安徽省宣城二中2019-2020学年高一下学期第二次月考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com宣城二中2022届高一年级2019-2020学年第二学期第二次月考

理科数学试卷

一、单选题：（每小题5分，共60分．）

1. 一个球的表面积是，那么这个球的体积为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求球半径，再求球体积.

【详解】因为，所以,选B.

【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.

2. 记为等差数列的前项和，若，，则为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．

【详解】解：＝36.

故选：．

【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力．

3. 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（    ）

A. a2 B. a2 C. a2 D. a2

【答案】D

【解析】

【分析】

由斜二测画法画出正三角形的直观图，作直观图的底边的高，进而求高，再由三角形的面积公式求得结果。

【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.

由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.

故选：D.

【点睛】本题考查几何体的直观图，考查基本应用求解能力，属于基础题。求几何图形的直观图的面积，方法一，根据斜二测画法，作出直观图，再求直观图的面积；方法二，直观图的面积与原平面图形的面积比为。

4. 函数的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

由题意，得

；故选A.

5. △ABC中，已知tanA=，tanB=，则∠C等于（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°

【答案】D

【解析】

【分析】

利用三角形内角和为，可得：，利用两角和公式和已知条件，即可得解.

【详解】在△ABC中，

，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.

6. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是 ，则 b=（    ）

A. 1+  B.  C.  D. 2+

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角形面积得，由余弦定理结合已知条件可得．

【详解】由已知，，

所以，解得．

故选：A．

【点睛】本题考查三角形面积公式，考查余弦定理，解题方法是直接法，直接利用余弦定理列出的方程即可求解．

7. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.

【详解】因为，

所以由正弦定理可得，

，

所以，所以是直角三角形.

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

8. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（     ）

A 100 B.

C. 300 D. 400

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．

【详解】设大圆锥的高为，所以，解得．

故．

故选：B．

【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．

9. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

当m=0时,，不等式成立；

设，

当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m<0且△<0

得到：解得−4<m<0.

综上得到−4<m⩽0.

故选B.

10. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式恒 成立的的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：先解一元二次不等式得，再根据定义求结果.

详解：因为，所以

因为，所以,

选C.

点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.

11. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（    ）

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

【答案】C

【解析】

【分析】

不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形．

【详解】如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）

      　　图1                      　　图2                        图3

假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形．

故选：C．

【点睛】本题主要考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，掌握正方体以及平面图形的几何特征，难点是借助于反证法，利用面面平行的性质定理判定C错误，属于基础题．

12. 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=4，则V的最大值是

A. 4π B.  C. 6π D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．

【详解】解：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，

∴AC＝10．

故三角形ABC的内切圆半径r2，

又由AA1=4，

故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，

此时V的最大值，

故选D．

【点睛】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱柱的内切球问题，根据已知求出球的半径，是解答的关键．

二、填空题：每小题5分，共20分（请将答案填在答题卷上）

13.           ．

【答案】

【解析】

【分析】

根据两角差的正切公式，可直接求出结果.

【详解】.

故答案为

【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.

14. 各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

由等比数列中的，，成等差数列列方程，可求出等比数列的公比，从而可求出结果.

【详解】由成等差数列得，由是等比数列得，化简得，因为各项为正数，解得．所以．

故答案为：

【点睛】此题考查等差中项，等比数列的基本量计算，属于基础题.

15. 若正数满足，则的最小值是___________.

【答案】5

【解析】

【详解】试题分析：，

，

当且仅当，即时取等号．

考点：基本不等式

16. 在三棱锥中，，，，当三棱锥的体积取最大时，其外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】

易得当平面时，三棱锥的体积取最大，根据，，，得到，则三棱锥截取于长方体求解.

【详解】因为，，，

所以，

当平面时，三棱锥的体积取最大，

则三棱锥截取于长方体，

如图所示：

此时，外接球的直径为，

所以半径为：，

所以外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查几何体的结构特征以及外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题：6小题，共70分（解答应写出必要的演算步骤和计算过程）

17. 在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】

(1)利用等差数列的性质得到,再根据公差公式求出公差,然后可写出通项公式;

(2)由(1)的通项公式求出首项,再根据等差数列的前项和公式可得.

【详解】设等差数列的公差为,

（1）∵，,

所以,

则,

（2），.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和的公式以及运算求解能力,属于基础题.

18. 已知函数

（I）求的值

（II）求的最小正周期及单调递增区间.

【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．

（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．

【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，

＝﹣cos2xsin2x，

＝﹣2，

则f（）＝﹣2sin（）＝2，

（Ⅱ）因为．

所以的最小正周期是．

由正弦函数性质得

，

解得，

所以，的单调递增区间是．

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．

19. 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积．

【答案】表面积为π，体积为π.

【解析】

【分析】

由已知三角形ABC为直角三角形，斜边AB为轴旋转一周，所得旋转体是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；又由该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．

【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，

这两个圆锥高的和为AB＝5，

底面半径DC＝＝，

故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.

V＝π·DC2·AD＋π·DC2·BD＝π·DC2(AD＋BD)＝π.

即所得旋转体的表面积为π，体积为π.

【点睛】本题考查圆锥的体积和表面积，其中根据已知判断出旋转所得旋转体的形状及底面半径，高，母线长等关键几何量，是解答本题的关键．

20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.

（I）求角；

（Ⅱ）若，，，求的长，

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（I）利用正弦定理将边化角为，再结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式即可得到B．

（Ⅱ）利用余弦定理先求出进而得到，由正弦定理即可得到的长．

【详解】（I）由，得，

，

，∵，∴，∴.

（Ⅱ）在中，，，，

由余弦定理得，所以，

在中，， ，由正弦定理，得，

所以.

【点睛】本题关键是要掌握正弦定理变形公式，，，，将边化为角来处理问题，在解三角形时，往往三角形内角和定理最容易忽略的，利用内角和定理可简化未知角的数量．

21. 在正项等比数列{}中，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件且可解得公比,再代入通项公式即可得到;

(2)利用错位相减法可求得.

【详解】设正项等比数列{an}的公比为(,

（1）∵∴所以

∴q＝2，(舍去)

所以；

（2）∵，

∴，①

，②

①﹣②得＝，

∴.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.

22. 某种汽车，购车费用是10万元，第一年维修费用是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，且每年的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元.

（1）设这种汽车使用年（）的维修费用的和为万元，求的表达式；

（2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？

【答案】(1)，；(2)10年

【解析】

【分析】

（1）由题意，维修费是以0.2为首项，0.2为公差的等差数列，再由等差数列的前项和求汽车使用年的维修费用的和；

（2）设汽车使用年年平均费用为，则，然后利用基本不等式求最值．

【详解】（1）由题意，维修费是以0.2为首项，0.2为公差的等差数列，

则汽车使用年的维修费用的和为，．

即，；

（2）设汽车使用年年平均费用为，

则，

，当且仅当，即时，最小．

答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小．

【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．