2020年高考数学真题分类汇编06 平面向量 (含解析)

06平面向量

1.（2020•北京卷）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.

【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，，

则点，，，

因此，，.故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

2.（2020•全国1卷）设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【解析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.

【详解】因为为单位向量，所以

所以

解得：,所以,故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

3.（2020•全国2卷）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k＝__________.

【答案】

【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.

【详解】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：.故答案为：．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.（2020•全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【详解】，，，.

，

因此，.故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

5.（2020•江苏卷）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则CD的长度是________．

【答案】

【解析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】∵三点共线，∴可设，∵，

∴，即，

若且，则三点共线，∴，即，

∵，∴，∵,,，∴，

设，，则，.

∴根据余弦定理可得，，

∵，∴，解得，∴的长度为.

当时， ，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．

6.（2020•新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

7.（2020•天津卷）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.

【详解】，，，

，解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

8.（2020•浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值.

【详解】，，，

.故答案为：.

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.