高一下期末综合测试卷（基础篇）-2022-2023学年高一数学下学期期末复习举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

高一下期末综合测试卷（基础篇）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）（2022春·黑龙江绥化·高一校考期末）已知为虚数单位，复数的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【解题思路】先将复数化简成的形式，再写出其共轭复数即可.

【解答过程】因为，共轭复数为.

故选：C.

2．（5分）（2022春·浙江丽水·高一统考期末）若，，，则事件与的关系是（    ）

A．事件与互斥 B．事件与对立

C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立

【解题思路】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.

【解答过程】∵，

∴，

∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.

故选：C.

3．（5分）（2022春·安徽六安·高一校考期末）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）．

①都垂直于平面r，那么

②都平行于平面r，那么

③都垂直于直线l，那么

④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么

A．0 B．1 C．2 D．3

【解题思路】在正方体中观察可判断①；由平面平行的传递性可判断②；由线面垂直的性质可判断③；根据面面平行判定定理可判断④.

【解答过程】如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①错误；

由平面平行的传递性可知②正确；

由线面垂直的性质可知③正确；

过直线l做平面与分别交于，过直线m做平面与分别交于，

因为，，所以，所以

因为，，所以

同理，

又l、m是两条异面直线，所以相交，且，

所以，故④正确.

故选：D.

4．（5分）（2022春·云南昭通·高一统考期末）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ）

A． B． C． D．

【解题思路】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.

【解答过程】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以.

故选：D.

5．（5分）（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（    ）

A． B． C． D．

【解题思路】根据古典概型概率计算公式直接计算.

【解答过程】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，

由古典概型得，

故选：D.

6．（5分）（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一校考期末）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（    ）

A．这种抽样方法是一种分层随机抽样

B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

【解题思路】根据题目条件，结合分层抽样的定义，以及中位数，平均数，方差的公式即可求解.

【解答过程】对于A，若抽样方法为分层随机抽样，则男生，女生分别抽取6人，4人，故选项A错误；

对于B，这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数为93，因为90<93，故选项B错误；

对于C，这5名男生成绩的平均数是，这5名女生成绩的平均数是，这5名男生成绩的方差是，这5名女生成绩的方差是，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故选项C正确；

对于D，这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数，不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，故选项D错误；

故选：C.

7．（5分）（2022春·青海西宁·高一统考期末）在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（    ）

A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定

【解题思路】根据正弦定理进行判断即可.

【解答过程】由正弦定理可知：，

显然不存在这样的角，

故选：A.

8．（5分）（2022秋·陕西西安·高一统考期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【解题思路】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．

【解答过程】由，，，∴，即有，

又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：

图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线，也是外接球的直径，设外接球半径为R，则，

所以瞥臑的外接球表面积为.

故选：B．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）（2023秋·广西桂林·高一统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立

【解题思路】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误.

【解答过程】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，

所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，

其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，

事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，

，，A正确，B错误；

事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误；

事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确.

故选：AD.

10．（5分）（2022春·云南文山·高一统考期末）已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（    ）

A．

B．向量在向量方向上的投影向量为

C．

D．若，则

【解题思路】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项

【解答过程】由图可得，

对于A，，故A正确；

对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；

对于C，，

所以，故C不正确；

对于D，因为，，所以，故，故D正确.

故选：ABD.

11．（5分）（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（    ）

A．长度在的产品数最多 B．

C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为70.5

【解题思路】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、频数及平均数公式计算即可.

【解答过程】对于A项，因为频率分布直方图中的矩形的高度最高，所以长度在的产品数最多，故A项正确；

对于B项，由得，故B项正确；

对于C项，因为，所以不合格产品数为1000件，故C项错误；

对于D项，，故D项正确.

故选：ABD.

12．（5分）（2022春·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ）

A．，，三点共线

B．平面

C．直线与平面所成的角为

D．到平面的距离为

【解题思路】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离．

【解答过程】由于为正方体的体对角线，

在平面内，据此可得平面平面于，

又交平面于点，故点在上，故项正确；

很明显平面，平面，故，

同理，，于点，故平面，故项正确；

设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则，

点到平面的距离为，故，，故项正确；

设到平面的距离为，，，解得，故D项错误；

故选：ABC．

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）（2022春·上海浦东新·高一校考期末）在复平面内，复数对应点的坐标为，则    .

【解题思路】由对应点的坐标求出复数，代入算式中化简.

【解答过程】复数对应点的坐标为，∴，

.

故答案为：.

14．（5分）（2023秋·北京·高一校考期末）甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是    .

【解题思路】设这道题没被解出来为事件A，则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率

【解答过程】设数学题没被解出来为事件A，

则，

则这道题被解出（至少有一人解出来）的概率：

.

故答案为：.

15．（5分）（2022春·陕西西安·高一校考期末）在中，若，的面积为，角B的平分线交AC于点D，且，则    ．

【解题思路】根据面积关系可得，，再利用余弦定理即可求出.

【解答过程】设三角形的三边分别为，

则，所以，

又，所以，

由余弦定理，

即.

故答案为：.

16．（5分）（2022春·上海闵行·高一校考期末）若正四棱柱的底面边长为1，直线与底面所成角的大小是，则到底面的距离为    ．

【解题思路】根据正四棱柱的几何性质由直线与底面所成角的大小是，确定线段的长，则则到底面的距离即可求.

【解答过程】解：如图，连接

正四棱柱的底面边长为1，则，所以

且底面，则直线与底面所成角即

则

则在正四棱柱中，到底面的距离为即到到底面的距离.

故答案为：.

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）（2023春·河南周口·高一校考期末）已知是虚数单位，复数，．

(1)当复数为实数时，求的值；

(2)当复数为纯虚数时，求的值；

【解题思路】根据实数和纯虚数定义可直接构造方程求得结果.

【解答过程】（1）为实数，，解得：或.

（2）为纯虚数，，解得：.

18．（12分）（2022春·四川遂宁·高一统考期末）如图，正方体，其外接球与内切球的表面积之和为，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.

(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；

(2)平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.

【解题思路】（1）从作两条面对角线，再连接另外两点即可；

（2）设正方体的棱长为，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，根据球的表面积公式得到方程，求出，再求出两部分的体积，最后再求表面积即可；

【解答过程】（1）

解：连接，则为所求三角形（作法不唯一），如图所示

（2）

解：设正方体的棱长为，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，

所以，解得，

平面将正方体截成三棱锥和多面体两部分，

所以，，

因此体积较大的几何体是多面体，其体积为，

由，所以，

，，

故多面体的表面积为.

19．（12分）（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知向量的夹角为.

(1)求的值;

(2)若和垂直，求实数t的值.

【解题思路】（1）根据数量积的定义运算求解；

（2）根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解.

【解答过程】（1）由题意可得：.

（2）若和垂直，则，

即，解得.

20．（12分）（2022春·江苏无锡·高一校考期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求全市家庭月均用水量不低于 6t的频率；

(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；

(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.

【解题思路】（1）直接由频率分布直方图计算；

（2）用每组区间的中点值乘以相应的频率再相加可得均值；

（3）由频率分布直方图分别求出前3组和前4组的频率，得出75%分位数在第4组，求出频率0.75对应的值即可得．

【解答过程】（1）全市家庭月均用水量不低于6t的频率为.

（2）全市家庭月均用水量平均数的估计值为（t）；

（3）因为，，

所以全市家庭月均用水量的75％分位数为.

21．（12分）（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.

(1)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；

(2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.

【解题思路】利用列举法，结合古典概型的计算公式对（1）（2）进行求解即可.

【解答过程】（1）设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个弹跳项目分别为（跳高），（跳远）.

从5个项目中随机抽取2个，其可能的结果有：，，，，，，，，，，共10种，

其中，抽取到的这2个项目都是趣味项目的有：，，，共3种，

故所求概率为.

（2）从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，其可能的结果有：，，，，，，共6种，

其中，抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的基本事件为，共1种，

故所求概率为.

22．（12分）（2022春·云南昭通·高一统考期末）如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为与的交点.

(1)求三棱锥的体积；

(2)证明： 平面；

(3)证明：平面.

【解题思路】（1）由棱锥体积公式计算；

（2）由线面平行的判定定理证明；

（3）由线面垂直的判定定理证明（先计算与都垂直）．

【解答过程】（1）在正方体中，平面且

则

（2）证明：连接，在中，点分别为的中点，

所以

又平面平面

平面；

（3）证明：连接，在正方体中，

在Rt中，

，

中，，

又，

平面且交于点

平面.