精品解析：江苏省徐州市贾汪中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题（解析版）

2023年贾汪中学高二下学期期末模拟考试

数学试题

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知集合，集合，则（    ）

A. 且 B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本函数的定义域和值域求法求出，从而求出交集.

【详解】由对数函数的定义域可得：，

由基本初等函数的值域可得，故.

故选：C.

2. 已知函数，则

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，先求得，进而可求得的值，得到答案．

【详解】由题意，函数，可得，

所以，故答案为．

【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中合理应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3. 某厂安排名工人到三个岗位值班，每名工人只去一个岗位，每个岗位至少安排名工人，则安排工人甲､乙到同一个岗位值班的方法数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将人分为个小组，再将个小组安排到三个岗位即可.

【详解】依题意，可分两步安排：

第一步，将人分为个小组，按小组人数可分为人、人、人和人、人、人两类，

人、人、人分组，甲、乙同组，另外人中，选出人同组，有种方法，

人、人、人分组，除甲、乙的另外人中，选出人与甲、乙同组，剩余人各自一组，有种方法，

∴第一步共有种方法；

第二步，将组分别安排到三个岗位，有种方法，

∴满足题意的安排方法数有种.

故选：B.

4. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（    ）

参考数据：，，．

A. 455 B. 2718 C. 6346 D. 9545

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.

【详解】由题意可知，，

则数学成绩位于[80，88]的人数约为.

故选：B

5. 某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（    ）

A. 25 B. 28 C. 30 D. 32

【答案】C

【解析】

【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，即可代入求解.

【详解】由已知得，回归直线方程为过样本点中心，

∴，即，

∴．

故选：C．

6. 设,,，则,,的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】通过指数函数的单调性可得，通过对数函数的单调性可得，，进而可得结果.

【详解】∵，

，，即，

，

∴，

故选C.

【点睛】本题考查了指数的运算法则、对数的运算法则与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.

【详解】由，得时，，即；

时，；，

.

故选：A.

8. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球，

则，，

因此，.

故选：D.

二、多选题（每小题5分，共20分）

9. 下列各式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，由可判断；对于B，根据二项式系数和公式可判断；对于CD，根据排列数的计算公式可验证.

【详解】对于A，由得，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD

10. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质结合指数函数和对数函数的单调性逐一分析判断即可.

【详解】解：因为，所以，

又，所以，故A正确；

当时，，当时，，故B错误；

由，得，

所以，故C正确；

由，，得，

则，所以，故D正确.

故选：ACD.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

B. 将一组数据中每个数据都乘2022后，方差也变为原来的2022倍

C. 已知回归模型为，则样本点的残差为

D. 对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

【答案】CD

【解析】

【分析】根据相关系数、方差的性质、残差的计算以及独立性检验的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故错误；

对：将一组数据中的每个数据都乘2022后，方差变为原来的倍，故错误；

对：当时，，所以样本点的残差为，故正确；

对：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，则“两变量有关系”的把握程度越小，

则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故正确.

故选：．

12. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（    ）

A. 满足MP//平面的点P的轨迹长度为

B. 满足的点P的轨迹长度为

C. 存在点P，使得平面AMP经过点B

D. 存在点P满足

【答案】AD

【解析】

【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，为正方形上的点，可设，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案.

【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，

由正方体的性质知，，，，

所以平面平面，又平面，平面，

故点的轨迹为线段，故A正确；

对B，方法一：在平面中过作，交于，设，

则，，，

由，可解得，

同理，在平面中过作，交于，可得，

因为，所以平面，

因为，所以平面，所以点P的轨迹为线段，长度为，故B不正确；

方法二：以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，设，且，，

，，

，即，

又，，则点的轨迹为线段，,

且，故B错误；

对于C，方法一：取中点，连接，正方体中，易得，所以平面截正方体的截面为平面，显然平面，故不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；

方法二：设，且，，

若平面AMP经过点B，则，且，

又,

所以，即，

因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B,故C错误；

对于D，方法一：延长至，令，则，

所以，

因为，所以存在点满足，故D正确.

方法二：点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，

故，故存在点满足，故D正确.

故选：AD.

三、单空题（每小题5分，共20分）

13. 已知空间向量，，，若，，共面，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由空间向量基本定理结合题意列方程求解即可.

【详解】若，，共面，则存在实数，使，

即

所以，解得，，．

所以．

故答案为：

14. 若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________.

【答案】

【解析】

【分析】由的展开式中的各项系数的和为2，令x=1，求得，写出的展开式的通项，分别乘以，，再令的指数为0求得值，则展开式中的常数项可求．

【详解】解：由的展开式中的各项系数的和为2，

令，得，得．

，

的通项．

的展开式中的通项有和．

令，得，则展开式中的常数项为；

令，得，则展开式中的常数项为，

所以该展开式的常数项为80-40=40.

故答案为：．

15. 设函数，集合，则如图中阴影部分表示的集合为__________．

【答案】

【解析】

【分析】集合A表示函数的定义域，集合B表示函数的值域，先求出两集合，而阴影部分表示的是从中去掉的部分即可.

【详解】因，

，

所以 ，

因为阴影部分表示的是从中去掉的部分所构成的集合，

所以阴影部分表示的集合为，

故答案为：

16. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，，，，若，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可以解决问题.

【详解】设,如下图所示，建立空间直角坐标系， ，，，，，则

所以

又因为

所以

故答案为：

四、解答题（第17题10分、第18-22题12分，共70分）

17. 已知集合 ，.

（1）命题p：x∈A，命题q: x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围:

（2）若A∩B≠求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)要使p是q的必要不充分条件，则 B  A即可；

(2)求时m的取值范围，然后求其补集.

【小问1详解】

因为p是q的必要不充分条件，所以B  A，

B集合：，所以B不可能为空集，

因为，

所以，

集合，

所以或，分别解不等式组，取并集后可得.

【小问2详解】

由（1）知，

当时：或，

解之得：或，

则时，.

18. （1）高二（10）班元旦晚会有2个唱歌节目a和b；2个相声节目c和d．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，列出所有可能的排列.

（2）甲乙丙丁戊已庚7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少种不同排法？（结果用数字表示）

（3）从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训，要求有男有女且至少有2名男教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）

【答案】（1），bcda，bdca；（2）432；（3）80

【解析】

【分析】（1）利用排列的定义即得；

（2）利用捆绑法，插空法即得；

（3）由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得.

【详解】（1）歌唱节目记为a，b，相声节目记为c，d，

满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目排列为：，bcda，bdca.

（2） 甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，

故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有种排法.

（3）选2名男教师与2名女教师，共有种选法；

选3名男教师与1名女教师，共有种选法，

所以共有种选法.

19. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为，求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角的正弦值.

【小问1详解】

设，连接，

在菱形中，为中点，且，

因为，所以，

又因为，且，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面；

【小问2详解】

作平面，以为，，轴，建立空间直角坐标系，

易知，则，，

因为，，所以为二面角的平面角，

所以，则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，由，得

取，则，，所以，

设平面的法向量为，由，得

取，则，，所以，

设二面角为，则，

又，则.

20. 某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求

（1）在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；

（2）记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件概率的计算公式即可求得答案；

（2）方法一：根据女生参加活动的人数确定变量的可能取值，计算每个取值对应的概率，可得变量的分布列，即可求得期望；

方法二：分别计算出一名女生和一名男生参加活动可获得分数的期望，设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，，计算出变量Y的期望，即可求X的期望.

【小问1详解】

设“有女生参加活动”事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B．

则，，

所以．

【小问2详解】

方法一: “选取的两人中女生人数为i”记为事件，，

则，，．

由题意知X的可能值为，“得分为分”分别记为事件，，，，，则

，，；

，，；

，，．

；

；

；

；

，

所以X的分布列为

所以．

方法二：

根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为，

一名男生参加活动可获得分数的期望为．

设恰有Y名女生参加活动，则男生有名参加活动，

，

则，，．

所以Y的分布列为

则有，

所以．

【点睛】难点点睛：本题考查了条件概率的计算，比较基础，第二问考查随机变量的期望的求解，求解的思路并不困难，但难点在于要根据变量的取值的可能情况，计算每种情况相应的概率，计算较复杂，计算量较大，需要思维缜密，计算仔细。

21. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．2022~2023学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了10名学生的竞赛成绩，得到如下表格：

记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，．经计算，．

（1）求与；

（2）规定竞赛成绩不低于60分为优秀，从这10名学生中任取3名，记竞赛成绩优秀的人数为X，求X的分布列；

（3）经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试，记这100名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的均值．

附：若，则，，．

【答案】（1），   

（2）分布列见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）由公式即可求解，

（2）根据超几何分布的概率公式，即可求解概率，进而可得分布列，

（3）根据正态分布的性质，结合区间的概率以及二项分布的期望公式即可求解.

【小问1详解】

，；

【小问2详解】

竞赛成绩“优秀”的学生有3人，则X的可能取值为0，1，2，3，

则，，

，．

则X分布列为：

【小问3详解】由题意，，，记抽查学生的测试成绩为，

则，

∴这100名学生的测试成绩恰好落在区间的入数为，

∴．

22. 如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A，B，C三个区域每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A，B，C中的某一个区域现有一款游戏：每局交10元钱随机转动上述转盘3次；每次转动转盘时，指针停留在区域A，B，C分别获得积分10，5，0；三次转动后的总积分不超过5分时获奖金2元，超过25分时获奖金50元，其余情况获奖金5元.假设每次转动转盘相互独立，且指针停留在区域A，B的概率分别是p和.

（1）设某人在一局游戏中获得总积分为5的概率为，求的最大值点；

（2）以（1）中确定的作为值，某人进行了5局游戏，设“在一局游戏中获得的总积分不低于5”的局数为，求的数学期望；

（3）有人注意到：很多玩家进行了大量局数的该游戏，不但没赚到钱，反而输得越来越多.请用概率统计的相关知识给予解释.

【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）先求得，然后利用导数求得.

（2）利用二项分布的知识求得.

（3）设每一局游戏中获得的奖金数为X，求得，利用导数求得，从而作出解释.

【详解】（1）由题可知，

所以，令，得或(舍去)，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值，故的最大值点.

（2）由（1）知，所以每一局游戏中总积分不低于5的概率

，

由题意可知，所以.

（3）设每一局游戏中获得的奖金数为X，则X的所有可能取值为2，5，50；

，

，

，

所以

，

令，则，.

因为在单调递增，所以，在单调递增，

.

所以，每局游戏获得奖金的期望远低于所交的钱数，玩得越多，输得越多.