艺术生高考数学专题讲义：考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考点  简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

知识梳理

1．简单的逻辑联结词

(1) 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联接词．

(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．

(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．

(4) 一个命题p的否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．　

2.复合命题及其真假判断

(1) 复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．

(2) 复合命题p∧q，p∨q，非p以及其真假判断：

简记为：p∧q中p、q有假则假，同真则真；

p∨q有真为真，同假则假；

p与¬p必定是一真一假．

3. 全称量词与存在量词

(1) 全称量词与全称命题

短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“”表示．

含有全称量词的命题，叫做全称命题．

全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．

(2) 存在量词与存在性命题

短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示．

含有存在量词的命题，叫做存在性命题．

存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．

4. 含有一个量词的命题的否定

典例剖析

题型一  含有一个量词的命题的否定

例1　命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是_________________________．

答案  任意一个无理数，它的平方不是有理数

解析  根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

变式训练  设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：任意x∈A,2x∈B，则p 是________．

答案  存在x∈A,2x∉B

解析　命题p：任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定p应为：存在x∈A,2x∉B.

解题要点  ①要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”；

②在写出全称命题（或存在性命题）的否定时，一般要在两个地方做出变化：一是量词符号，全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词；二是命题中结论要进行否定．

③弄清命题的否定与否命题的区别

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

题型二  复合命题真假判断

例2　下列命题中的假命题是________．

①存在x∈R，sin x＝        ②存在x∈R，log2x＝1

③任意x∈R，()x>0         ④任意x∈R，x2≥0

答案　①

解析　因为任意x∈R，sin x≤1<，所以①是假命题；对于②，存在x＝2，log2x＝1；对于③，根据指数函数图象可知，任意x∈R，()x>0；对于④，根据二次函数图象可知，任意x∈R，x2≥0.

变式训练  已知命题

p：对任意x∈R，总有2x>0；

q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是________．

①                                                                                                                            p∧q　　  ②p∧q        ③p∧q     ④p∧q

答案  ④

解析　因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、p为假命题，q为真命题，p∧q、

p∧q为假命题，p∧q为真命题，故选④.

解题要点  若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：

(1)判断复合命题的结构；

(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假；

(3)依据“或”——有真则真，“且”——有假则假，“非”——真假相反，作出判断即可．

题型三  由命题真假求参数范围

例3　命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案  [－2，2]

解析  由题可知原命题的否定“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.

变式训练  已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案  {a|a≤－2或a＝1}

解析  由题意知，p为真，则a≤1；

q为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数解，从而Δ≥0，解得a≤－2或a≥1，

∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，

∴a≤－2或a＝1.

解题要点  以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先求出两命题分别为真时参数满足的条件，然后依据“p且q”“p或q”“￢p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解．

当堂练习

1. 命题“对任意,都有”的否定为                     ．

答案  对任意,使得

2．若p，q是两个简单命题，且“p或q”是假命题，则必有    ．(填序号)

①p真q真　　　　②p真q假       ③p假q假        ④p假q真

答案  ③

解析  ∵“p或q”为假命题，∴p，q均为假命题.

3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是    ．(填序号)

①￢p或q    ②p且q      ③￢p且￢q      ④￢p或￢q

答案  ④

解析  不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而￢p或￢q为真命题.

4．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断正确的是    ．(填序号)

①“p或q”为假，“非q”为假       ②“p或q”为真，“非q”为假

②                                                                                                                                                       “p且q”为假，“非p”为假      ④“p且q”为真，“p或q”为假

答案  ②

解析  ∵p为假命题，q为真命题，∴p或q真，非q假.

5．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是               ．

答案  ②③

解析　当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而￢p为假命题．

当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而￢q为真命题．

由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(￢q)为真命题；④(￢p)∨q为假命题．

课后作业

1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是_______．(填序号)

①不存在x∈R，x3－x2＋1≤0         ②存在x∈R，x3－x2＋1≤0

③存在x∈R，x3－x2＋1>0            ④对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

答案　③

2．下列命题中正确的是_______．(填序号)

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

②“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件

③命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”

④已知命题p：x∈R，x2＋x－1<0，则￢p：∃x∈R，x2＋x－1≥0

答案　②

解析　若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故①错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故②正确；选项③错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故④错．

3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是_______．(填序号)

①p∧q     ②￢p∧￢q     ③￢p∧q   ④p∧￢q

答案　④

解析　依题意，命题p是真命题．由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则￢q是真命题，p∧￢q是真命题，选④.

4．已知命题p：x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则￢p为____________________．

答案  ∀x∈R，x2＋2x＋2>0

解析  根据含有量词的命题的否定形式，所以该题中￢p为：x∈R，x2＋2x＋2>0.

5．对于下述两个命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形；q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“￢p”中真命题的个数为_______．

答案  1

解析  由题可得p假q假，∴p∧q，p∨q均为假命题，￢p为真命题.

6．下列命题中的假命题是_______．(填序号)

① x∈R，2x－1>0    ② x∈N*，(x－1)2>0   ③ x∈R，lgx<1  ④x∈R，tanx＝2

答案  ②

解析  ①项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；②项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；③项，当x＝时，lg＝－1<1；④项，当x∈R时，tanx∈R，∴x∈R，tanx＝2.故选②.

7．若命题“x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是_______．

答案　[2,6]

解析　∵命题“x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.

8．已知命题p：x∈R,2x2－2x＋1≤0，命题q：x∈R，使sinx＋cosx＝，则下列判断：

①p且q是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④非p是真命题

其中正确的是_______．(填序号)

答案  ②④

解析  由题意知p假q真，故②④正确.

9．命题“x∈R，|x|≤0”的否定是“________________”．

答案  x∈R，|x|>0

解析  根据“x∈M，p(x)”的否定为“x∈M，p(x)”可直接写出答案．

10．若命题“x∈R使x2＋2x＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是______________．

答案  m＞1

解析  由题意得x2＋2x＋m＞0恒成立，∴4－4m＜0，得m＞1.

11．命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．

答案  存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根

12．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为________________________．

答案  存在两个等边三角形，它们不相似

13．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案  [－8, 0]

解析  当a＝0时，不等式显然成立；

当a≠0时，由题意知得－8≤a<0.

综上，－8≤a≤0.