备战2024年高考总复习一轮（数学）第9章 解析几何 第2节 点与直线、两条直线的位置关系课件PPT

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1.两条直线的位置关系
微点拨解析几何中的两条直线的位置关系含有重合,而立体几何中空间两条直线的位置关系没有重合,要注重区分.
2.两条直线的交点直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解.l1与l2相交⇔方程组有　　　　　　; l1与l2平行⇔方程组　　　　; l1与l2重合⇔方程组有　　　　　　　　. 
微点拨1.求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式;2.求两平行线之间的距离时,应先将两直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等.
常用结论1.中点坐标公式的拓展
2.三种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+C0=0(C≠C0);(2)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+C0=0;(3)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,这个直线系不包括直线l2,解题时,注意检验l2是否满足题意,以防漏解).
考向1判断两直线的位置关系例1(1)已知a2-3a+2=0,则直线l1:ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为(　　)A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交D.垂直或重合(2)(2022安徽合肥二模)若l1:3x-my-1=0与l2:3(m+2)x-3y+1=0是两条不同的直线,则“m=1”是“l1∥l2”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案:(1)D　(2)C解析:(1)因为a2-3a+2=0,所以a=1或a=2.当a=1时,l1:x+2y-1=0,斜率为k1=- ,l2:4x-2y-3=0,斜率为k2=2,∵k1k2=-1,∴两直线垂直;当a=2时,l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,两直线重合.故选D.(2)若l1∥l2,则3×(-3)=-m×3(m+2),解得m=1或m=-3,而当m=-3时,l1,l2重合,故舍去,则“m=1”是“l1∥l2”的充要条件.故选C.
考向2已知两直线的位置关系求参数例2(1) 若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为(　　)A.1B.0C.2D.-1或0(2) 若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m的值为(　　)A.1B.-2C.1或-2D.-
答案:(1)D　(2)A　解析:(1)由题意可知m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D.(2)由题意可知2-m(1+m)=0,解得m=-2或m=1.经检验,当m=-2时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=1时,符合题意.故m的值为1.故选A.
考向3由两直线的位置关系求直线方程例3已知函数y= (x>0)图象的一条切线l1与直线l2:3x-4y=0垂直,则l1的方程为　　　　　　. 
答案:4x+3y-36=0　
规律方法 两直线位置关系的判断方法1.判定两直线平行的方法:(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1=k2,且b1≠b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合.(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0.2.判定两直线垂直的方法:(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k1·k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线也垂直.(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
对点训练1(1) “直线ax+2y+4=0与直线x+(a-1)y+2=0平行”是“a=-1”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l的方程是(　　)A.-3x+2y+1=0 B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y+1=0
(3)(2022江西九江一模)若a,b为正实数,直线x+(b-2)y+1=0与直线ax+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为　　　　　. 
答案:(1)C　(2)C　(3)1解析:(1)因为直线ax+2y+4=0与直线x+(a-1)y+2=0平行,所以1×2-(a-1)a=0,解得a=2或a=-1,当a=2时,直线2x+2y+4=0和直线x+y+2=0重合,舍去,当a=-1时,满足题意,所以a=-1.即“直线ax+2y+4=0与直线x+(a-1)y+2=0平行”是“a=-1”的充要条件,故选C.
例4(1)(2022安徽合肥二模)已知直线l1:mx-y=0(m∈R)过定点A,直线l2:x+my+4-2m=0过定点B,l1与l2的交点为C,则△ABC面积的最大值为(　　)
答案:(1)C　(2)6解析:(1)由题意直线l1过定点A(0,0),直线l2的方程变为(x+4)+m(y-2)=0,∴直线l2过定点B(-4,2).又m×1+(-1)×m=0,∴l1⊥l2,即C在以AB为直径的圆上,
规律方法 利用距离公式应注意(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.
对点训练2(2022上海虹口二模)设a∈R,k∈R,三条直线l1:ax-y-2a+5=0, l2:x+ay-3a-4=0,l3:y=kx,则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为　　　　　. 
考向1点关于点的对称例5过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为　　　　　. 
答案:x+4y-4=0　解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
考向2点关于线的对称例6(2022安徽安庆二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤ ,若将军从点A( ,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为(　　)
考向3线关于线的对称例7直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　)A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0
答案:A　解析:设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),
因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故选A.
规律方法 解决对称问题的方法(1)点关于点的对称问题.利用中点坐标公式易得,如(a,b)关于(m,n)的对称点为(2m-a,2n-b).(2)点关于线的对称点,点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况,如斜率不存在时较简单).(3)线关于线的对称线.一般要在线上取点,可在所求直线上任取一点,也可在已知直线上取特殊点对称.
对点训练3(1)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c=　　　　　. 
轴交点的坐标为　　　　　,若该光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为　　　　　. 
解析:(1)在直线l1:2x+y+2=0上取点M(-1,0),N(0,-2),则点M,N关于点P(1,0)的对称点分别为M1(3,0),N1(2,2).因为点M1(3,0),N1(2,2)在直线l2:4x+by+c=0上,所以12+c=0,8+2b+c=0,解得c=-12,b=2,所以b+c=-10.