高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第8章 §8.1 成对数据的统计相关性（含解析）

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§8.1　成对数据的统计相关性学习目标　1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．知识点一　相关关系1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．思考　相关关系是函数关系吗？答案　不是．函数关系是唯一确定的关系．2．相关关系的分类(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．知识点二　相关关系的刻画1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．2．样本相关系数(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\to(y)2)).(2)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]．①若r>0时，成对样本数据正相关；②若r<0时，成对样本数据负相关；③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系．(　√　)2．样本相关系数r越大，两变量的相关性越强．(　×　)3．散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性．(　√　)4．若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关．(　×　)一、变量间相关关系的判断例1　(1)(多选)下列关系中，属于相关关系的是(　　)A．正方形的边长与面积之间的关系B．农作物的产量与施肥量之间的关系C．出租车费与行驶的里程D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系答案　BD解析　A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．(2)某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：①画出散点图；②从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？解　①以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．②从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．反思感悟　两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．跟踪训练1　(多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是(　　)答案　BC解析　图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．二、样本相关系数的性质例2　(1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r如下表：则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(　　)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案　D解析　|r|越接近1，相关性越强，故选D.(2)在一组成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是(　　)A．y＝－eq \f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2答案　A解析　∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，∴这一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关．∴可排除B，C，D，故选A.反思感悟　样本相关系数的性质(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱．(2)r的绝对值越接近1，相关性越强．跟踪训练2　(1)对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(　　)A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案　C解析　由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．(2)(多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是(　　)A．|r|越大，相关程度越大B．|r|越小，相关程度越大C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系D．|r|越接近1时，线性相关程度越强答案　AD解析　对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确．综上，正确的是AD.三、样本相关系数的计算及应用例3　某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：(1)画出(x，y)的散点图；(2)计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度．解　(1)画出(x，y)的散点图如图所示．(2)eq \x\to(x)＝5，eq \x\to(y)＝47.5，eq \i\su(i＝1,4,x)eq \o\al(2,i)＝120，eq \i\su(i＝1,4,y)eq \o\al(2,i)＝9 900，eq \i\su(i＝1,4,x)iyi＝1 080，故样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2))＝eq \f(1 080－4×5×47.5,\r(120－4×529 900－4×47.52))≈0.982 7.由样本相关系数r≈0.982 7，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高．反思感悟　线性相关强弱的判断方法(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．跟踪训练3　假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：计算y与x之间的样本相关系数(精确到0.001，已知eq \i\su(i＝1,5,x)eq \o\al(2,i)＝90，eq \i\su(i＝1,5,y)eq \o\al(2,i)≈140.8，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，eq \r(79)≈8.9，eq \r(2)≈1.4)．解　∵eq \x\to(x)＝eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq \x\to(y)＝eq \f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.eq \i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq \x\to(x)eq \x\to(y)＝112.3－5×4×5＝12.3，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \o\al(2,i)－5eq \x\to(x)2＝90－5×42＝10，eq \i\su(i＝1,5,y)eq \o\al(2,i)－5eq \x\to(y)2＝140.8－125＝15.8，∴r＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq \f(12.3,\r(10×15.8))＝eq \f(12.3,\r(158))＝eq \f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq \f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.1．(多选)下列命题正确的是(　　)A．任意两个变量都具有相关关系B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系D．当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关答案　CD解析　A显然不对，B是函数关系，CD正确．2．若变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，则变量y与x之间(　　)A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还需要进一步确定D．不确定答案　B解析　变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，|r|＝0.983 2接近1，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，∴变量y与x之间有较强的线性相关关系，故选B.3．两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 9，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　)A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强答案　C解析　由样本相关系数r1＝0.785 9>0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.956 8<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选C.4．据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)答案　否解析　图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系．5．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：根据上表资料计算的样本相关系数约为________．答案　0.991 8解析　eq \x\to(x)＝eq \f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6，eq \x\to(y)＝eq \f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝31.5.∴r＝eq \f(\i\su(i＝1,10, )xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10, )xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,10, )yi－\x\to(y)2))≈0.991 8.1．知识清单：(1)相关关系．(2)散点图．(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关．(4)样本相关系数．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．1．若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系(　　)A．相关关系 B．函数关系C．无任何关系 D．不能确定答案　A2．(多选)给出下列关系，其中有相关关系的是(　　)A．人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系B．曲线上的点与该点的坐标之间的关系C．苹果的产量与气候之间的关系D．森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系答案　ACD3．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　)A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③②答案　D解析　对于(1)，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是①正相关关系；对于(2)，图中的点没有明显的带状分布，是③不相关；对于(3)，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是②负相关关系．故选D.4．(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．沸点与海拔高度呈正相关B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈负相关D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强答案　BCD解析　由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．5．变量X与Y相对应的一组成对样本数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组成对样本数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量V与U之间的样本相关系数，则(　　)A．r20，∴变量y与x之间是正相关关系．11．两个变量y与x的模型中，分别选择了4个不同模型，它们的样本相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)A.模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4答案　A12．某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是(　　)A．r40，r3>0，r2<0，r4<0，又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故r1>r3，r2