2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县第一中学高二上学期期中模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县第一中学高二上学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．双曲线的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0，可得其渐近线的方程．

【详解】双曲线的渐近线方程是 ，即 ，

故选B．

【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单的几何性质等知识，属于基础题．

2．已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（    ）．

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据直线与两坐标轴截得等腰三角形可得直线得斜率为1或-1，利用直线方程得点斜式即可求解.

【详解】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1，

故直线方程为或，

即或.

故选：C.

3．当圆 截直线所得的弦长最短时，实数（    ）

A． B．1 C．  D．-1

【答案】D

【分析】根据直线方程得到直线经过定点，通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，再利用几何的方法得到直线时弦长最短，最后利用垂直关系列方程求解即可.

【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，直线：，即，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内部，所以当直线时弦长最短，又，所以，解得.

故选：D.

4．直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围.

【详解】∵直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示：

∴所求直线l的斜率k满足或，

，

则或，

∴，

故选：D．

5．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先利用圆心在抛物线上设出圆心和半径，再利用直线和圆相切求出圆心坐标和半径即可.

【详解】由题意设所求圆的圆心为，半径为，其中，

因为抛物线的准线方程为，

且该圆与抛物线的准线及y轴都相切，

所以，解得，

所以该圆的方程为，

即.

故选：D.

6．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ）

A．2 B． C． D．4

【答案】D

【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.

【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，

由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，

解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，

由解得，舍去，

所以.

解法2：在中，，则.

解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.

故选：D.

7．若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ）

A．个 B．个

C．个 D．个

【答案】C

【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.

【详解】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.

若∥，则；若∥，则；

若∥，则的值不存在；

若三条直线相交于同一点，

直线和联立：，直线和交点为;

直线和联立：，直线和交点为;

三条直线相交于同一点两点重合或.

故实数的取值最多有个.

故选:C

8．已知椭圆的离心率为，过右焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交得到的弦长为，且椭圆上存在4个点构成矩形，则矩形面积的最大值为（    ）

A．4 B． C．8 D．16

【答案】A

【分析】根据，得到，，设直线：，与椭圆联立，根据与椭圆相交得到的弦长为求得椭圆方程；设，其中，得到，，，然后得到矩形MNPQ的面积求解.

【详解】由题意得，，故，，，则直线：，

联立，解得，

，

故所形成的弦长为，解得，

即椭圆：.

由对称性设，其中，则，，，

则，，

故矩形MNPQ的面积，

∴，

故矩形MNPQ面积的最大值为4，

故选：A.

二、多选题

9．已知双曲线的离心率，则下列说法正确的是（    ）

A． B．双曲线的渐近线方程为

C．双曲线的实轴长等于 D．双曲线的准线为

【答案】ABC

【解析】根据双曲线的离心率公式求出的值，可判断A选项的正误；利用双曲线的几何性质可判断BCD的正误.

【详解】对于A选项，由于方程表示双曲线，则，解得，

所以，双曲线的标准方程为，则，，，

所以，，解得，A选项正确；

对于B选项，，，双曲线的渐近线方程为，B选项正确；

对于C选项，双曲线的实轴长为，C选项正确；

对于D选项，双曲线的渐近线方程为，D选项错误.

故选：ABC.

10．已知过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，则（    ）

A．的最大值为4

B．的最小值为

C．点到直线的距离的最大值为

D．的面积为

【答案】AC

【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，准线判定，即可求解.

【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，

又由点在圆内部，

因为过点的直线与圆交于两点，

所以的最大值为，所以A正确；

因为，

当直线与垂直时，此时弦取得最小值，

最小值为，所以B错误；

当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，

且最大值为，所以C正确；

由，可得，即，

所以的面积为，所以D错误.

故选：AC.

11．设椭圆的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．离心率

B．△面积的最大值为1

C．以线段为直径的圆与直线相切

D．为定值

【答案】BD

【分析】由，直接求椭圆离心率即可，将看成△的底，高的最大值即为，即可求出△面积的最大值，写出以线段为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，直接用斜率公式求解即可.

【详解】对于选项,由已知得，，则，即，故错；

对于选项,由已知得，要使△的面积最大，当底边上的高最大即可，高的最大值即为，则△的面积最大值为，故正确；

对于选项,以线段为直径的圆的方程为，则该圆的圆心到直线的距离为,即以线段为直径的圆与直线相交，故不正确；

对于选项,设点，则,

故正确.

故选：BD.

12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（    ）

A．当轴时， B．离心率

C． D．点I的横坐标为定值a

【答案】BCD

【分析】当轴时，由，得；由可得求出离心率；设的内切圆半径为，由，，用的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出；由切线的性质面积和双曲线的定义可得I的横坐标．

【详解】当轴时，，

此时，所以A错误；

∵，∴，

整理得（为双曲线的离心率），

∵，∴，所以B正确.

设的内切圆半径为r，

由双曲线的定义得，，

，，，

∵，

∴，

故，所以C正确.

设内切圆与、、的切点分别为M、N、T，

可得，.

由，

，

可得，可得T的坐标为，

即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；

故选BCD.

【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档题．

三、填空题

13．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，0），直线l的一般式方程是 __．

【答案】

【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出直线l的斜率，从而求出直线l的方程．

【详解】解：由题意，设P（x，1），Q（7，y），

∵线段PQ的中点坐标为（1，0），

∴，解得x＝﹣5，y＝﹣1，∴P（﹣5，1），

∴直线l的斜率，

故直线l的方程为y﹣0（x﹣1），即，

故答案为：．

14．设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．

【答案】0

【分析】先由双曲线的定义结合已知求得，进而可求出.

【详解】由题意得，，联立

，

因此，则．

故答案为：0.

15．已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为__________.

【答案】

【分析】由于圆上恰有3个点到的距离为1，则圆心到直线的距离等于半径减去1，列方程即可求解．

【详解】由于直线过点且斜率为1，

则直线，

圆上恰有3个点到的距离为1，

圆心到直线的距离等于半径减去1，

圆心到直线的距离为，解得．

故答案为：

16．在直线l：上取一点D做抛物线C：的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：交于M，N两点，当│MN│最小时，D的横坐标是______．

【答案】1

【分析】联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理，根据切线联立求交点，可得直线方程中的截距，可得直线过定点，根据圆中弦最小的情况，得到直线的斜率，可得最后答案.

【详解】设，且直线的方程为，

联立抛物线，可得，消去可得：，

根据韦达定理可得：，

由抛物线，求导可得：，

过的切线方程为，

过的切线方程为，

联立上式，可得：，

消去整理可得：，

两式相减整理可得：，

因为，所以，且，根据题意，可得，即，

则直线的方程为，由此该直线过定点，

由圆E：，可得，可得，

易知当时，│MN│取最小，可得直线的方程为，

所以点的横坐标.

故答案为：.

四、解答题

17．在平面直角坐标系xOy，已知△ABC的三个顶点．

(1)求BC边所在直线的一般式方程；

(2)BC边上中线AD的方程为x－2y＋t＝0（t∈R），且△ABC的面积为4，求点A的坐标．

【答案】(1);

(2)或.

【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线的斜率，即可求直线的点斜式方程，转化为一般式方程即可；

（2）根据的坐标可求及，从而可求，把点代入AD的方程可得①.利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，根据三角形面积列式可得②.联立①②即可求解.

【详解】（1）由，可得直线的斜率，

故直线的方程为，

化为一般式方程为：；

（2）由，可得的中点的坐标为，.

又由AD的方程为x－2y＋t＝0，则有,解得.

故AD的方程为x－2y＋4＝0.

由，可得①.

因为所在的直线方程为，

所以点到直线的距离.

因为的面积为4，所以②.

联立①②可得或.

故点的坐标为或.

18．已知圆的方程为：.

（1）试求的值，使圆的周长最小；

（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；

（2）由，则圆的方程为：，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.

【详解】（1），

配方得：，

当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.

（2）由（1）得，，圆的方程为：.

当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；

当直线与轴不垂直时，设为，

由直线与圆相切得：，解得，

所以切线方程为，即.

综上，直线方程为或.

19．给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．

(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；

(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，

【答案】(1)椭圆C的方程为，其“准圆”方程为

(2)

【分析】（1）依题意可得、，即可求出，从而得解；

（2）设则，即可表示出、，再根据数量积的坐标表示及二次函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：由题意知，且，可得，

故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．

（2）解：由题意，可设、，

则有，又点坐标为，所以，，

所以

，

又，所以，

所以的取值范围是．

20．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为A，B

(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

(2)求线段AB中点的轨迹方程；

(3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）把直线看成圆和圆公共弦所在的直线，求出直线方程即可得到定点；

（2）利用几何的知识得到中点的轨迹，根据轨迹求方程即可；

（3）设切线方程，利用圆心到切线的距离为半径得到，，再把表示出来求最小值即可.

【详解】（1）因为，为圆的切线，所以，所以点在以为直径的圆上，又点在圆上，所以线段AB为圆和圆的公共弦，

因为圆：①，所以，，中点为，

则圆：，整理得②，

②-①得直线AB的方程为，所以，所以直线AB过定点.

（2）∵直线AB过定点，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，

设AB的中点为点，直线AB过的定点为点，

易知HF始终垂直于FM，所以点的轨迹为以HM为直径的圆，，，

∴点的轨迹方程为；

（3）设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设PA，PB的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

则，

故当时，取得最小值为．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．

(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；

(2)设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得，根据两点间距离公式及条件即得；

（2）设直线PQ的方程为，根据直线与圆的位置关系可得，直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法即得.

【详解】（1）由双曲线，可得，

∴，设，则，

∴，

∴，

又M是C右支上一点，故，

∴，

即；

（2）设直线PQ的方程为，因直线PQ与已知圆相切，

故，即，

由，得，

设、，则，

又，

所以

，

所以．

22．已知椭圆经过点，其右焦点为.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求出离心率，

（2）设，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由可得或，可得直线经过定点，然后表示出面积，求其最大值即可.

【详解】（1）依题可得，，解得，

所以椭圆的方程为.

所以离心率.

（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，

故可设，

由可得，，

所以，

，而，即，

化简可得，

，

化简得，

所以或，

所以直线或，

因为直线不经过点，

所以直线经过定点.

设定点

，

因为，所以，

设，

所以，

当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.