新高考数学一轮复习课时讲练 第10章 第6讲　离散型随机变量及其分布列 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第10章 第6讲　离散型随机变量及其分布列 (含解析)，共12页。试卷主要包含了随机变量的有关概念，离散型随机变量的分布列及其性质，两点分布，1＋0.3＋0.3＝0.7.，已知离散型随机变量X的分布列为，已知随机变量ξ只能取三个值，若离散型随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

第6讲　离散型随机变量及其分布列

1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及其性质
(1)概念：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②pi＝1．
3．两点分布
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率.

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．(　　)
(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　)
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(　　)
(5)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．(　　)
X
2
5
P
0.3
0.7
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
[教材衍化]
1．(选修2­3P77A组T1改编)设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p＝________．
解析：由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
所以p＝1－＝.
答案：
2．(选修2­3P49A组T1改编)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0，1，2，3.
答案：0，1，2，3
3．(选修2­3P49A组T5改编)设随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P

m


则P(|X－3|＝1)＝________．
解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝＋＝.
答案：
[易错纠偏]
随机变量的概念不清.
袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球　　　 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
解析：选C.A，B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.


　　　　　　离散型随机变量的分布列的性质
设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
【解】　由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
(1)2X＋1的分布列为
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列为
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3

(变问法)在本例条件下，求P(1 解：由本例知，m＝0.3，
P(1 0．1＋0.3＋0.3＝0.7.

离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．　

1．设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值为(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．4
C．10 D．不确定
解析：选C.“X＜4”的含义为X＝1，2，3，所以P(X＜4)＝＝0.3，所以n＝10.
2．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.
答案：　

　　　　　　离散型随机变量的分布列(高频考点)
离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：
(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；
(2)古典概型的离散型随机变量的分布列；
(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)
角度一　用频率代替概率的离散型随机变量的分布列
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
【解】　(1)P(当天商店不进货)
＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
所以X的分布列为
X
2
3
P


角度二　古典概型的离散型随机变量的分布列
(2020·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．
(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；
(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
【解】　(1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A，
P(A)＝＝，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为.
(2)X的可能取值为3，4，5.
P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝，所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
P




离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．　
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
[提醒]　求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．
　某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．
解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为＝，
则≥，
化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，
故n的最大值为16.
(2)由题意得，X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
X的分布列为
X
0
1
2
P



[基础题组练]
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.设X的分布列为
X
0
1
P
p
2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.
2．设随机变量Y的分布列为
Y
－1
2
3
P

m

则“≤Y≤”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.依题意知，＋m＋＝1，则m＝.
故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.
3．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a


若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.
4．已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
1－2q
q
则P(∈Z)＝(　　)
A．0.9　　　　　　　　　 B．0.8
C．0.7 D．0.6
解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q＋q＝1，解得
q＝0.3，所以P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.
5．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．
解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，
其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
答案：
6．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝，
由得－≤d≤.
答案：
7．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c＝________，P(X＝1)＝________．
解析：由分布列的性质知，
解得c＝，故P(X＝1)＝3－8×＝.
答案：　
8．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．
解析：X的所有可能值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



答案：
X
0
1
2
P



9.抛掷一枚质地均匀的硬币3次．
(1)写出正面向上次数X的分布列；
(2)求至少出现两次正面向上的概率．
解：(1)X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)至少出现两次正面向上的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．(2020·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．
(1)求该顾客中奖的概率；
(2)求该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．
解：(1)该顾客中奖的概率P＝1－＝1－＝.
(2)X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
故X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P





[综合题组练]
1．(2020·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；
(2)记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列．
解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则P(B)＝＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝.
(2)X的取值为1，2，3，4，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P




2.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．

(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求X的分布列．
解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为
X
－2
－1
0
1
P




3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X表示终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量X的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
解：(1)设袋中原有n个白球，
由题意知＝＝＝，
所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．
即袋中原有3个白球．
(2)由题意知X的可能取值为1，2，3，4，5.
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
所以取球次数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P





(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球．
设“甲取到白球”的事件为A，
则P(A)＝P(X＝1或X＝3或X＝5)．
因为事件“X＝1”“X＝3”“X＝5”两两互斥，
所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝.