湖南省娄底市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年上学期高一数学月考试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60）

1.某校高中部高一年级500人，高三年级300人，现采用分层抽样的方法从高中部全体学生中随机抽取110人，其中从高一年级中抽取50人，则高二年级的人数为（    ）

A. 900 B. 700 C. 500 D. 300

【答案】D

【解析】

【分析】

根据高一年级500人，高三年级300人，得到比例关系，再根据从高一年级中抽取50人，从高中部全体学生中随机抽取110人，得到从高二年级抽取的人数，然后根据比例求高二总人数.

【详解】因为高一年级500人，高三年级300人，又从高一年级中抽取50人，

所以从高三年级中抽取30人，

又从高中部全体学生中随机抽取110人，

所以从高二年级抽取的人数为30人，

所以高二年级的人数为300人.

故选：D

【点睛】本题主要考查分层抽样，还考查了分析问题的能力，属于基础题.

2.从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，用随机数法确定这5名职工现将随机数表摘录部分如下：

从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个职工的编号为

A. 23 B. 37 C. 35 D. 17

【答案】C

【解析】

【分析】

根据采用随机数表的原则，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除.共45名职工，编号为01-45求解.

【详解】采用随机数表在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除.共45名职工，编号为01-45，

所以抽取过程中，依次出现77，94均超过编号，需要剔除，

第一个数为39，然后根据此法，抽取43，17，37，35，

故选出的第5个职工的编号是35.

故选：C

【点睛】本题主要考查系统抽样数据数表的应用，还考查了分析问题的能力，属于基础题.

3.已知随机变量，的值如下表所示，如果与线性相关，且回归直线方程为，则实数的值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

分析：根据所给的数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，即可得到答案.

详解：根据所给数据，得到，，

这组数据的样本中心点是，

线性回归直线一定过样本中心点，

，解得.

故选：D.

点睛：本题考查线性回归方程，考查数的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系.

4.从装有两个红球和三个黑球口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”

【答案】C

【解析】

分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．

详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，

在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；

在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；

在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，

但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；

在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．

故答案为：C

点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.

5.设一元二次方程，若B，C是一枚质地均匀骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

这是一个古典概型，先得到一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数的基本事件数，在根据方程有实数根的条件，得到基本事件数，代入公式求解.

【详解】B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数的基本事件共36种，

若方程有实数根，则，

基本事件有21，31，32，41，42，43，44，51，52，53，54，55，56，61，62，63，64，65，66共19种，

所以方程有实数根的概率为.

故选：D

【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

6.已知向量，，若与共线，则实数x的值为（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量，，且与共线，利用共线定理求解.

【详解】因为向量，，且与共线，

所以

所以

故选：A

【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7.函数，则命题正确的（    ）

A. 是周期为1的奇函数 B. 是周期为2的偶函数

C. 是周期为1的非奇非偶函数 D. 是周期为2的非奇非偶函数

【答案】B

【解析】

由题得函数周期为T= =2，又f(x)=sin(πx−)−1=−cosπx−1，从而得出函数f(x)为偶函数．

故本题正确答案为B．

8.在平行四边形ABCD中，，为AD的中点，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平面向量的基本定理求解.

【详解】在平行四边形ABCD中，，

所以

所以

又因为为AD的中点，

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9.已知向量与向量平行，则锐角等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量与向量平行，利用平面向量的共线定理求解.

【详解】因为向量与向量平行，

所以，

即，

所以锐角.

故选：C

【点睛】本题主要考查平面向量共线定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

10.已知，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据，且，利用诱导公式得到，

进而利用平方关系得到，然后用商数关系求解.

【详解】因为，且，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11.已知函数在处取得最大值，则函数的图象

A. 关于点对称 B. 关于点对称

C. 关于直线对称 D. 关于直线对称

【答案】B

【解析】

【分析】

利用在处取得最大值，可以求得

，再结合余弦型函数的图像判定.

【详解】因为函数在处取得最大值，

所以，即.

,令可得对称中心为，时，可得一个对称中心为，选项B正确；令可得对称轴为，选项C,D均错误，所以选B.

【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.利用整体代换的方法，可以求得对称中心和对称轴.

12.已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，若函数在区间上有两个不同的零点，则m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期，进而得到，画出求图象，将函数在区间上有两个不同的零点，转化为函数与在区间上有两个不同的交点来求解.

【详解】因为函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，

所以，

所以，

因为，画出函数的图象如图所示：

因为函数在区间上有两个不同的零点，

所以函数与在区间上有两个不同的交点，

所以m的取值范围为.

故选：B

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，共20）

13.已知向量，，．若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

由两向量共线的坐标关系计算即可．

【详解】由题可得

,即

故答案为

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

14.在矩形中，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用平面向量的加法运算求解.

【详解】在矩形中，，

所以，

故答案为：4

【点睛】本题主要考查平面向量加法运算和相等向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15.设数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据数据，，，，的方差为1，得到，再设平均数为a，利用方差公式求解.

【详解】设数据，，，，的方差为1，

即，设平均数为a，

则数据，，，，的平均数为2a，

方差为

故答案为：4

【点睛】本题主要考查方差公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

16.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.

【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，

所以，

因为，所以当时，取最小值为.

【点睛】函数的性质

（1）.

（2）周期

（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，

（4）由求增区间；由求减区间.

三、解答题（本大题共6小题，共70）

17.已知向量.

（I）当实数为何值时，向量与共线？

（II）若向量，且三点共线，求实数的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

分析】

（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；

（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．

【详解】（1）kk（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．

2（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．

∵k与2共线

∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，

即2k﹣4+5＝0，

得k．

（2）∵A、B、C三点共线，

∴．

∴存在实数λ，使得，

又与不共线，

∴，

解得．

【点睛】本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．

18.已知函数其中a常数．

（1）求的单调减区间；

（2）若时，的最大值为4，求a的值；

【答案】（1），Z；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由题意利用正弦函数的单调性，求得的单调递减区间．

（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的最大值，再根据最大值为4，求得a的值．

【详解】（1）对于，

令，Z，

得，Z，

故的单调递减区间为，Z．

（2）若时，

则，

当时，

即的最大值为，

．

【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、图象的对称性，定义域和值域，属于中档题．

19.某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.

（1）求图中x的值；

（2）求这组数据的平均数和中位数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

【答案】（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）.

【解析】

【分析】

（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x．

（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．

（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率．

【详解】（1）由，解得.

（2）这组数据的平均数为.中位数设为m，则，解得.

（3）满意度评分值在内有人，

其中男生3人，女生2人.记为

记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A

则总基本事件个数为 10个，A包含的基本事件个数为 3个，

利用古典概型概率公式可知.

【点睛】本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20.某地区某农产品近几年的产量统计如表：

（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；

（2）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.   

附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.(参考数据: ，计算结果保留小数点后两位）

【答案】（1）； （2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.

【解析】

【分析】

（1）求得样本中心点（，），利用最小二乘法即可求得线性回归方程；

（2）由（1）可知：将t=8代入线性回归方程，即可求得该地区2019年该农产品的产量估计值为7.72万吨．

【详解】（1）由题意可知：，

，

，

∴，

又，

∴关于的线性回归方程为.

（2）由（1)可得，当年份为2019年时，年份代码，此时，所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.

【点睛】求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数f（t）＝Asin（ωt+ϕ）+b来描述．

（1）根据以上数据，求出函数f（t）＝Asin（ωt+ϕ）+b的表达式；

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？

【答案】（1）

（2）货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．

【解析】

【分析】

（1）由已知，，T＝12，从而求出，由此能求出函数f（t）＝Asin（ωt+ϕ）+b的表达式．

（2）货船需要的安全水深为4.25+2＝6.25米，当f（t）≥6.25时就可以进港，由此能求出货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．

【详解】解：（1）由表格知fmax＝7.5，fmin＝2.5，

，

T＝12，∴，

即

当t＝2时，，解得，

又，∴

∴．

（2）货船需要的安全水深为4.25+2＝6.25米，

∴当f（t）≥6.25时就可以进港．

令，得

∴，

解得12k≤t≤4+12k，

又t∈[0，24），故k＝0时，t∈[0，4]；k＝1时，t∈[12，16]

即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．

【点睛】本题考查三函数在生产生活中的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．

22.如图是函数的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．

（1）求函数的解析式及上的单调增区间；

（2）若时，函数的最小值为，求实数a的值．

【答案】（1）；单调递增区间为和；（2）．

【解析】

【分析】

（1）结合图象特点和代入特殊点进行求解得出的解析式，进而根据正弦函数的单调性求单调增区间．

（2）由求出的值域，令，结合二次函数的性质进行分类讨论可求出a的值．

【详解】（1）取MN中点为H，则，

因为F为DM中点，且F在y轴上，

则，，

所以，，则，                     

，

又因为，则    

所以，

由，

得

，

又因为，则，

所以，                                     

令

  ，

又因为，则单调递增区间为和              

（2）因为，                                    

所以，                          

令，则，对称轴为，

①当时，即时，，          

②当时，即时，（舍），                                     

③当时，即时，（舍）， 

综上可得：.

【点睛】本题考查了三角函数的图象及周期，三角函数的值域及含参二次函数的值域问题，属于难题．