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第1章 勾股定理 素养集训利-用勾股定理解题的九种常见题型 作业课件
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素养集训第一章 勾股定理利用勾股定理解题的九种常见题型1.【教材P16复习题T1变式】【中考·淮安】如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为( )A.5 B.6C.7 D.25A2.如图,在四边形ABFC中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2=2AB2-CD2.试说明:AB=BC.【点方法】当已知条件中有线段的平方关系时,应选择用勾股定理说明.应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤:1.找出图中说明结论所要用到的直角三角形;2.根据勾股定理写出三边长的平方关系;3.联系已知,等量代换,即可得解.解:因为CD⊥AD,所以∠ADC=90°,即△ADC是直角三角形. 由勾股定理得AD2+CD2=AC2.因为AD2=2AB2-CD2,所以AD2+CD2=2AB2.所以AC2=2AB2.因为∠ABC=90°,所以△ABC是直角三角形.由勾股定理得AB2+BC2=AC2,所以AB2+BC2=2AB2.所以BC2=AB2,即AB=BC.3.【2022·昆明三中月考】如图,∠C=90°,AM=CM,MP⊥AB于点P.试说明:BP2=BC2+AP2.解:如图,连接BM.因为MP⊥AB,所以△BMP和△AMP均为直角三角形.所以BP2+PM2=BM2,AP2+PM2=AM2.同理可得BC2+CM2=BM2,所以BP2+PM2=BC2+CM2.因为CM=AM,所以CM2=AM2=AP2+PM2.所以BP2+PM2=BC2+AP2+PM2. 所以BP2=BC2+AP2.4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度.【点技巧】当已知条件比较分散且无法直接使用时,往往通过作辅助线构造特殊三角形进行计算.5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4.将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′的长为多少?解:在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25,所以AC=5.由折叠得AB′=AB=3,B′E=BE,∠AB′E=∠B=90°.设B′E=BE=x,则CE=4-x.6.【教材P5例题变式】如图,某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m,到车站(D点)的距离为500 m.现要在公路边上建一个商店(C点),使之到学校A及到车站D的距离相等,求商店C与车站D之间的距离.解:设CD=x m,则AC=x m.如图,作AB⊥l于点B,则AB=300 m.在Rt△ABD中,AD2=AB2+BD2,AB=300 m,AD=500 m,所以BD=400 m. 所以BC=(400-x)m.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,所以x2=3002+(400-x)2,解得x=312.5.所以商店C与车站D之间的距离为312.5 m.7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动的时间为t s.(1)求BC边的长;解:在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,所以BC=4 cm.(2)当△ABP为直角三角形时,借助图①求t的值;解:由题意知BP=t cm,当△ABP为直角三角形时,有两种情况:Ⅰ.如图①,当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,即t=4.Ⅱ.如图②,当∠BAP为直角时,BP=t cm,CP=(t-4)cm,AC=3 cm.在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2;(3)当△ABP为等腰三角形时,借助图②求t的值.解:当△ABP为等腰三角形时,有三种情况:Ⅰ.如图①,当BP=AB时,t=5.Ⅱ.如图②,当AB=AP时,BP=2BC=8 cm,则t=8.Ⅲ.如图③,当BP=AP时,AP=BP=t cm,CP=|t-4|cm,AC=3 cm.在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,8.如图,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点.已知油罐的底面周长是12 m,高AB是5 m,问:梯子最短需要多长?解:圆柱的侧面展开图如图所示.由题意知AA′=12 m,A′B′=5 m,连接AB′.在Rt△AB′A′中,AB′2=AA′2+B′A′2=122+52=169=132,所以AB′=13 m.答:梯子最短需要13 m长.9.【教材P19复习题T12改编】如图,已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么蚂蚁爬行的最短路程是多少?【点方法】确定几何体上的最短路线时,我们往往无法直接求解,这时就需要利用转化思想把曲面转化为平面,把曲线转化成直线,再通过构造直角三角形,利用勾股定理求解.注意:展开的方式不同,结果就会不同,需要比较之后得出结论.解:分三种情况:如图①,连接AB′,在Rt△ABB′中,由勾股定理得AB′2=AB2+BB′2=(2+1)2+42=25;如图②,连接AB′,在Rt△ACB′中,由勾股定理得AB′2=AC2+B′C2=22+(4+1)2=4+25=29;如图③,连接AB′,在Rt△ADB′中,由勾股定理得AB′2=AD2+B′D2=12+(4+2)2=1+36=37.因为25<29<37,所以第一种情况路程最短,此时AB′=5 cm.所以蚂蚁爬行的最短路程是5 cm.
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