高考数学压轴难题归纳总结培优专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析 (含解析)

【题型综述】

探究向量关系问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.

【典例指引】

类型一  探究向量式是否为定值

例1 【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且＝－1

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

类型二  探究向量式是否成立

例2. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.

(1)求的方程；

(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.

是,联立直线与椭圆可得

,因为直线与椭圆只有一个交点,

所以,化简可得,因此

,

于是,即,所以,

综上不存在符合题目条件的直线.

类型三 探究向量式成立的条件

例3【2013年高考，天津卷理】设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点，且, 若存在，求k的值，不存在，说明理由..

=，

由已知得=8，解得.

类型四 利用向量探究曲线过定点

例4. (2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆的方程。

（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：

     在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

(法3) 由得，

∵动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，

即，化简得             ①

此时==，==，∴(,),

由得(4，).

假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,

【扩展链接】

1. 设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过焦点F且斜率为的直线交曲线于两点，若，则.
2. 在圆锥曲线中，过焦点F不垂直于坐标轴的弦为，其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于，则.

3.已知椭圆的两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交于两点，若，则直线一定过或.

4.如果平面内有三点不共线，设.

【同步训练】

1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．

【思路点拨】（1）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．

（2）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，

∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，

当m≠0时，由+λ=4，得，

∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒

设A（x1，y1），B（x2，y2）

由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，

由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0

且x1+x2=，x1x2=．

由得x1=﹣3x2

3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0

显然m2=1不成立，∴

∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．

解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．

综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}

2.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知动直线l过点F2，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得•=﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=c，把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；

（2）设Q（m，0），讨论直线l的斜率，求出A，B坐标，列方程解出m．

3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1（﹣，0），M（1，y）（y＞0）为椭圆上的一点，△MOF1的面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点T在圆x2+y2=1上，是否存在过点 A（2，0）的直线l交椭圆C于点 B，使=（+）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）由已知列式c=，，∴，得a2，b2即可；

（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，

=（+）=，得T（）代入 圆C1，可得化为176k4﹣24k2﹣5=0可求得k．

4.已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l过右焦点（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0，0），使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．

【思路点拨】（1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3，c=，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；

（2）方法一：设直线l：x=my+，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，•=t   则（4x02﹣36）m2+9x02﹣18x0+29=t（4m2+9），比较系数，即可求得x0=，在x轴上存在一个定点P（，0），使得•的值为定值（﹣）；

方法二：分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，令•=t   则（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18x0+29=9 t且4x02﹣36=4t，即可求得x0=，此时t的值为﹣．

解法二：当直线与x轴不垂直时，设直线l方程为：y=k（x﹣），代入椭圆方程并消元整理得：

（9k2+4）x2﹣18k2x+45k2﹣36=0…①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则是方程①的两个解，由韦达定理得：

x1+x2=，x1x2=，

 y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2（ x1x2﹣（x1+x2）+5）=﹣，

•=（x1﹣x0，y1）•（x2﹣x0，y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2，

=，

令•=t   则（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），

9x02﹣18x0+29=9 t且   4x02﹣36=4t，

解得：x0=，此时t的值为﹣，

当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=，代入椭圆方程解得：A（，﹣），B（，），

•=（﹣，﹣）•（﹣，）=﹣=﹣，

∴当直线l与x轴垂直时，•也为定值﹣，

综上，在x轴上存在一个定点P（，0），使得•的值为定值（﹣）．

5.如图已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M，N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求•的最小值，并求此时圆T的方程．

【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；

（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，﹣n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．

6.已知椭圆的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y﹣2=0相切．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）对于直线l：y=x+m和点Q（0，3），椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3•=32，若存在实数m的值，若不存在，说明理由．

【思路点拨】（1）由椭圆的离心率，得b=c，写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点到直线的距离列式求得b，c的值，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；

（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y=﹣x+n．联立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△＞0解得n的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得m的范围，最后由3•=32求得m的值．

（2）由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：y=﹣x+n．

联立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，

由△=（﹣4n）2﹣12（2n2﹣2）=24﹣8n2＞0，解得．

，，

设直线AB之中点为P（x0，y0），则，

由点P在直线AB上得：，

又点P在直线l上，∴，则…①．

又，，

∴

=，

解得：或m=﹣1…②

综合①②，知m的值为．

7.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA、TB的斜率之积为﹣．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C交于P、Q两点，求•+•的取值范围．

【思路点拨】（1）求得直线TA，TB的斜率，由•=﹣，即可求得椭圆C的方程；

（2）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得•+•的取值范围．

==﹣20+．…（8分）

﹣20＜•+•≤﹣，…（10分）

当直线PQ斜率不存在时•+•的值为﹣20，

综上所述•+•的取值范围为[﹣20，﹣]．…（12分）

8.已知抛物线E：x2=4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．

（1）若点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值；

（2）过A，B分别作抛物线E的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，求的值．

【思路点拨】（1）由题意设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，根据函数的单调性即可求得四边形OACB面积的最小值；

（2）求导，利用点斜式方程，求得求得切线l1，l2的方程，联立求得P点坐标，根据向量的坐标运算，即可求得的值．

 9.已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求•的取值范围．

【思路点拨】（1）先利用点A在圆上求出m，再利用直线PF1与圆C相切求出直线PF1与的方程以及c，再利用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；

（2）先把用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围．

（2），设Q（x，y），

，．

∵，即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2≥2|x|•|3y|，

∴﹣18≤6xy≤18．

则（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范围是[0，36]．

∴x+3y的取值范围是[﹣6，6]

∴x+3y﹣6的范围只：[﹣12，0]．

即的取值范围是[﹣12，0]．

10.若椭圆E1：与椭圆E2：满足，则称这两个椭圆相似，m叫相似比．若椭圆M1与椭圆相似且过点．

（1）求椭圆M1的标准方程；

（2）过点P（﹣2，0）作斜率不为零的直线l与椭圆M1交于不同两点A、B，F为椭圆M1的右焦点，直线AF、BF分别交椭圆M1于点G、H，设，，求λ1+λ2的取值范围．

【思路点拨】（1）根据题意，设椭圆M1的标准方程为，由“椭圆相似”的性质分析可得，，解可得a2、b2的值，代入椭圆的方程即可得答案；

（2）设直线l的斜率为k，以及A、B、G、H的坐标，可以表示、的坐标，分“AG与x轴不垂直”和“AG与x轴垂直”两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得λ1+λ2范围，即可得答案．

得，∴λ1=3﹣2x1，

当AG与x轴垂直时，点A的横坐标为1，λ1=1，λ2=3﹣2x1成立，

同理可得λ2=3﹣2x2，

设直线l的方程为y=k（x+2），

代入椭圆方程，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，

则，

得，，，

，

由得，

即λ1+λ2范围为（6，10）．

11.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为圆F1、F2，M是C上一点，|MF1|=2，且||||=2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时，线段AB上取点Q，且Q满足||||=||||，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线的方程．

【思路点拨】（1）由已知得a=2c，且∠F1MF2=60°，由余弦定理求出c=1，即可求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；

（2）设直线l的方程为y=kx+（1﹣4k），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线方程．

证明：（2）由题意可得直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣4），即y=kx+（1﹣4k），

代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，．

设Q（x0，y0），由||||=||||，得：

（4﹣x1）（x0﹣x2）=（x1﹣x0）（4﹣x2）（考虑线段在x轴上的射影即可），

∴8x0=（4+x0）（x1+x2）﹣2x1x2，

于是，

整理得3x0﹣2=（4﹣x0）k，①

又k=，代入①式得3x0+y0﹣3=0，

∴点Q总在直线3x+y﹣3=0上．

12.如图，椭圆E：，点P（0，1）在短轴CD上，且

（1） 求椭圆E的方程及离心率；

（2） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）由已知可得点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b）．结合•=﹣2列式求得b，则椭圆方程可求，进一步求出c可得椭圆的离心率；

（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积•+λ•，可知当λ=2时，•+λ•=﹣7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，仍有•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．