2024年高考数学第一轮复习专题训练第二章　§2.9　指、对、幂的大小比较[培优课]

§2.9　指、对、幂的大小比较

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．

题型一　直接法比较大小

命题点1　利用函数的性质

例1　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>c>b   B．a>b>c

C．c>b>a   D．b>c>a

听课记录：______________________________________________________________

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命题点2　找中间值

例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c   B．a>c>b

C．b>a>c   D．c>b>a

听课记录：______________________________________________________________

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命题点3　特殊值法

例3　已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　)

A．ac<bc   B．abc<bac

C．alogbc<blogac   D．logac<logbc

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思维升华　利用特殊值作“中间量”

在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较．

跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则(　　)

A．a>b>c  B．a>c>b

C．c>b>a   D．c>a>b

(2)已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c   B．c>b>a

C．b>a>c   D．a>c>b

题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小

例4　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．b<c<a   D．c<a<b

(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)

A．a<b<c   B．b<a<c

C．b<c<a   D．c<a<b

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　求同存异法比较大小

如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．

跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c   B．b>a>c

C．b>c>a   D．c>b>a

(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则(　　)

A．b<a<c   B．c<b<a

C．a<c<b   D．a<b<c

题型三　构造函数比较大小

例5　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．b<a<c

C．a<c<b   D．b<c<a

(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．c<a<b   D．a<c<b

听课记录：______________________________________________________________

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思维升华　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．

跟踪训练3　(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b>c>a   B．c>b>a

C．a>c>b   D．a>b>c

(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．b<a<c   D．c<a<b