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    新高考数学一轮复习课时讲练 第10章 第5讲 古典概型 (含解析)
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    新高考数学一轮复习课时讲练 第10章 第5讲 古典概型 (含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第10章 第5讲 古典概型 (含解析),共14页。试卷主要包含了基本事件的特点,古典概型等内容,欢迎下载使用。

    第5讲 古典概型

    1.基本事件的特点
    (1)任何两个基本事件都是互斥的.
    (2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件).
    2.古典概型
    (1)特点
    ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性.
    ②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性.
    (2)概率公式
    P(A)=.

    [教材衍化]
    1.(必修3P127例3改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片,随机地抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________.
    解析:抽取两张卡片的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种,和为奇数的事件有:(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种.所以所求概率为=.
    答案:
    2.(必修3P145A组T5改编)袋中装有6个白球, 5个黄球,4个红球.从中任取一球,则取到白球的概率为________.
    解析:从袋中任取一球,有15种取法,其中取到白球的取法有6种,则所求概率为P==.
    答案:
    3.(必修3P134A组T6改编)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为________.
    解析:从5件产品中任取2件共有C=10(种)取法,恰有一件次品的取法有CC=6(种),所以恰有一件次品的概率为=0.6.
    答案:0.6


          求古典概型的概率(高频考点)
    求古典概型的概率问题是高考考查的热点.主要命题角度有:
    (1)直接列举法;(2)图表、树型法;
    (3)逆向思维法;(4)对称性法.
    角度一 直接列举法
    袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两个,求下列事件的概率.
    (1)取出的两球都是白球;
    (2)取出的两球一个是白球,另一个是红球.
    【解】 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6,从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下:
    (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.
    (1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的方法数,即是从4个白球中任取两个的方法数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).
    所以取出的两个球全是白球的概率为P==.
    (2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个是红球,而另一个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个.
    所以取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为P=.
    角度二 图表、树型法
    一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球,则摸出2个黑球的概率为____________.
    【解析】 如图所示,所有结果组成的集合U含有6个元素,故共有6种不同的结果.

    U的子集A有3个元素,故摸出2个黑球有3种不同的结果.
    因此,摸出2个黑球的概率是P==.
    【答案】 
    角度三 逆向思维法
    同时抛掷两枚骰子,则至少有一个5点或6点的概率为____________.
    【解析】 至少有一个5点或6点的对立事件是:没有5点或6点.因为没有5点或6点的结果共有16个,而抛掷两枚骰子的结果共有36个,所以没有5点或6点的概率为P==.至少有一个5点或6点的概率为1-=.
    【答案】 
    角度四 对称性法
    有A,B,C,D,E共5人站成一排,则A在B的右边(A,B可以不相邻)的概率为____________.
    【解析】 由于A,B不相邻,A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的,且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数,所以A在B的右边的概率是.
    【答案】 

    (1)
    (2)求较复杂事件的概率问题的方法
    ①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解.
    ②先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式求解. 

    1.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(  )
    A.           B.
    C. D.
    解析:选C.所求概率为P==.
    2.(2020·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1,2,2,3,4,5”的6个大小、质量相同的小球,某人从袋子中一次任取3个球,若每个球被取到的机会均等,则取出的3个球编号之和大于7的概率为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B.由题设取三个球的所有可能有n=C==20,其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1,2,2),(1,2,3),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,4),(2,2,3),共6种,其概率P==,所以3个球编号之和大于7的概率为P′=1-=.
    3.(2020·温州八校联考)依次从标号为1,2,3,4,5的五个黑球和标号为6,7,8,9的四个白球中随机地各取一个球,用数对(x,y)表示事件“抽到两个球标号分别为x,y”.
    (1)问共有多少个基本事件?并列举出来;
    (2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率.
    解:(1)共有20个基本事件,列举如下:(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),共20个.
    (2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A,由(1)可知事件A共含有7个基本事件,列举如下:(1,8),(1,9),(2,7),(2,8),(3,6),(3,7),(4,6),共7个.“抽取的标号之和大于12”记作事件B,则事件B包含:(4,9),(5,8),(5,9),共3个.故P(A)+P(B)=+=,故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概率为.

          古典概型与其他知识的交汇(高频考点)
    近几年高考对交汇型古典概型问题有所侧重.主要命题角度有:
    (1)与平面向量的交汇;
    (2)与函数(方程)的交汇;
    (3)与解析几何的交汇.
    角度一 与平面向量的交汇
    从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为(  )
    A. B.
    C. D.
    【解析】 由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.
    因为m⊥n,即m·n=0,
    所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,
    满足条件的有(3,3),(5,5),共2个,
    故所求的概率为.
    【答案】 A
    角度二 与函数(方程)的交汇
    已知|p|≤3,|q|≤3,当p,q∈Z,则方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根的概率是________.
    【解析】 由方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根,可得Δ=(2p)2-4(-q2+1)>0,即p2+q2>1.

    当p,q∈Z时,设点M(p,q),
    如图,直线p=-3,-2,-1,0,1,2,3和直线q=-3,-2,-1,0,1,2,3的交点,即为点M,共有49个,其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点).当点M(p,q)落在圆p2+q2=1外时,方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根,
    所以方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根的概率P==.
    【答案】 
    角度三 与解析几何的交汇
    甲、乙两颗质地均匀且形状为正方体的骰子,它的六个面上的点数依次为1,2,3,4,5,6,现将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a,b分别表示掷甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数.
    (1)若“点M(a,b)落在直线x+y=6上的事件”记为A,求事件A的概率;
    (2)若“点M(a,b)落在圆x2+y2=25内部的事件”记为B,求事件B的概率.
    【解】 (1)先后抛掷甲、乙两颗骰子所得的点M(a,b)共有36个,其中落在直线x+y=6上的点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个点,
    所以P(A)=.
    (2)同(1),落在圆x2+y2=25的内部的点共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),共13个点,
    所以P(B)=.

    求解古典概型与其他知识交汇问题的思路
    解决古典概型与其他知识交汇问题,其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根的情况转化为概率模型,再按照求古典概型的步骤求解. 
     设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=ax2+bx+1.
    (1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;
    (2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.
    解:(1)由题意-≥-1,即b≤a.
    而(a,b)共有C·C=4种,满足b≤a的有3种,故概率为.
    (2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.
    因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=a+b,
    所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为.

          古典概型概率的应用
    将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使两条不重合直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=2平行的概率为P1,相交的概率为P2,若点(P1,P2)在圆(x-m)2+y2=的内部,则实数m的取值范围是(  )
    A.      B.
    C. D.
    【解析】 对于a与b各有6种情形,故总数为36种.
    两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=2平行的情形有a=2,b=4或a=3,b=6,故概率为P1==,两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=2相交的情形除平行与重合(a=1,b=2)即可,
    所以P2==,
    因为点(P1,P2)在圆(x-m)2+y2=的内部,
    所以+<,
    解得-<m<,故选D.
    【答案】 D

    概率问题主要体现必然与或然思想,在生活、生产中有着广泛的应用.在高考中常以生产、生活中的决策与判断、求参数的范围等问题呈现,多具有开放性特点. 
     甲、乙两人各拿出200元,用作掷硬币游戏的奖金,两人商定:一局中掷出正面向上则甲胜,否则乙胜,谁先胜三局就得所有奖金.比赛开始后,甲胜了两局,乙胜了一局,这时因为意外事件中断游戏,请问怎样分配这400元才合理?
    解:为了决出胜负,最多再赛两局,用“甲”表示甲胜,用“乙”表示乙胜,于是这两局有四种可能:(甲,甲),(甲,乙),(乙,甲),(乙,乙).
    其中甲获胜有3种情况,而乙获胜只有1种情况,所以甲获胜的概率是,乙获胜的概率是.
    因此,合理的分法为甲得300元,乙得100元.
    [基础题组练]
    1.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(  )
    A.           B.
    C. D.
    解析:选D.依题意,记两次取得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为=,选D.
    2.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙相邻,则甲、丙相邻的概率为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B.五人排队,甲、乙相邻的排法有AA=48(种),若甲、丙相邻,此时甲在乙、丙中间,排法有AA=12(种),故甲、丙相邻的概率为=.
    3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为(  )
    A.1 B.
    C. D.
    解析:选C.从袋中任取2个球共有C=105种,其中恰好1个白球,1个红球共有CC=50种,所以恰好1个白球,1个红球的概率为=.
    4.(2020·台州高三质检)已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与y=x2+1有交点的概率是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选C.易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为=.
    5.(2020·湖州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选D.f′(x)=x2+2ax+b2,要使函数f(x)有两个极值点,则有Δ=(2a)2-4b2>0,即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.满足a2>b2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率为=.
    6.一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选C.由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;
    同理由1,2,4组成的三位自然数共6个;
    由1,3,4组成的三位自然数也是6个;
    由2,3,4组成的三位自然数也是6个.
    所以共有6+6+6+6=24个.
    当b=1时,有214,213,314,412,312,413,共6个“凹数”.
    当b=2时,有324,423,共2个“凹数”.
    所以这个三位数为“凹数”的概率P==.
    7.(2020·杭州学军中学高三质检)甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为________.
    解析:两个箱子各取一个球全是白球的概率P==,所以至少有一个红球的概率为1-P=1-=.
    答案:
    8.在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是________.
    解析:记“两人都中奖”为事件A,设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种.其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),2种,所以P(A)==.
    答案:
    9.从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试,则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________.
    解析:选到的学生中有男生1名、女生2名的选法有CC 种,选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有CC 种,则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P==.
    答案:
    10.有100本书,既分为文科、理科2类,又分为精装、平装2种,其中文科书40本,精装书70本,理科的平装书20本,则:
    (1)任取1本恰是文科精装书的概率是________;
    (2)先任取1本恰是文科书,放回后再取1本恰是精装书的概率是________.
    解析:(1)基本事件总数为100,其中文科书40本,理科书60本;精装书70本,理科的平装书20本,精装书40本;文科的精装书30本,文科的平装书10本.
    则任取1本恰是文科精装书的概率为=0.3.
    (2)基本事件总数为100×100,则所求概率P==×=0.28.
    答案:(1)0.3 (2)0.28
    11.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
    (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
    (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
    解:(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:
    {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
    所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个.
    则所求事件的概率为P==.
    (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有:
    {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
    包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,
    则所求事件的概率为P=.
    12.在100件产品中,有95件合格品、5件次品,从中任取2件,求:
    (1)2件都是合格品的概率;
    (2)2件都是次品的概率;
    (3)1件是合格品、1件是次品的概率.
    解:从100件产品中任取2件可能出现的结果数就是从100个元素中任取2个元素的组合数C,由于任意抽取,这些结果出现的可能性相等,则C=4 950为基本事件总数.
    (1)100件产品中有95件合格品,取到2件合格品的结果数就是从95个元素中任取2个的组合数C,记“任取2件都是合格品”为事件A1,那么P(A1)==.
    (2)由于在100件产品中有5件次品,取到2件次品的结果数为C,记“任取2件都是次品”为事件A2,那么事件A2的概率P(A2)==.
    (3)记“任取2件,1件是次品,1件是合格品”为事件A3,而取到1件合格品、1件次品的结果有C·C种,则事件A3的概率P(A3)==.
    [综合题组练]
    1.从1到10这十个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另两个数之和的概率是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选A.不妨设取出的三个数为x,y,z(x 2.已知函数f(x)=logax-3loga2,a∈{,,2,4,5,8,9},则f(3a+2)>f(2a)>0的概率为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选B.因为a∈{,,2,4,5,8,9},
    所以3a+2>2a,
    又f(3a+2)>f(2a)>0,所以函数f(x)为单调递增函数.
    因为f(x)=logax-3loga2=loga,
    所以a>1,
    又f(2a)>0,所以loga>0,
    所以>1,即a>4,则f(3a+2)>f(2a)>0的概率P=.故选B.
    3.某同学同时掷两颗骰子,得到的点数分别为a,b,则双曲线-=1的离心率e>的概率是________.
    解析:由e=>,得b>2a.
    当a=1时,b=3,4,5,6四种情况;
    当a=2时,b=5,6两种情况,总共有6种情况.
    又同时掷两颗骰子,得到的点数(a,b)共有36种结果.
    所以所求事件的概率P==.
    答案:
    4.连续抛掷同一颗均匀的骰子,记第i次得到的向上一面的点数为ai,若存在正整数k,使a1+a2+…+ak=6,则称k为幸运数字,则幸运数字为3的概率是________.
    解析:连续抛掷同一颗均匀的骰子3次,所含基本事件总数n=6×6×6,
    要使a1+a2+a3=6,则a1,a2,a3可取1,2,3或1,1,4或2,2,2三种情况,
    其所含的基本事件个数m=A+C+1=10.
    故幸运数字为3的概率为P==.
    答案:
    5.已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A,B两组,每组4支,求:
    (1)A,B两组中有一组恰好有2支弱队的概率;
    (2)A组中至少有2支弱队的概率.
    解:(1)法一:3支弱队在同一组中的概率为×2=,
    故有一组恰好有2支弱队的概率为1-=.
    法二:A组恰有2支弱队的概率为,B组恰好有2支弱队的概率为,
    所以有一组恰好有2支弱队的概率为+=.
    (2)法一:A组中至少有2支弱队的概率为+=.
    法二:A,B两组有一组中至少有2支弱队的概率为1(因为此事件为必然事件).由于对A组和B组而言,至少有2支弱队的概率是相同的,所以A组中至少有2支弱队的概率为.
    6.在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
    (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
    (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
    (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.
    解:(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA,那么P(EA)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
    (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)==,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.
    (3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2==,所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1=1-P2=.

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