备战2024年高考总复习一轮（数学）第6章 数列 第3节 等比数列课件PPT

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1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从　　　　　起,每一项与它的前一项的比等于　　　常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时,G2=ab.微点拨若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,….
微思考1任意两个实数都有等比中项吗?
微思考2“b2=ac”是“a,b,c”成等比数列的什么条件?
提示:不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个.
提示:必要不充分条件.当b2=ac时不一定有a,b,c成等比数列,比如a=0,b=0, c=1.但a,b,c成等比数列一定有b2=ac.
微点拨1.已知{an}为等比数列,公比为q,当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q=-1时,{an}是摆动数列.2.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
(8)当公比q≠-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
例1(1)(2022全国乙,文10)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　)A.14B.12C.6D.3(2)(2022安徽马鞍山三模)在等比数列{an}中,已知a1+a4=9,a2+a5=18,则S5=(　　)A.31B.32C.63D.127(3)在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,a3=4,a2+a4=10,则S5=　　　　. 
答案:(1)D　(2)A　(3)31
规律方法 等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和
对点训练1(1)(2022河南郑州一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=3,S6=27,则公比q等于(　　)A.5B.4C.3D.2(2)(2022江苏海安期末)设数列{an}为等比数列,若a2+a3+a4=2,a3+a4+a5=4,则数列{an}的前6项和为(　　)A.18B.16C.9D.7
答案:(1)D　(2)C
例2已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=6,Sn= an+1+1.(1)证明:数列{Sn-1}为等比数列;
规律方法 等比数列的判定方法
[提醒]1.前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.2.若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n.(1)求a1,a2,a3的值.(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an;若不存在,请说明理由.
解:(1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3;当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9;当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.(2)假设{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.下面证明{an+3}为等比数列:∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3,∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3),∴存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1).
例3(1)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=(　　)A.12B.10C.8D.2+lg35(2) 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=10,S6=30,则S12=　　　　.　 (3)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　. 
答案:(1)B　(2)150　(3)2　解析:(1)由a5a6+a4a7=18,得a5a6=9,所以lg3a1+lg3a2+…+lg3a10=lg3(a1a2…a10)=lg3(a5a6)5=5lg39=10.(2)在等比数列中,∵S3=10≠0,S6=30≠0,∴S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9也成等比数列,即10,20,S9-30,S12-S9成等比数列,
规律方法 应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
答案:(1)B　(2)B　(3)-2