高考数学压轴难题归纳总结培优专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害 (含解析)

【题型综述】

点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，则点在圆内；点在圆外；点在圆上．③方程法，已知圆的方程，点，则点在圆内；点在圆上；点在圆外.

四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.

【典例指引】

类型一  向量法判定点与圆的位置关系

例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；                                                    

(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，

判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得

解得，

所以椭圆E的方程为．

(Ⅱ)设点AB中点为．

由

所以从而.

所以.

         ,

故

所以，故G在以AB为直径的圆外．

所以不共线，所以为锐角.

故点G在以AB为直径的圆外．

类型二 四点共圆应用问题

例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.

（I）求C的方程；

（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.

类型三 动圆过定点问题

例3(2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆的方程。

（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：

     在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

 （法2）由得，

∵动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，

即，化简得             ①

此时==，==，∴(,),

由得(4，).

假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,

设(,0)，则=0对满足①式的，恒成立.

∵=(－,),=(4－，)，

∴=0，整理得，   ②

∴，解得=1，

∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.

∵=(－1,),=(3，)，

∴==0，

∴恒有，   ∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.

类型四 证明四点共圆

例4.    已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足

(Ⅰ)证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

【扩展链接】

1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.

2.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设

过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①

；②

若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设

过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①

；②

同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）

结论：椭圆过焦点弦长公式：

3.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则

①.  

②.     

③.

④.；

⑤.；

⑥.；

【同步训练】

1． 已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

【思路点拨】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．

（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．

（2）假设存在这样的值．

，

得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

则

而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），

当且仅当CE⊥DE时，

则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，

∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③

将②代入③整理得k=，

经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．

2.已知椭圆的右焦点为，离心率为.

（1）若，求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.

【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.

(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.

因为，所以，.

所以，即.

3.已知椭圆： 过点，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；

（2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．

 4.已知椭圆： 的焦点、在轴上，且椭圆经过，过点的直线与交于点，与抛物线： 交于、两点，当直线过时的周长为．

（Ⅰ）求的值和的方程；

（Ⅱ）以线段为直径的圆是否经过上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。

【思路点拨】（1）由的周长为求得a,再根据椭圆经过求得m.

（2）设直线方程 ，与抛物线方程联立方程组，消x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理，化简以线段为直径的圆方程，按参数n整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标

5.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.

（1）求抛物线的方程；

（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；

（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.

【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；
（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；
（3）设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，由，即，进而化简求出，得： ， ，即可求得△ABD面积的最小值．

（3）如图所示，

设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，

则有， ，所以， ， ，

又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以，

即，将代入得：

6.已知椭圆： （）经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线： （， ）交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】（1）由题设知a= ，所以     ，椭圆经过点P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求椭圆方程.

（2）首先求出动直线过（0，﹣）点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+（y+）2=；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出点T的坐标．

（2）首先求出动直线过点.

当与轴平行时，以为直径的圆的方程：

当与轴平行时，以为直径的圆的方程：

由解得

即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点.

证明如下：

当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点

当直线不垂直于轴，可设直线：

由消去得：

7.如图，曲线由上半椭圆： （， ）和部分抛物线： （）连接而成， 与的公共点为， ，其中的离心率为．

（1）求， 的值；

（2）过点的直线与， 分别交于点， （均异于点， ），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半椭圆的左、右顶点，设半焦距为，由及，联立解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，由题意知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），代入的方程，整理得： ，设点的坐标为，由根公式，得点的坐标为，同理，得点的坐标为．由 ，即可得出的值，从而求得直线方程.

8.已知过点的椭圆的左右焦点分别为， 为椭圆上的任意一点，且成等差数列.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.

【思路点拨】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出的关系，再根据椭圆过点，求出的值，即可写出椭圆的标准方程；

（2）设，根据题意知，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解，再由点在以为直径的圆外，得为锐角， ，由此列出不等式求出的取值范围.

（2）设， ，联立方程，消去得：

；

依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴， ，①

由方程的根与系数关系可得， ；②

可得 ；③

由①②③，解得， ；

由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；

由， ，

∴；即，

整理得， ，解得： 或.

∴实数的取值范围是或.

9.已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．

（1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．

【思路点拨】（1）利用抛物线的定义，即可求动点M的轨迹E的方程；

（2）由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论．

所以NA⊥NP，

所以点N在以PA为直径的圆C上．

10.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．

（Ⅰ）求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）已知椭圆C2：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．

【思路点拨】（1）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．

（2）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出•＞0，然后求解k的范围即可．

由△＞0，即（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0，k＞或k＜﹣…①…（10分）

∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则•＞0，

∴•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣4）•（kx2﹣4）=（k2+1）x1x2﹣4k（x1+x2）+16

=（k2+1）×﹣4k×+16

=＞0，解得：﹣＜k＜…②

由①、②得实数k的范围是﹣＜k＜﹣或＜k＜，

∴k的取值范围（﹣，﹣）∪（，）．…（12分）

11.已知双曲线渐近线方程为， 为坐标原点，点在双曲线上．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．

【思路点拨】（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；

（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。

12.已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点G（0， ）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）直线l的方程可设为 ，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得 ，即 ．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．

【详细解析】（1）由圆F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），则F2（﹣1，0），

由题意得 ，

∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，

∵

∴点M的轨迹C的方程为；