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新高考数学一轮复习课时讲练 第2章 第1讲 函数及其表示 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第2章 第1讲 函数及其表示 (含解析)，共18页。试卷主要包含了函数与映射的概念，分段函数，存在函数f满足等内容，欢迎下载使用。
知识点
最新考纲
函数及其表示
了解函数、映射的概念．
了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．
了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
函数的基本性质
理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．
理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.
指数函数
了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．
理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
对数函数
理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．
理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
幂函数
了解幂函数的概念．
掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质.
函数与方程
了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．
能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
第1讲 函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
[教材衍化]
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B.对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]
3．(必修1P19T1(2)改编)函数y＝·的定义域是________．
解析：⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
[易错纠偏]
(1)对函数概念理解不透彻；
(2)换元法求解析式，反解忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
函数的定义域
(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝的定义域为________．
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
(3)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【解析】 (1)要使函数f(x)有意义，必须使
解得x<－.
所以函数f(x)的定义域为.
(2)由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．
(3)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
【答案】 (1) (2)[0，1) (3)[－1，0]
(变条件)若将本例(2)中“函数y＝f(x)”改为“函数y＝f(x＋1)”，其他条件不变，如何求解？
解：由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，
得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，
令得≤x≤且x≠1.
所以g(x)的定义域为∪.
函数定义域的求解策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．
[提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；
(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．
1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝＋lg(－3x2＋5x＋2)的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有
，解得－
A．[0，1] B．[0，1)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
解析：选C.因为由x－x2≥0得0≤x≤1，
所以A＝{x|0≤x≤1}．
由1－x>0得x<1，
所以B＝{x|x<1}，所以A∪B＝{x|x≤1}．
故选C.
3．若函数f(x)＝的定义域为实数集，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0
答案：[0，4]
求函数的解析式
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解】 (1)(配凑法)由于f＝x2＋＝－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，
代入得f(t)＝lg ，又x＞0，所以t＞1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg ，x＞1.
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
所以f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
求函数解析式的4种方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．
1．(2020·杭州学军中学月考)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．
解析：法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：x2－1(x≥1)
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
分段函数(高频考点)
分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：
(1)分段函数求值；
(2)已知函数值，求参数的值(或取值范围)；
(3)与分段函数有关的方程、不等式问题．
角度一 分段函数求值
(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)＝g(x)＝x2，则f(8)＝________；g[f(2)]＝________；f＝________．
【解析】 f(8)＝log28＝3，g[f(2)]＝g(log22)＝g(1)＝1，f＝f＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0.
【答案】 3 1 0
角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)
(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝，若f(f(a))＝3，则a＝________．
【解析】 函数f(x)＝，若f(f(a))＝3，当a≥1时，可得f(－2a2＋1)＝3，可得log2(2a2)＝3，解得a＝2.
当a<1时，可得f(log2(1－a))＝3，log2(1－a)≥1时，可得－2(log2(1－a))2＋1＝3，解得a∈∅.
log2(1－a)<1时，可得log2(1－log2(1－a))＝3，即1－log2(1－a)＝8，log2(1－a)＝－7，1－a＝，可得a＝.
综上得a的值为2或.
【答案】 2或
角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题
(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，若f(x)≥2，则x的取值范围为________．
【解析】 由分段函数的表达式得f(－2)＝－2＝4－2＝2，f(2)＝0，故f(f(－2))＝0.
若x≤－1，由f(x)≥2得－2≥2，得≥4，则2－x≥4，
得－x≥2，则x≤－2，此时x≤－2.
若x＞－1，由f(x)≥2得(x－2)(|x|－1)≥2，
即x|x|－x－2|x|≥0，
若x≥0，得x2－3x≥0，则x≥3或x≤0，此时x≥3或x＝0；
若－1＜x＜0，得－x2＋x≥0，得x2－x≤0，得0≤x≤1，此时无解．
综上得x≥3或x＝0或x≤－2.
【答案】 0 x≥3或x＝0或x≤－2
(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
1．(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f(x)＝，则f(f(4))＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选C.f(f(4))＝f(－31)＝log2 32＝5.故选C.
2．(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f(x)＝，若f(a)≤1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－4，0)∪(0，2] D．[－4，2]
解析：选D.f(a)≤1⇔或
解得－4≤a≤0或0
核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题
以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【解析】 对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.
【答案】 C
本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．
2．若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x
C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x
解析：选D.A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，满足题意，故选D.
[基础题组练]
1．函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选C.由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.
2．(2020·嘉兴一模)已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为( )
A．2a B．a
C．2 D．a或2
解析：选B.因为函数f(x)＝
所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.
3．下列哪个函数与y＝x相等( )
A．y＝ B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
解析：选D.y＝x的定义域为R，而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝()3＝x，定义域和对应关系与y＝x均相同，故选D.
4．(2020·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x3＋cos＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
解析：选B.因为函数f(x)＝x3＋cos＋1，
所以f(x)＝x3＋sin x＋1，
因为f(a)＝2，所以f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，
所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.
5．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由已知可得M＝N，
故⇒
所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.
6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有( )
A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
解析：选D.取特殊值法．
取x＝0，，可得f(0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，
所以选项A错误；
取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，
所以选项B错误；
取x＝1，－1，可得f(2)＝2，0，这与函数的定义矛盾，
所以选项C错误；
取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．
7．已知f＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
解析：选C.令＝t，则x＝，所以f(t)＝＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝，故选C.
8．设函数f(x)＝
则(a≠b)的值为( )
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
解析：选C.若a－b＞0，即a＞b，则f(a－b)＝－1，
则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a＞b)；
若a－b＜0，即a＜b，则f(a－b)＝1，
则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a(a＜b)．综上，选C.
9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.因为f()＝2×＋n＝＋n，当＋n＜1，即n＜－时，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故选D.
10．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x＞0时，f(x)＝x＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x＜0时，f(x)＝x2＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
11.若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝
答案：f(x)＝
12．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．
解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②
联立①②得f(1)＝2.
答案：2
13．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为________．
解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．
答案：1 2
14．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是________．
解析：f(x)≥1等价于或
由得x≤－2或0≤x＜1.
由得1≤x≤10.
综上所述，x的取值范围是x≤－2或0≤x≤10.
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
15．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，
此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
答案：－
16．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝，则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．
解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4，
所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－；
因为当x≤1时，f(x)＝x2，
由二次函数可知当x＝0时，函数取最小值0；
当x>1时，f(x)＝x＋－6，
由基本不等式可得f(x)＝x＋－6≥2－6
＝2－6，
当且仅当x＝即x＝时取到等号，即此时函数取最小值2－6；
因为2－6<0，所以f(x)的最小值为2－6.
答案：－ 2－6
17．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
解析：易知a≠0.由题意得，当a>0时，则－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化简可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因为a>0，所以a>2.当a<0时，则－a>0，故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化简可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因为a<0，所以a<－2.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[综合题组练]
1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．
解析：①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1对x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，对0＜t≤1，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1时，x∈∅；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x，当x≥0时，f(x)＝3x＋3－x；当x＜0时，f(－x)＝3x＋3－x；将x换为－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．
答案：①④
3．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得a＝－1，b＝1，
所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图：
4．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积 y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．
解：如图，因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，
即0
y＝(BC＋AD)·BE＝
＝(2a－3x)x＝－(3x2－2ax)
＝－＋a2，
故当x＝时，y有最大值a2，它的定义域为，值域为.
6．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝.
知识点
最新考纲
函数及其表示
了解函数、映射的概念．
了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．
了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
函数的基本性质
理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．
理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.
指数函数
了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．
理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
对数函数
理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．
理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
幂函数
了解幂函数的概念．
掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质.
函数与方程
了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．
能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
第1讲 函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
[教材衍化]
1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B.对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]
3．(必修1P19T1(2)改编)函数y＝·的定义域是________．
解析：⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
[易错纠偏]
(1)对函数概念理解不透彻；
(2)换元法求解析式，反解忽视范围．
1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，所以③不是函数．
答案：③
2．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
答案：x2－1(x≥0)
函数的定义域
(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f(x)＝的定义域为________．
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
(3)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【解析】 (1)要使函数f(x)有意义，必须使
解得x<－.
所以函数f(x)的定义域为.
(2)由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．
(3)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
【答案】 (1) (2)[0，1) (3)[－1，0]
(变条件)若将本例(2)中“函数y＝f(x)”改为“函数y＝f(x＋1)”，其他条件不变，如何求解？
解：由函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2]，
得函数y＝f(x)的定义域为[1，3]，
令得≤x≤且x≠1.
所以g(x)的定义域为∪.
函数定义域的求解策略
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍．
(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定义域．
(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．
[提醒] (1)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简；
(2)求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．
1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f(x)＝＋lg(－3x2＋5x＋2)的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.依题意可得，要使函数有意义，则有
，解得－
A．[0，1] B．[0，1)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
解析：选C.因为由x－x2≥0得0≤x≤1，
所以A＝{x|0≤x≤1}．
由1－x>0得x<1，
所以B＝{x|x<1}，所以A∪B＝{x|x≤1}．
故选C.
3．若函数f(x)＝的定义域为实数集，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0
答案：[0，4]
求函数的解析式
(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解】 (1)(配凑法)由于f＝x2＋＝－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，
代入得f(t)＝lg ，又x＞0，所以t＞1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg ，x＞1.
(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
所以f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
求函数解析式的4种方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．
1．(2020·杭州学军中学月考)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．
解析：法一：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：x2－1(x≥1)
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
分段函数(高频考点)
分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：
(1)分段函数求值；
(2)已知函数值，求参数的值(或取值范围)；
(3)与分段函数有关的方程、不等式问题．
角度一 分段函数求值
(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f(x)＝g(x)＝x2，则f(8)＝________；g[f(2)]＝________；f＝________．
【解析】 f(8)＝log28＝3，g[f(2)]＝g(log22)＝g(1)＝1，f＝f＝f(－1)＝f(1)＝log21＝0.
【答案】 3 1 0
角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)
(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝，若f(f(a))＝3，则a＝________．
【解析】 函数f(x)＝，若f(f(a))＝3，当a≥1时，可得f(－2a2＋1)＝3，可得log2(2a2)＝3，解得a＝2.
当a<1时，可得f(log2(1－a))＝3，log2(1－a)≥1时，可得－2(log2(1－a))2＋1＝3，解得a∈∅.
log2(1－a)<1时，可得log2(1－log2(1－a))＝3，即1－log2(1－a)＝8，log2(1－a)＝－7，1－a＝，可得a＝.
综上得a的值为2或.
【答案】 2或
角度三 与分段函数有关的方程、不等式问题
(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，若f(x)≥2，则x的取值范围为________．
【解析】 由分段函数的表达式得f(－2)＝－2＝4－2＝2，f(2)＝0，故f(f(－2))＝0.
若x≤－1，由f(x)≥2得－2≥2，得≥4，则2－x≥4，
得－x≥2，则x≤－2，此时x≤－2.
若x＞－1，由f(x)≥2得(x－2)(|x|－1)≥2，
即x|x|－x－2|x|≥0，
若x≥0，得x2－3x≥0，则x≥3或x≤0，此时x≥3或x＝0；
若－1＜x＜0，得－x2＋x≥0，得x2－x≤0，得0≤x≤1，此时无解．
综上得x≥3或x＝0或x≤－2.
【答案】 0 x≥3或x＝0或x≤－2
(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路
先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
1．(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f(x)＝，则f(f(4))＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：选C.f(f(4))＝f(－31)＝log2 32＝5.故选C.
2．(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f(x)＝，若f(a)≤1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－4，0)∪(0，2] D．[－4，2]
解析：选D.f(a)≤1⇔或
解得－4≤a≤0或0
核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题
以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝； ④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A．①②③④ B．①③④
C．①④ D．④
【解析】 对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.
【答案】 C
本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．
2．若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x
C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x
解析：选D.A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，满足题意，故选D.
[基础题组练]
1．函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选C.由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.
2．(2020·嘉兴一模)已知a为实数，设函数f(x)＝则f(2a＋2)的值为( )
A．2a B．a
C．2 D．a或2
解析：选B.因为函数f(x)＝
所以f(2a＋2)＝log2(2a＋2－2)＝a，故选B.
3．下列哪个函数与y＝x相等( )
A．y＝ B．y＝2log2x
C．y＝ D．y＝()3
解析：选D.y＝x的定义域为R，而y＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且x>0}，排除A、B；y＝＝|x|的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；而y＝()3＝x，定义域和对应关系与y＝x均相同，故选D.
4．(2020·杭州七校联考)已知函数f(x)＝x3＋cos＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
解析：选B.因为函数f(x)＝x3＋cos＋1，
所以f(x)＝x3＋sin x＋1，
因为f(a)＝2，所以f(a)＝a3＋sin a＋1＝2，
所以a3＋sin a＝1，所以f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.故选B.
5．已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.由已知可得M＝N，
故⇒
所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.
6．存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有( )
A．f(sin 2x)＝sin x B．f(sin 2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
解析：选D.取特殊值法．
取x＝0，，可得f(0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，
所以选项A错误；
取x＝0，π，可得f(0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，
所以选项B错误；
取x＝1，－1，可得f(2)＝2，0，这与函数的定义矛盾，
所以选项C错误；
取f(x)＝，则对任意x∈R都有f(x2＋2x)＝＝|x＋1|，故选项D正确．
7．已知f＝，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－
C．f(x)＝ D．f(x)＝－
解析：选C.令＝t，则x＝，所以f(t)＝＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝，故选C.
8．设函数f(x)＝
则(a≠b)的值为( )
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
解析：选C.若a－b＞0，即a＞b，则f(a－b)＝－1，
则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a＞b)；
若a－b＜0，即a＜b，则f(a－b)＝1，
则＝[(a＋b)＋(a－b)]＝a(a＜b)．综上，选C.
9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f(x)＝，若f(f())＝2，则实数n为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.因为f()＝2×＋n＝＋n，当＋n＜1，即n＜－时，f(f())＝2(＋n)＋n＝2，解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，f(f())＝log2(＋n)＝2，即＋n＝4，解得n＝，故选D.
10．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：对任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则( )
A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x＞0时，f(x)＝x＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x＜0时，f(x)＝x2＞0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
11.若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝
答案：f(x)＝
12．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．
解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②
联立①②得f(1)＝2.
答案：2
13．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为________．
解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．
答案：1 2
14．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是________．
解析：f(x)≥1等价于或
由得x≤－2或0≤x＜1.
由得1≤x≤10.
综上所述，x的取值范围是x≤－2或0≤x≤10.
答案：(－∞，－2]∪[0，10]
15．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－.
不合题意，舍去．
当a<0时，1－a>1，1＋a<1，
此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
答案：－
16．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f(x)＝，则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．
解析：由题意可得f(－2)＝(－2)2＝4，
所以f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－；
因为当x≤1时，f(x)＝x2，
由二次函数可知当x＝0时，函数取最小值0；
当x>1时，f(x)＝x＋－6，
由基本不等式可得f(x)＝x＋－6≥2－6
＝2－6，
当且仅当x＝即x＝时取到等号，即此时函数取最小值2－6；
因为2－6<0，所以f(x)的最小值为2－6.
答案：－ 2－6
17．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
解析：易知a≠0.由题意得，当a>0时，则－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化简可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因为a>0，所以a>2.当a<0时，则－a>0，故a[f(a)－f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化简可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因为a<0，所以a<－2.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[综合题组练]
1．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
解析：选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，x·sgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f(|x|＋1)＝x2＋1；②f()＝x；③f(x2－2x)＝|x|；④f(|x|)＝3x＋3－x.其中存在函数f(x)对任意的x∈R都成立的序号为________．
解析：①f(|x|＋1)＝x2＋1，由t＝|x|＋1(t≥1)，可得|x|＝t－1，则f(t)＝(t－1)2＋1，即有f(x)＝(x－1)2＋1对x∈R均成立；②f()＝x，令t＝(0＜t≤1)，x＝± ，对0＜t≤1，y＝f(t)不能构成函数，故不成立；③f(x2－2x)＝|x|，令t＝x2－2x，若t＜－1时，x∈∅；t≥－1，可得x＝1±(t≥－1)，y＝f(t)不能构成函数；④f(|x|)＝3x＋3－x，当x≥0时，f(x)＝3x＋3－x；当x＜0时，f(－x)＝3x＋3－x；将x换为－x可得f(x)＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．
答案：①④
3．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得a＝－1，b＝1，
所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图：
4．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB＋BC＋CD＝a(常数)，∠ABC＝120°，写出横截面的面积 y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域．
解：如图，因为AB＋BC＋CD＝a，所以BC＝EF＝a－2x>0，
即0
y＝(BC＋AD)·BE＝
＝(2a－3x)x＝－(3x2－2ax)
＝－＋a2，
故当x＝时，y有最大值a2，它的定义域为，值域为.
6．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f(1.5)；
(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．
解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝x2；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
所以f(x)＝.
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