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2024全国一轮数学（基础版）第34讲 直线、平面平行的判定与性质课件PPT
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这是一份2024全国一轮数学（基础版）第34讲 直线、平面平行的判定与性质课件PPT，共37页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，激活思维，第4题，基础回归，3性质定理，研题型·融会贯通，举题说法，随堂内化，第5题等内容，欢迎下载使用。
1. (人A 必二P143习题1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A. α内的所有直线都与直线a异面 B. α内不存在与a平行的直线C. α内的直线都与a相交 D. 直线a与平面α有公共点
【解析】 对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内；对于B，l与平面α内的任意一条直线也可能异面；对于C，另一条直线也可能在平面内；对于D，因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公共点．
2. (人A 必二P143习题1(2))已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线( )A. 只有一条，不在平面α内 B. 只有一条，且在平面α内C. 有无数条，一定在平面α内 D. 有无数条，不一定在平面α内
【解析】 假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，所以m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾.
3. (人A 必二P142练习2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )A. α内有无穷多条直线都与β平行B. 直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C. 直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD. α内的任何一条直线都与β平行
【解析】 对于A，α内有无穷多条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，直线a可以是平行于平面α与平面β的相交直线，也不能保证平面α与平面β平行，故B错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β平行，故D正确．
4. (人A 必二P142练习1(1)改)(多选)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是( )A. 平面A′B′C′D′B. 平面DCC′D′C. 平面BCC′B′D. 平面A′D′DA
【解析】 由于AB∥A′B′，AB⊄平面A′B′C′D′，A′B′⊂平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′.同理AB∥平面DCC′D′，AB∩平面BCC′B′＝B，AB∩平面A′D′DA＝A.
5. (人A 必二P139练习3改)下列选项正确的是( )A. 如果直线a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B. 如果直线a与平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C. 如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD. 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α
【解析】 对于A，a不平行于同时过a，b这两条直线的平面，故A错误；对于B，a与α内的直线有平行和异面两种位置关系，故B错误；对于C，a与b可能出现三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；对于D，已知a∥α，a∥b，b⊄α，过a作平面β交α于直线c，则a∥c，所以b∥c，所以b∥α，故D正确．
1. 直线和平面平行(1) 定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行；(2) 判定方法：
2. 两个平面平行(1) 定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2) 判定方法：
3. 常用结论(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2) 平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3) 垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
例1 (2022·茂名一模)下面四个命题中的真命题是( )p1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；p2：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直；p3：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；p4：若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行.A. p1与p2 B. p2与p3C. p3与p4 D. p1与p3
【解析】 对于p1，利用面面平行的性质定理可知p1是真命题；对于p2，面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，若这条直线不在这两个平面内，则p2是假命题；对于p3，利用线面平行的性质定理可知p3是真命题；对于p4，线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，若这条直线在平面内，则p4是假命题．
1. 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；2. 结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2022·淄博一模)(多选)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )A. 若α∥β，m⊂α，则m∥β B. 若α⊥β，m⊥α，则m∥βC. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α D. 若m⊥n，m∥α，则n∥α
【解析】 对于A，由两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行，可知m∥β，A正确；对于B，α⊥β，m⊥α，此时m有可能在平面β内，故不能得到m∥β，B错误；对于C，由于m∥n，则n可经平移到与m重合的位置，而平移不改变直线与平面原有的位置关系，则由m⊥α，知n⊥α，C正确；对于D，当m∥α，m⊄α时，过m上一点作直线n⊥α，此时m⊥n，不能得到n∥α，故D错误.
例2 (1) 如图，在四棱锥P －ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB.(例2(1))
【解答】 如图，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，所以C为ND的中点．(例2(1))又因为E为PD的中点，所以EC∥PN.因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB.
【解答】 因为底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥CD，EF∥AB.因为EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，所以MN∥EF，所以AB∥MN.
(2) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，求证：AB∥MN.(例2(2))
判断或证明线面平行的常用方法：(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．(2) 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4) 利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
(2022·永州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，BC∥平面PAD，AD＝CD＝2BC＝4，∠BCD＝60°，G为AD的中点，求证：CD∥平面PBG.(变式)
【解答】 因为BC∥平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BC⊂平面ABCD，所以BC∥AD.又由BC∥GD，可知四边形BCDG为平行四边形，所以CD∥BG.因为BG⊂平面PBG，CD⊄平面PBG，所以CD∥平面PBG.
例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(例3)
【解答】 由题图知，因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1.因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG.又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G.因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，所以平面A1C1G∥平面BEF.
(1) 求证：平面A1C1G∥平面BEF;
【解答】 因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设平面A1C1G∩BC＝H，则A1C1∥GH，得GH∥AC.因为G为AB的中点，所以H为BC的中点．
(2) 若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
1．判定面面平行的主要方法：(1) 利用面面平行的判定定理；(2) 利用线面垂直的性质．2. 面面平行条件的应用：(1) 两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行；(2) 两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
因为AG∥CF，AG＝CF，所以四边形AGFC是平行四边形， 所以FG∥AC.又FG⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以FG∥平面ABCD.因为FG∩EG＝G，所以平面EFG∥平面ABCD.因为EF⊂平面EFG，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
【解答】 如图，取AA1的中点G，连接EG，FG，AC，则EG∥AD，因为EG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EG∥平面ABCD.
1. (2022·青岛期初)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法错误的是( )A. E，F，G，H四点共面 B. 平面EGH∥平面ABC1C. 直线A1A与FH异面 D. 直线BC与平面AFH平行
点击对应数字即可跳转到对应题目
2. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线B. 若m∥α，n∥α，则m∥nC. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD. 若α∥β，m⊂α，则m∥β
3. 可以作为平面α∥平面β条件的是( )A. 存在一条直线a，a∥α，a∥βB. 存在一条直线a，a⊂α，a∥βC. 存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD. 存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )A. 若m∥n，m∥α，则n∥αB. 若α⊥β，m⊥β，则m∥αC. 若m∥α，m∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【解析】 若m∥n，m∥α，则n可能在α内，故A错误；若α⊥β，m⊥β，则m可能在α内，故B错误；若m∥α，m∥β，则α，β可能相交，只要m不在α，β内，且平行于α，β的交线即可，故C错误；若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理可知m∥n，故D正确．
5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，已知M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A. MN∥PDB. MN∥PAC. MN∥ADD. 以上均有可能
【解析】 因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA.
1. (人A 必二P143习题1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A. α内的所有直线都与直线a异面 B. α内不存在与a平行的直线C. α内的直线都与a相交 D. 直线a与平面α有公共点
【解析】 对于A，当直线l与平面α相交时，直线l上也有无数个点不在平面α内；对于B，l与平面α内的任意一条直线也可能异面；对于C，另一条直线也可能在平面内；对于D，因为l∥α，所以l与α没有公共点，所以l与α内任意一条直线都没有公共点．
2. (人A 必二P143习题1(2))已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线( )A. 只有一条，不在平面α内 B. 只有一条，且在平面α内C. 有无数条，一定在平面α内 D. 有无数条，不一定在平面α内
【解析】 假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，所以m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾.
3. (人A 必二P142练习2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )A. α内有无穷多条直线都与β平行B. 直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C. 直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD. α内的任何一条直线都与β平行
【解析】 对于A，α内有无穷多条直线都与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，直线a可以是平行于平面α与平面β的相交直线，也不能保证平面α与平面β平行，故B错误；对于C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，故平面α与平面β平行，故D正确．
4. (人A 必二P142练习1(1)改)(多选)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是( )A. 平面A′B′C′D′B. 平面DCC′D′C. 平面BCC′B′D. 平面A′D′DA
【解析】 由于AB∥A′B′，AB⊄平面A′B′C′D′，A′B′⊂平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′.同理AB∥平面DCC′D′，AB∩平面BCC′B′＝B，AB∩平面A′D′DA＝A.
5. (人A 必二P139练习3改)下列选项正确的是( )A. 如果直线a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B. 如果直线a与平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C. 如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD. 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α
【解析】 对于A，a不平行于同时过a，b这两条直线的平面，故A错误；对于B，a与α内的直线有平行和异面两种位置关系，故B错误；对于C，a与b可能出现三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；对于D，已知a∥α，a∥b，b⊄α，过a作平面β交α于直线c，则a∥c，所以b∥c，所以b∥α，故D正确．
1. 直线和平面平行(1) 定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行；(2) 判定方法：
2. 两个平面平行(1) 定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2) 判定方法：
3. 常用结论(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2) 平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3) 垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
例1 (2022·茂名一模)下面四个命题中的真命题是( )p1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；p2：两个平面垂直，如果有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与其中一个平面垂直；p3：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；p4：若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线就与这个平面平行.A. p1与p2 B. p2与p3C. p3与p4 D. p1与p3
【解析】 对于p1，利用面面平行的性质定理可知p1是真命题；对于p2，面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，若这条直线不在这两个平面内，则p2是假命题；对于p3，利用线面平行的性质定理可知p3是真命题；对于p4，线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，若这条直线在平面内，则p4是假命题．
1. 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理；2. 结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2022·淄博一模)(多选)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )A. 若α∥β，m⊂α，则m∥β B. 若α⊥β，m⊥α，则m∥βC. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α D. 若m⊥n，m∥α，则n∥α
【解析】 对于A，由两平面平行，在一平面内的任意直线与另一平面平行，可知m∥β，A正确；对于B，α⊥β，m⊥α，此时m有可能在平面β内，故不能得到m∥β，B错误；对于C，由于m∥n，则n可经平移到与m重合的位置，而平移不改变直线与平面原有的位置关系，则由m⊥α，知n⊥α，C正确；对于D，当m∥α，m⊄α时，过m上一点作直线n⊥α，此时m⊥n，不能得到n∥α，故D错误.
例2 (1) 如图，在四棱锥P －ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB.(例2(1))
【解答】 如图，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，所以C为ND的中点．(例2(1))又因为E为PD的中点，所以EC∥PN.因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB.
【解答】 因为底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥CD，EF∥AB.因为EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，所以MN∥EF，所以AB∥MN.
(2) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，求证：AB∥MN.(例2(2))
判断或证明线面平行的常用方法：(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．(2) 利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4) 利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
(2022·永州模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，BC∥平面PAD，AD＝CD＝2BC＝4，∠BCD＝60°，G为AD的中点，求证：CD∥平面PBG.(变式)
【解答】 因为BC∥平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BC⊂平面ABCD，所以BC∥AD.又由BC∥GD，可知四边形BCDG为平行四边形，所以CD∥BG.因为BG⊂平面PBG，CD⊄平面PBG，所以CD∥平面PBG.
例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(例3)
【解答】 由题图知，因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1.因为A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG.又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G.因为A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，所以平面A1C1G∥平面BEF.
(1) 求证：平面A1C1G∥平面BEF;
【解答】 因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设平面A1C1G∩BC＝H，则A1C1∥GH，得GH∥AC.因为G为AB的中点，所以H为BC的中点．
(2) 若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
1．判定面面平行的主要方法：(1) 利用面面平行的判定定理；(2) 利用线面垂直的性质．2. 面面平行条件的应用：(1) 两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行；(2) 两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
因为AG∥CF，AG＝CF，所以四边形AGFC是平行四边形， 所以FG∥AC.又FG⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以FG∥平面ABCD.因为FG∩EG＝G，所以平面EFG∥平面ABCD.因为EF⊂平面EFG，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
【解答】 如图，取AA1的中点G，连接EG，FG，AC，则EG∥AD，因为EG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EG∥平面ABCD.
1. (2022·青岛期初)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法错误的是( )A. E，F，G，H四点共面 B. 平面EGH∥平面ABC1C. 直线A1A与FH异面 D. 直线BC与平面AFH平行
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2. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )A. 若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线B. 若m∥α，n∥α，则m∥nC. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD. 若α∥β，m⊂α，则m∥β
3. 可以作为平面α∥平面β条件的是( )A. 存在一条直线a，a∥α，a∥βB. 存在一条直线a，a⊂α，a∥βC. 存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD. 存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )A. 若m∥n，m∥α，则n∥αB. 若α⊥β，m⊥β，则m∥αC. 若m∥α，m∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【解析】 若m∥n，m∥α，则n可能在α内，故A错误；若α⊥β，m⊥β，则m可能在α内，故B错误；若m∥α，m∥β，则α，β可能相交，只要m不在α，β内，且平行于α，β的交线即可，故C错误；若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理可知m∥n，故D正确．
5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，已知M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A. MN∥PDB. MN∥PAC. MN∥ADD. 以上均有可能
【解析】 因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA.
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