艺术生高考数学专题讲义：考点23 二元一次不等式（组）与简单的线性规划

考点二十三  二元一次不等式（组）与简单的线性规划

知识梳理

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)直线l：Ax＋By＋C＝0把直角坐标平面内的所有点分成三类：

在直线Ax＋By＋C＝0上的点；

在直线Ax＋By＋C＝0上方区域内的点；

在直线Ax＋By＋C＝0下方区域内的点．

(2) 二元一次不等式组表示的平面区域：不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域．

2．确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

(1)基本方法：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．

(2)关于边界问题：当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．

3．线性规划中的基本概念

4．利用线性规划求最值的基本步骤

(1)在平面直角坐标系内作出可行域．

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

典例剖析

题型一  二元一次不等式（组）表示的平面区域

例1　(1) 已知点P(3，－1)和A(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的两侧，则实数a的取值范围为____________．

 (2) 不等式组表示的平面区域是____________．(填序号)

①                                                                                                                   ②              ③                  ④

答案  (1) (－∞，1)∪(3，＋∞)   (2) ②

解析  (1)∵P、A在直线ax＋2y－1＝0的两侧，∴(3a－3)(－a＋3)<0，得a>3或a<1.

(2)把(0,0)代入第一条直线，满足不等式，所以在x－3y＋6＝0的下方区域（含边界），把(0,0)代入第二条直线，不满足 x－y＋2＜0，所以在直线x－y＋2＝0的上方区域（不含边界），取二者公共区域，答案为②.

变式训练  求不等式组表示的平面区域的面积．

解析  不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．

求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.

解题要点  判断在直线哪一侧，一般取特殊点，如果直线不过原点，就取原点判断；若直线过原点，就另取点(1,0)或(0,1)等判断.

题型二  求线性目标函数最值问题

例2　（2015山东文）若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为______．

答案　7

解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．∵z＝x＋3y，

∴y＝－x＋.

将直线y＝－x向上平行移动，当经过点C时，z取得最大值，由方程组

得∴C(1,2)，

∴z的最大值为zmax＝1＋3×2＝7.

变式训练  （2015新课标Ⅰ文）若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．

答案　4

解析　x,y满足条件的可行域如图所示的阴影部分,当z＝3x＋y过A(1,1)时有最大值，z＝4.

解题要点  求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法

将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．

(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；

(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．

准确做出可行域，是解决此类问题的关键.

题型三  利用线性规划求解非线性问题最值

例3　变量x，y满足

(1)设z＝，求z的最小值；

(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．

解析  由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．

由解得A.

由解得C(1，1)．

由解得B(5，2)．

 (1)∵z＝＝，

∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．

观察图形可知zmin＝kOB＝.

(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．

结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.

∴2≤z≤29.

变式训练  若实数x，y满足则的取值范围是________．

答案  [1，5]

解析  由题可知＝，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k∈[1，5]．

解题要点  解决此类问题，关键是弄清楚目标函数的几何意义，然后利用数形结合思想求解。常见的目标函数及其几何意义如下：

(1)斜率型：表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；

表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值．

(2)距离型： 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；

表示点(x，y)与点(a，b)的距离；

题型四  利用线性规划求解实际问题

例4　(2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为____________．

答案  36 800元

解析  设租用A型车x辆，B型车y辆，则约束条件为,

目标函数为z＝1 600x＋2 400y，

作出可行域，如图中阴影部分所示，

由图可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin ＝36 800(元)．

解题要点  利用线性规划求解应用题时，应仔细审题，可借助表格来分析数据间联系，从而正确列出约束条件。解题时还应注意所求解是否为整数解。对于整点问题，通常是在可行解附近寻求距直线最近的整点，或者用调整优值法寻求最优解。

当堂练习

1．（2015安徽文）已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是____________．

答案　－1

解析　约束条件下的可行域如图所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1,1)时，截距最大，此时z最大为－1.

2．（2015广东理）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为____________．

答案　

解析　不等式组所表示的可行域如下图所示，

由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝.

3. (2015湖北文)设变量x，y满足约束条件则3x＋y的最大值为________．

答案　10

解析　作出约束条件表示的可行域如图所示：

易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3,1)，(1,3)，(－1，－3)，将三个点的坐标依次代入3x＋y，求得的值分别为10,6，－6，比较可得3x＋y的最大值为10.

4．（2015天津文）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为____________．

答案　9

解析　作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l：3x＋y＝0，平移直线l可知，经过点A时，z＝3x＋y取得最大值，由

得A(2,3)，故zmax＝3×2＋3＝9.

5．（2015新课标Ⅰ理）若x，y满足约束条件则的最大值为________．

答案　3

解析　由约束条件可画出可行域，利用的几何意义求解．

画出可行域如图阴影所示，

∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，

∴点(x，y)在点A处时最大．由　得

∴A(1,3)．∴的最大值为3.

课后作业

一、    填空题

1． （2015福建理）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于____________．

答案　－

解析　如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－.

2．（2015新课标II文）若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．

答案   8

解析　

画出约束条件表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC.作直线l0：2x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线z＝x＋y在y轴上的截距最大，即z最大，解得即A(3,2)，故z最大＝2×3＋2＝8.

3．（2015陕西文）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为____________．

答案　18万元

解析　设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得

目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：

可得目标函数在点A处取到最大值．

由得A(2,3)．

则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．

4．（2015山东理）已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝____________．

答案　2

解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2,0)，

由得B(1,1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.

∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，

∴2a＝4，∴a＝2.

5．（2015广东文）若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值为____________．

答案　5

解析　如图，过点(4，－1)时，z有最大值zmax＝2×4－3＝5.

6．（2015湖南文）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值为___________．

答案　－1

解析　作出表示的平面区域如图：平移直线y＝2x－z知，过点M(0,1)时，

z最小＝－1.

7．（2015天津理）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为____________．

答案　18

解析　画出约束条件的可行域如图阴影，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0,3)，所以zmax＝0＋6×3＝18.

8．（2015福建文）变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于____________．

答案　1

解析　当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值.

当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值.

当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2,2)时截距最小，z最大为2.

当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0.

9．（2015新课标II理）若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为____________．

答案　

解析　画出约束条件

表示的可行域为如图所示的阴影三角形ABC.作直线l0：x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，即z最大，解

得即A，故z最大＝1＋＝.

10．设变量x，y满足约束条件：则目标函数z＝的最小值为__________．

答案  1

解析  不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC，目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0，－1)连线的斜率，显然图中AP的斜率最小．由解得点A的坐

标为(2,1)，故目标函数z＝的最小值为＝1.

11．已知x和y是实数，且满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值是________．

答案 

解析  做出不等式对应的可行域如图所示，由z＝2x＋3y得y＝－x＋，做直线y＝－x，平移直线y＝－x，由图象可知当直线经过C点时，直线y＝－x＋的截距最小，此时z最小，又C，代入目标函数得z＝2x＋3y＝2×＋3×＝.

二、解答题

12．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克，甲种饮料每杯能获利润0.7元，乙种饮料每杯能获利润1.2元，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？

解析  设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润，利润总额为z元．

由条件知：z＝0.7x＋1.2y，

变量x、y满足

作出不等式组所表示的可行域如图所示．

作直线l：0.7x＋1.2y＝0，

把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，z＝0.7x＋1.2y取最大值．

由方程组得A点坐标(200,240)．

答：应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．

13．实数x、y满足若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

解析  z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．

而由，得B(1,2)，则kOB＝＝2.

∴zmax不存在，zmin＝2，

∴z的取值范围是[2，＋∞)．