) (2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为( )
(2) (2022·武汉模拟)A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为( )A. 48 B. 96 C. 144 D. 288
③将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有72－24＝48(种)． 综上，满足条件的排法共有2×48＝96种．
【解析】 由题知，丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12,23或56,67号位，有4种情况，
(1) 甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )A. 240 B. 192 C. 96 D. 48
(2) 某款手机软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块．某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法种数为( )A. 60 B. 240 C. 192 D. 432
例4 (2022·南平模拟)福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养．现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有________种．
1. 对于不同元素的分配问题，可以按需分配(即定人又定数可直接取)，也可按先分组后分配的方式处理，分组时应注意全部均匀分组与部分均匀分组的区别.(2) 部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．(3) 不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2. 对于某些元素顺序确定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲、乙不相邻的排法有72种D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种
1. 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A. 60种 B. 63种 C. 65种 D. 66种
点击对应数字即可跳转到对应题目
根据分类加法计数原理，不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．
2. 有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有( )A. 36种 B. 72种C. 108种 D. 144种
4. (2023·河南名校摸底)教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择．若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有( )A. 60种 B. 64种 C. 72种 D. 80种
5. 将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有( )A. 10种 B. 16种 C. 22种 D. 28种
所以不同的放法共有7＋3＝10(种)．
1. (人A 选必三P5练习1(1))一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是______.
【解析】 因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9.
2. (人A 选必三P5练习1(2))从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是______.
【解析】 因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的条数是3×2＝6.
3. 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有____________种不同的选法．
【解析】 第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为30×24＝720.
4. (人A 选必三P11练习1)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有________项．
【解析】 根据多项式的乘法法则，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后每一项均是从(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为3×3×5＝45.
5. 用1,5,9,13中任意一个数作分子，4,8,12,16中任意一个数作分母，可构成________个不同的分数，可构成__________个不同的真分数．
【解析】 从1,5,9,13中任选一个数作分子，4,8,12,16中任选一个数作分母，可构成4×4＝16个不同的分数．由真分数的定义知，①若1为分子，分母有4种选择；②若5为分子，分母有3种选择；③若9为分子，分母有2种选择；④若13为分子，分母有1种选择．所以真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个)．
1. 两个计数原理的区别与联系
2. 排列与组合的概念
3. 排列数与组合数(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号________表示．(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号________表示．
4. 排列数、组合数的公式及性质
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
【解析】 由题意可知分两步：①先排a1，a3，a5，当a1＝2时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6，有2种；当a1＝3时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6，有2种； 当a1＝4时，a3＝5，a5＝6，有1种，共5种．所以不同的排列方法种数为5×6＝30.
例1 (2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1
如图，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色(如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域)，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是( )(变式)A. 780 B. 840 C. 900 D. 960
由分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为5×4×3×4×4＝960.
例2 泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见，相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有__________种．
对于相同元素的分配问题，可以利用分类计数原理分类讨论，还可以利用“隔板法”．把n个相同的小球放到m(m
(2022·湖南四校联考)周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为( )A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
例3 (1) (2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为( )
(2) (2022·武汉模拟)A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为( )A. 48 B. 96 C. 144 D. 288
③将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有72－24＝48(种)． 综上，满足条件的排法共有2×48＝96种．
【解析】 由题知，丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12,23或56,67号位，有4种情况，
(1) 甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为( )A. 240 B. 192 C. 96 D. 48
(2) 某款手机软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块．某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题模块中有且仅有三个答题模块相邻的学习方法种数为( )A. 60 B. 240 C. 192 D. 432
例4 (2022·南平模拟)福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养．现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有________种．
1. 对于不同元素的分配问题，可以按需分配(即定人又定数可直接取)，也可按先分组后分配的方式处理，分组时应注意全部均匀分组与部分均匀分组的区别.(2) 部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．(3) 不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2. 对于某些元素顺序确定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C. 甲、乙不相邻的排法有72种D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有30种
1. 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A. 60种 B. 63种 C. 65种 D. 66种
点击对应数字即可跳转到对应题目
根据分类加法计数原理，不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．
2. 有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有( )A. 36种 B. 72种C. 108种 D. 144种
4. (2023·河南名校摸底)教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择．若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有( )A. 60种 B. 64种 C. 72种 D. 80种
5. 将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有( )A. 10种 B. 16种 C. 22种 D. 28种
所以不同的放法共有7＋3＝10(种)．
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