河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com洛阳市2019-2020学年第二学期期中考试

高一数学试卷

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式计算得到答案.

【详解】.

故选：A.

【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题.

2.函数的最小正周期为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简函数得，即得函数的最小正周期.

【详解】由题得.

所以函数的最小正周期为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3.若,,其中,则角与的终边（    ）.

A. 关于原点对称 B. 关于轴对称

C. 关于轴对称 D. 关于对称

【答案】C

【解析】

【分析】

根据角度的终边周期性分析即可.

【详解】根据角度的性质有与的终边相同, 与的终边相同,且的终边与的终边关于轴对称,故角与的终边关于轴对称.

故选：C

【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.

4.如果单位向量与的夹角为，则（    ）.

A. 1 B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用，结合的模长和数量积进行求解.

【详解】因为，

又为单位向量，且的夹角为，

所以，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查向量数量积的概念：，向量的模一般要转化为来求，属于基础题.

5.下面结论正确是（    ）.

A. 若，是单位向量，

B. 若四边形内一点满足，则是平行四边形

C. 若向量，共线，则

D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

根据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行判断，从而得到答案.

【详解】选项A中，，是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有，是单位向量且方向相同时，才有，所以错误；

选项B中，因为点为四边形内一点，

所以，所以，

又与不共线，所以可得且，

所以是平行四边形，所以正确；

选项C中，当向量，同向时，有，当向量，反向时，有，

所以错误；

选项D中，因为，

所以

即，

不能得到，所以错误.

故选：B.

【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简单题.

6.满足的一个可能值为（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.

【详解】当时，，，不满足，所以A选项错误；

当时，，，不满足，所以B选项错误；

当时，，，，满足，所以C选项正确；

当时，，，不满足，所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题.

7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项，即可得到答案.

【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，，则为偶函数；

对于B，，定义域为，关于原点对称，，则为偶函数；

对于C，，定义域为，关于原点对称，，则为奇函数；

对于D，，定义域为，关于原点对称，，，且，则既不是奇函数，也不是偶函数.

综上，D选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法判断函数的奇偶性，分为三步：（1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步；（2）求；（3）若，则为偶函数；若，则为奇函数；若，且，则既不是奇函数，也不是偶函数.

8.已知函数，则下列判断错误的是（    ）.

A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称

C. 的值域为 D. 的图象关于点对称

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换进行化简，再根据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.

【详解】

，所以，的最小正周期为，A选项正确；

，解得，所以，B选项错误；

由，

得，即的值域为，故C选项正确；

，解得，所以的对称中心为，故D选项正确.

故选：B

【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.

9.在边长为1的正方形内,以为直径作半圆,若点为半圆（包括端点,）上任意点,则的取值范围是（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设正方形的中心为,再根据平面向量的加法法则,将转换为的关系表达,再分析取值范围即可.

【详解】设的中点分别为,正方形的中心为.根据正方形的对称性可知为中点.

根据平面向量的加法有.

易得当在处取最小值0；当在处均可取最大值为.

故的取值范围是.

故选：A

【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运用,需要根据题意结合平面向量的线性运算转换.属于中档题.

10.函数的图象关于对称，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为，若的最小正周期是，且，（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角函数的图象变换及最小正周期，求出值，再利用三角函数的对称轴及的范围，求出值，利用，求出值，进而求出.

【详解】将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

所得图象对应的函数为，

因为的最小正周期是，所以，解得，

所以，

，

，解得，

所以，函数关于对称，

所以，且，解得，

所以，

，即，即，解得，

所以，

.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特殊角的三角函数值，考查学生的运算求解能力，属于中档题.

11.已知函数的图象过点,且在上单调,把的图象向右平移个单位与原图象重合,若时,直线与有三个不同的交点,则实数的取值范围是（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】

根据过点可得,再根据在上单调,且的图象向右平移个单位与原图象重合可得.进而求得.再根据三角函数图像性质数形结合分析实数的取值范围即可.

【详解】因为函数的图象过点,故,又,故.又在上单调且,故,即.

又因为的图象向右平移个单位与原图象重合,故,所以.

故.

当时,.再分析可得：

,数形结合可知当直线与有三个交点时, .

故选：D

【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,需要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题.

12.已知点为内一点，满足，若，则（    ）.

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用数乘的定义作图，作，，构造出是的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．

【详解】∵点为内一点，满足，∴，

如图，作，，则，

∴是的重心，∴，

由，，知，，，

∴，

∴，解得．

故选：A．

【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以为重心的，然后利用面积比得出结论．

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：

13.若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.

【详解】因为，所以.

【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.

14.在平面直角坐标系中，已知，将绕原点逆时针旋转到，则点的横坐标为______.

【答案】.

【解析】

【分析】

作出图形，求出，以及，，利用两角和与差的三角函数求出点的横坐标，即可得解.

【详解】如图，过点作轴于点，作轴于点，作轴于点，作轴于点，由，则，，，

将绕原点逆时针旋转到，

所以，点的横坐标为：.

故答案为：.

【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.

15.在梯形中，，为的平分线，且，若，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意画出图形，由平面几何的知识可得，利用平面向量线性运算法则可得，再利用平面向量数量积的运算律及定义即可得解.

【详解】由题意画出梯形的图形，如图：

，为的平分线，且，

，，，

又，，

取AC的中点E，连接DE，则，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题.

16.已知函数，设函数图象的最高点从左至右依次为，，，…，与轴的交点从左至右依次为，，，…，在线段上取10个不同的点，，，…，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得，，，利用平面向量数量积的坐标运算可得即，连接，由平面向量线性运算法则可得，再利用平面向量数量积的运算律及坐标运算即可得解.

【详解】函数的最小正周期，将函数位于 x轴上方的图象不变、位于 x轴下方的图象翻折到x轴上方后即可得函数的图象，如图所示：

可得，，，

所以，，所以，

由在线段上可得，

连接，则，

所以

，，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面向量线性运算、数量积的应用与运算求解能力，属于中档题.

三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）求值：；

（2）已知是第二象限角，化简.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用诱导公式化简，再利用即可得到结论；

（2）根据是第二象限角，得到与的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论.

【详解】（1）原式

（2）由是第二象限角，则，，

所以，

.

【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．

18.已知，，.

（1）若，判断的形状，并给出证明；

（2）求实数的值，使得最小；

（3）若存在实数，使得，求、的值.

【答案】（1）为直角三角形；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；

（2）根据题意可得，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；

（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.

【详解】（1）当时，为直角三角形.证明如下：

当时，由，，，则，，

此时，即，即，

所以，为直角三角形.

（2）由题意，，，则，

所以，，当且仅当时取等号.

故当时，取得最小值为.

（3）由题意，，，因，

所以，解得.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.

19.已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点的距离为，图象上一个最低点为.

（1）求的解析式；

（2）当时，求的最值，以及取得最值时的值.

【答案】（1）；（2）当时，取最小值；当时，取最大值.

【解析】

【分析】

（1）由函数的最低点可求得，由函数图象与轴相邻两个交点的距离为可得，由可得，再代入点求出后即可得解；

（2）由可得，由三角函数的图象与性质即可得解.

【详解】（1）函数图像上的一个最低点为，，，

又函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点的距离为，

函数的最小正周期即，解得，

，，

，即，

又，令，，

；

（2）当时，，

当即时，取最小值，；

当即时，取最大值，.

当时，取最小值；当时，取最大值.

【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解能力，关键是对于知识点的熟练应用，属于中档题.

20.已知，，且与夹角为.

（1）求；

（2）若，求实数值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得，利用平面向量数量积的定义可得，再利用化简即可得解；

（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.

【详解】（1），，

又，与夹角为，，

；

（2），

，

.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.

21.已知正方形的边长为1，，，分别为，，上的点.

（1）如图，当，时，求面积的最小值；

（2）如图，当周长为2时，求的大小.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设，则，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得，求得的最大值即可得解；

（2）设，，，，由题意结合正切的概念及和角公式可得，再结合三角形周长即可得解.

【详解】（1）由题意可得，，

设，则，

，，

，

当即时，的面积取最小值，最小值为；

（2）设，，，，

则，，

则，

周长为2，，化简得，

，

又，，

.

【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.

22.已知.

（1）试用五点作图法画出函数在上的简图；

（2）定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意结合降幂公式可得，利用五点法即可得解；

（2）由题意结合函数的单调性和定义域可得对恒成立，转化条件为、对恒成立，利用恒成立问题的解决方法结合三角函数的性质即可得解.

【详解】（1）由题意可得

，

列表如下：

则函数在上简图如下：

；

（2）为定义在上的减函数，对恒成立，

即对恒成立，

对恒成立，

对恒成立，

对恒成立，

又时，，，

，解得，

实数的取值范围为.

【点睛】本题考查了降幂公式在三角函数化简上的应用，考查了函数的单调性、定义域及三角函数性质的应用，属于中档题.