备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第二章 培优课 §2.9 指、对、幂的大小比较

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指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
例1 设，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
答案 C
解析 因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))x是增函数，
所以，即a又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以
所以bb>a.
命题点2 找中间值
例2 (2023·上饶模拟)已知a＝lg53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
答案 C
解析 因为1＝lg55>lg53>lg5eq \r(5)＝＝eq \f(1,2)，
即eq \f(1,2)b＝>20＝1,7－0.5＝＝eq \f(1,2)，
即0a>c.
命题点3 特殊值法
例3 已知a>b>1,0A．acC．algbc答案 C
解析 取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝eq \f(1,4)，
则ac＝，bc＝，
∴ac>bc，故A错误；
abc＝，bac＝，
∴abc>bac，故B错误；
lgac＝＝－1，lgbc＝lg2eq \f(1,4)＝－2，algbc＝－8，blgac＝－2，
∴algbclgbc，故C正确，D错误．
思维升华 利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg22跟踪训练1 (1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，
所以1.60.6>0.60.6>0，
又b＝lg 0.6所以c>a>b.
(2)已知a＝eq \f(4,3)，b＝lg34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．a>c>b
答案 A
解析 因为a＝eq \f(4,3)＝，＝34＝81>43＝64，且函数y＝lg3x在(0，＋∞)上单调递增，
所以>lg34，即a>b.
又因为b＝lg34>lg33＝1，c＝3－0.1<30＝1，
即b>c，所以a>b>c.
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
例4 (1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b答案 A
解析 c＝＝1，

因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且eq \f(1,1 024)所以a又所以a(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝lg53，b＝lg85，c＝lg138，则( )
A．aC．b答案 A
解析 ∵lg53－lg85＝lg53－eq \f(1,lg58)＝eq \f(lg53·lg58－1,lg58)
∴lg53∵55<84,134<85，
∴5lg85<4,4<5lg138，
∴lg85∴lg53思维升华 求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
跟踪训练2 (1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案 B
解析 c＝930＝360，
a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，
b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，
c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，
所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.
(2)(2022·汝州模拟)已知a＝lg63，b＝lg84，c＝lg105，则( )
A．bC．a答案 D
解析 由题意得，
a＝lg63＝lg6eq \f(6,2)＝1－lg62＝1－eq \f(1,lg26)，
b＝lg84＝lg8eq \f(8,2)＝1－lg82＝1－eq \f(1,lg28)，
c＝lg105＝lg10eq \f(10,2)＝1－lg102＝1－eq \f(1,lg210)，
因为函数y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以lg26则eq \f(1,lg26)>eq \f(1,lg28)>eq \f(1,lg210)，
所以a题型三 构造函数比较大小
例5 (1)已知a＝eq \f(22－ln 2,e2)，b＝eq \f(ln 2,2)，c＝eq \f(1,e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．a答案 B
解析 a＝eq \f(2－ln 2,\f(e2,2))＝eq \f(ln \f(e2,2),\f(e2,2))，c＝eq \f(1,e)＝eq \f(ln e,e)，
令f(x)＝eq \f(ln x,x)，
∴a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e2,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，
∴f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)max＝f(e)＝eq \f(ln e,e)＝c，
∴a又b＝eq \f(ln 2,2)＝eq \f(2ln 2,4)＝eq \f(ln 4,4)＝f(4)，
∵4>eq \f(e2,2)，
∴f(4)∴b(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝eq \f(1,9)，c＝－ln 0.9，则( )
A．aC．c答案 C
解析 设u(x)＝xex(0v(x)＝eq \f(x,1－x)(0w(x)＝－ln(1－x)(0则当00，v(x)>0，w(x)>0.
①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]
＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)]
＝x＋ln(1－x)(0则f′(x)＝1－eq \f(1,1－x)＝eq \f(x,x－1)<0在(0,0.1]上恒成立，
所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，
所以f(0.1)即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0，
所以ln[u(0.1)]又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以u(0.1)所以a②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0则g′(x)＝(x＋1)ex－eq \f(1,1－x)
＝eq \f(1－x2ex－1,1－x)(0设h(x)＝(1－x2)ex－1(0则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立，
所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，
即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，
所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，
即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，
所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.
综上，c思维升华 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．
跟踪训练3 (1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．c>b>a
C．a>c>b D．a>b>c
答案 D
解析 令f(x)＝(14－x)ln x，
则f′(x)＝－ln x＋eq \f(14,x)－1.
因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝eq \f(14,x)－1在(0，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)＝－ln x＋eq \f(14,x)－1在(0，＋∞)上单调递减．
而f′(5)＝－ln 5＋eq \f(14,5)－1>0，f′(6)＝－ln 6＋eq \f(14,6)－1<0，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减．
所以f(6)>f(7)>f(8)，
即8ln 6>7ln 7>6ln 8，
故68>77>86.故a>b>c.
(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2eq \r(7)，b＝4eq \r(1.1)－4，c＝2ln 1.1，则( )
A．aC．b答案 B
解析 ∵(e1.3)2＝e2.633，
∴e1.3<2eq \r(7)，∴a<0；
b－c＝4eq \r(1.1)－4－2ln 1.1＝2(2eq \r(1.1)－2－ln 1.1)，
令f(x)＝2eq \r(x)－2－ln x，
∴f′(x)＝eq \f(1,\r(x))－eq \f(1,x)＝eq \f(\r(x)－1,x)，
∴当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，
∴f(1.1)>0，即2eq \r(1.1)－2－ln 1.1>0，
∴c又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0，
∴a课时精练
1．设a＝，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2，c＝lg2eq \f(3,2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．bC．b答案 B
解析 a＝>1，且又c＝lg2eq \f(3,2)故c2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝lg52，b＝lg83，c＝eq \f(1,2)，则下列判断正确的是( )
A．cC．a答案 C
解析 a＝lg523．设a＝lg23，b＝2lg32，c＝2－lg32，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．a答案 A
解析 由c＝2－lg32＝lg39－lg32＝lg3eq \f(9,2)>lg34＝2lg32＝b，
a－c＝lg23＋lg32－2>2eq \r(lg23×lg32)－2＝2－2＝0，
所以a>c，所以b4．(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝lgxy，则( )
A．x>y>z B．y>x>z
C．z>x>y D．x>z>y
答案 A
解析 因为3x＝4y＝10，
所以x＝lg310>lg39＝2；1＝lg44则1y>1，
而z＝lgxy所以x>y>z.
5．设x，y，z为正实数，且lg2x＝lg3y＝lg5z>1，则eq \f(x,2)，eq \f(y,3)，eq \f(z,5)的大小关系是( )
A.eq \f(z,5)C.eq \f(y,3)答案 B
解析 由x，y，z为正实数，
设lg2x＝lg3y＝lg5z＝k>1，
可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.
∴eq \f(x,2)＝2k－1>1，eq \f(y,3)＝3k－1>1，eq \f(z,5)＝5k－1>1，
令f(x)＝xk－1，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)即eq \f(x,2)6．(2023·茂名模拟)已知a＝sin 2，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．b答案 D
解析 a＝sin 2>sin eq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)>eq \f(3,4)，
＝e3>24⇒>2⇒＝eq \f(3,4)>ln 2，
即bb；
∵＝eq \f(1,2)＝eq \f(32,64)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＝eq \f(27,64)，
∴>eq \f(3,4)，
∴c>b；
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))6＝eq \f(27,64)，＝eq \f(1,4)＝eq \f(16,64)，
∴eq \f(\r(3),2)>，
∴a>c，∴b7．设a＝eq \r(9,10)，b＝9sin eq \f(1,10)，c＝eq \r(5,3)，则( )
A．bC．c答案 B
解析 令f(x)＝sin x－x，
则f′(x)＝cs x－1≤0，
所以f(x)为减函数，
所以当x>0时，f(x)所以b＝9sin eq \f(1,10)<9×eq \f(1,10)＝eq \f(9,10)<1，
又a＝eq \r(9,10)>eq \r(9,1)＝1，c＝eq \r(5,3)>eq \r(5,1)＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105，
所以b8．已知a＝5ln 4π，b＝4ln 5π，c＝5ln π4，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．b答案 C
解析 令f(x)＝eq \f(ln x,x)(x≥e)，
则f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
∴eq \f(πln 4,4)>eq \f(πln 5,5)，
∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b，
同理可得eq \f(ln π,π)>eq \f(ln 4,4)，
∴4ln π>πln 4，
∴π4>4π，
∴5ln π4>5ln 4π，
∴c>a，∴b9．(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则( )
A．a>c>b B．c>a>b
C．b>a>c D．a>b>c
答案 D
解析 由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，
令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，
则f′(x)＝ln(10.1－x)＋eq \f(x＋10.1,x－10.1)＝ln(10.1－x)＋1＋eq \f(20.2,x－10.1)，
所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，
又f′(1)＝ln 9.1＋1－eq \f(20.2,9.1)＝ln 9.1－eq \f(11.1,9.1)>0，
所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
所以f(x)在[－1,1]上单调递增，
所以f(1)>f(0)>f(－1)，
即a>b>c.
10．(2022·全国甲卷)已知a＝eq \f(31,32)，b＝cs eq \f(1,4)，c＝4sin eq \f(1,4)，则( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
答案 A
解析 因为b＝cs eq \f(1,4)＝1－2sin2eq \f(1,8)，
所以b－a＝1－2sin2eq \f(1,8)－eq \f(31,32)＝eq \f(1,32)－2sin2eq \f(1,8)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,64)－sin2\f(1,8))).
令f(x)＝x－sin x，
则f′(x)＝1－cs x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即有x>sin x(x>0)成立，
所以eq \f(1,8)>sin eq \f(1,8)，得eq \f(1,64)>sin2eq \f(1,8)，所以b>a.
因为eq \f(c,b)＝eq \f(4sin \f(1,4),cs \f(1,4))＝4tan eq \f(1,4)，
所以令g(x)＝tan x－x，
则g′(x)＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)－1＝eq \f(1－cs2x,cs2x)≥0，
所以函数g(x)在定义域内单调递增，
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
即有tan x>x(x>0)成立，
所以tan eq \f(1,4)>eq \f(1,4)，即4tan eq \f(1,4)>1，
所以eq \f(c,b)>1，又b>0，所以c>b.
综上，c>b>a.